П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(9.90) 1 г . е~ Г(1+ с/Ю) 2й вш~(Е/2) й 2 Г(1 — с/й) Выражение для дифференциального сечения рассеяния в обычных переменных имеет вид 2 сЬ = — еш — сИ. с аси ° — 4Е ~,2Р~ 2 (9.91) Выбранные в уравнениях (9.84), (9.85) знаки соответствуют потенциалу отталкивания. В случае притяжения величина (9.90) заменяется комплексно-сопряженнной, а выражение для сечения (9,91) остается неизменным. Наличие члена т 1 в амплитуде падающей волны и логарифмических членов в фазах связано с медленным убыванием кулоновского поля. Однако эти члены в пределе т — э оо не дают вклада в радиальную компоненту потока вероятности. 17. Выражение (9.91) для дифференциального сечения рассеяния в кулоновском поле совпадает с формулой Резерфорда, полученной из классической механики.
Это уникальное совпадение в значительной степени ускорило возникновение квантовой механики. Ни в старой квантовой теории Бора, ни в матричном расчете Паули, ни в работе Шредингера при вычислении спектра атома водорода не подвергалось сомнению, что потенциал взаимодействия электрона и протона является чисто кулоновским. Однако основным доводом в пользу кулоновского потенциала являлось прекрасное согласие данных по рассеянию а-частиц на ядрах с результатом классического расчета.
Другие потенциалы, в которых классический и квантовый подходы приводили бы к одинаковым выражениям для дифференциальных сечений, не известны. 175 Рассеяние Всюду в этой главе мы предполагали потенциал Щт) известным. На практике имеет место противоположная ситуация. За исключением случаев рассеяния электронов на заряженных частицах и на атомах, когда основную роль играет электростатическое взаимодействие, потенциал Ю(т) не известен. Возникает задача об определении потенциала по данным рассеяния — обратная задача теории рассеяния.
В общем случае для однозначного определения У(т) необходимо знать функцию 5~(Е) — сдвиг фаз для всех энергий для одного фиксированного значения 1. Знание этой функции достаточно для определения потенциала отталкивания или потенциала притяжения, не имеющего при данном 1 связанных состояний. Для потенциалов со связанными состояниями этого недостаточно: известны примеры потенциалов с одинаковыми функциями Ьо(Е), но с различными дискретными спектрами. Для восстановления таких потенциалов достаточно, кроме Ь~(Ж), знать энергии связи Е„1 состояний дискретного спектра и коэффициенты а„~, входящие в асимптотическое выражение для ВФ связанных состояний: В„~(т) = а„~т е ~"" ж~~~ — — 2тЕ„16 ~. Коэффициенты а„1 связаны с вычетами в полюсах Я-матрицы.
Задача определения У(т) по этим данным сводится к решению некоторого линейного интегрального уравнения. ЗАДАЧИ 1. Определить асимптотическую зависимость о(к) при к -+ оо в борновском приближении. 2. Вычислить в борновском приближении <Ь и о в потенциале Юкавы У(т) = — Ус — е "~ . 3. Вычислить в борковском приближении сЬ и о в потенциале Б(т) = Усе 4.
Используя разложение (920), найти выражение для амплитуды рассеяния во втором борновском приближении. 5. Определить о для рассеяния частиц высокой энергии сферической потенциальной ямой, считая, что в приближении Мольера выполняется оптическая теорема. 6. Используя приближение Мольера, найти поправку к борновскому приближению для частиц высокой энергии. 1. Показать, исходя из формулы (9.31), что для рассеяния нуклонов высокой энергии на дейтроне амплитуда рассеяния имеет вид Р(ч) = У-(ч)8 -ч +У,(ч)5 -ч + + 8(ч )У- ч+ ч У, ч ч 1ч, 176 Глава 9 где т„н,т — независимые от спинов амплитуды рассеяния на нейтроне н протоне, а формфактор Я(т1) определяется формулой Я(с~) = е*'"~у(г)~ Иг, тде ~р есть ВФ основного состояния.
8. Вывести оптическую теорему нз формулы Факсена-Хольтсмарка. 9. Найти выражения для фазовых сдвигов Ь| (к) в борновском приближении. 10. Найти в борновском приближении фазовые сдвиги в потенциале У(г) = Усе ~"~ ~ . 11. Найти в борновском приближении фазовые сдвиги в потенциале аз Ю(г) = Уо + <Р 12. Найти в борновском приближении фазовые сдвиги в потенциале ТЗ(г) = — Аг 13. Найти эффективный радиус сферического потенциала (9.бО). 14.
Доказать, что при вещественных й фаза рассеяния Ь| (к) есть нечетная функция й. 15. Показать, что в приближении Внгнера выполняется оптическая теорема. 16. Найти матричный элемент Яо(к) для рассеяния в потенциале У(т) = — Усе '~ . Исследовать особые точки Яо(к). 17. Найти в первом борновском приближении Яо (й) для рассеяния в потенциале Юкавы У(г) = — Уо — е "~ . Исследовать особые точки. 18. Показать, что в кулоновском потенциале притяжения связанным состояниям соответствуют полюсы полной амплитуды р-рассеяния на положительной мнимой полуоси. Отметим, что кулоновский потенциал не удовлетворяет условиям конечности фазовых сдвигов, а потому теория, изложенная в пп.
9Л 1 — 9.15, 'для него неприменима. 19. Вычислить в борновском приближении йт в кулоновском потенциале У = = — ат ~. Рассмотреть предельный персид а — + оо, Ц~а = а в результате задачи 9.2. 20. Объяснить, почему при й -+ О рассеяние в кулоновском поле не становится нзотропным. Глава 10 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ О. Всюду в книге мы ограничиваемся описанием явлений, происходящих в нерелятивистской области: при энергиях частиц, малых по сравнению с их энергией покоя.
Но даже в этом случае возникает необходимость в рассмотрении релятивистских волновых уравнений. Причин для этого две. Во-первых, релятивистские поправки к атомным уровням энергии хотя и малы по сравнению с самими значениями уровней, но все же являются существенными. Относительную величину поправок для спектра водородоподобных ионов можно оценить отношением энергии связи Е„~ к энергии покоя электрона: ~Я ~ Я2~~в4 1 ~Я(г) 2 ~ е2 ~~ — Г~ — —,~, — =Я !~„,! ~к ~ Даже для атома водорода (Я = 1) ЬЕ~") 10 4Е„и значительно превышает экспериментальные ошибки в определении разности энергий.
Для ядер с большими зарядами поправка еще значительней. Во-вторых, спиновый момент частиц, свойства которого рассматривались в гл. 4, в нерелятивистском приближении входит в теорию лишь кинематически. В частности, в главах 5 и 8 мы вообще не рассматривали зависимость ВФ от спиновых переменных. Это оправдано лишь при рассмотрении движения одной частицы в электрическом поле. Зависимость энергетических уровней одной частицы от спиновых переменных есть релятивистский эффект, который может проявляться и в нерелятивистской области. В этой главе мы рассмотрим следующие из релятивистских волновых уравнений поправки к уравнению Шредингера, оставляя в стороне вопросы последовательной релятивистской теории.
1. В нерелятивистской квантовой механике движение системы описывается уравнением первого порядка по времени. То же должно иметь место и в релятивистской теории: задание состояния системы в некоторый момент времени должно определять ее дальнейшую эволюцию.
Поэтому уравнение должно иметь вид И вЂ” = Ну. . а~ а~ Релятивистское волновое уравнение должно быть одного порядка по временной и пространственным производным. Поэтому наиболее общий вид релятивистского гамильтониана для свободной частицы Глава 10 есть Н = с (ар) + тс ~3, (10.1) где р — обычный оператор импульса. Коэффициенты введены в это определение так, чтобы а и ~3 были безразмерными. Из требования эрмитовости гамильтониана имеем а=а+, ~3= ~3+. Потребуем, чтобы для свободного движения частицы с импульсом р выполнялось обычное соотношение релятивистской механики е2 = с2р2+ т2с4 где е означает релятивистскую энергию частицы, включающую энер- гию покоя. Тогда имеет место равенство Н = т с~~3 + тР фа+ сф) р + -с (и;аь + а~,а;) р;рь = 22423 1 2 2с4 + с2р2 Таким образом, величины а и ~3 должны удовлетворять условиям р2 (10.2) ~За+а = О, (10.3) а4аь+ аьсЦ = 254ь.
(10.4) Очевидно, эти требования можно выполнить, если считать а; и ~3 матрицами, но если их считать обычными числами, то эти требования выполнить нельзя. 2. Рассмотрим свойства матриц а4 (г = 1, 2, 3) и ~3. Из условий (10.2) и (10.4) следует, что а,. 1 0 0 — Х (10.5) Из (10.3) получаем а, ~ра4 = — ~3, Бр (а, ~~3сц) = Бр ~3 = — Бр ~3 = О.
Матрица ~3 может быть приведена к диагональному виду. Из условий Бр ~3 = О, ~3~ = 1 следует, что в этом случае на главной диагонали матрицы р стоят в равных количествах числа+1 и — 1. Таким образом, а; и р суть матрицы четного порядка. Перенумеруем компоненты так, чтобы матрица ~3 имела вид 179 Релятивистские поправки где 1 — единичная субматрица. Рассмотрим условие (10.3). Предста- вим матрицу а; разбитой на субматрицы того же порядка, что и Р в формуле (10.5). Тогда = О.
(10.6) Следовательно, р; = в, = О. Из условия эрмитовости матрицы а; следует 0 т+. „+ + Ч; 0 > О Ч; ©' т; 0 (10.7) Используя эти соотношения вместе с равенством (10.4), придем к формуле 0 1 1 0 0 — з з 0 1 0 0 — 1 О1 = > ог= оЗ = Итак, в представлении, в котором р имеет вид (10.5), 0 о; о; 0 (10.10) Такое представление мы будем называть стандартным. 12' Ч>Ч+ + ЧьЧ+ = 2бц,. (10.8) Пусть г ф- й. Тогда, перенося второй член в каждой из формул (10.8) в правую часть и перемножая все три равенства, получим Ч1ЧЗ ЧзЧ3 ЧзЧ1 ЧЗЧ1 ЧзЧ2 Ч1Чз ° По теореме о произведении определителей Тите~ (Ч1Чг+ЧзЧз ЧЗЧ1+) = ВеФ (Ч1ЧзЧЗЧ1+Ъ+Чз ) = = ВеФ ( — ЧзЧ1 ЧЗЧз Ч1Чз ) = ( — 1) ВеФ (Ч1ЧзЧЗЧ1 Чз Чз ), + Ф где Ж вЂ” размерность матриц Ч;.
Таким образом, Ж должно быть четным числом. При з = й из (10.8) следует, что субматрица Ч> должна быть унитарна. Итак, условиям (10.2), (10.3), (10.4) могут удовлетворить только матрицы размерности 4Х. Пусть Х = 1. Уравнение Ю вЂ” = [с (ар) + тс р~ ~р (10.9) для четырехкомпонентной функции у, где а; и р — матрицы четвертого порядка, называется уравнением Дирака. Субматрицы второго порядка, удовлетворяющие соотношениям (10.8), нам уже известны (см. гл. 4): это матрицы Паули Глава 10 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
