П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 22
Текст из файла (страница 22)
При сделанных предположениях относительно распределения заряда в атомах энергия взаимодействия может быть разложена на три частные суммы: ~(ьйОЩООО)~' т- ' ~(ОйЦР~ООО)~' ьЬ~О Еао+ Еьо — Ем — Еьь ~-~ Еьо+ Есо — Еьь — Еы йьо + ~~~~ ~(~ О 1ЯО О О)~ (8 49) Пфо Е о+Ео — Е„ь — Ес~ 10 П.В. Елютин, В.Д.
Кривченков Глава 8 Так как (з й 0[ЦООО) = (з ЦК(1, 2) [00), то выражение (8.40) состоит из трех слагаемых, каждое из которых описывает взаимодействие пары атомов силами Ван-дер-Ваальса. Легко видеть, что этот расчет может быть распространен на произвольное число атомов. ЗАДАЧИ 1. Показать, что в состоянии атома водорода с параболическими квантовыми числами п1, пз проекция вектора Рунге-Ленца (5.21) на ось я есть д пз п1 И 2. Доказать, что в классичесюм случае при движении в поле а У(г) = — — — В сохраняется величина В = АР+ — [ег1 2 где А — вектор Рунге-Ленца (5.21). Показать, что соответствующий квантовомеханический оператор коммугирует с гамильтонианом.
3. Определить наибольшее значение квантового числа и, при ютором движение электрона в поле (8.1) остается квазифинитным (имеет три действительные точки поворота). 4. Выразить квадрупольный момент заряженной частицы в центральном поле через средний квадратее расстояния отцентра, 5. Оценить величину кладрупольного расщепления уровней атома водорода в поле удаленного ядра Яз на расстоянии В. 6. Рассмотреть методом линейных комбинаций возможность существования иона Не+я++. 7. Оценить вариационным методом поляризуемость системы двух частиц, взаимодействие которых описывается потенциалом У(г) = — дЬ(г — а), в а-состоянии. Частицы считать заряженными, но кулоновским взаимодействием пренебречь. 8. В случае дтпл й ~ систему, описанную в предыдущей задаче, можно считать по свойствам близкой к жесткому ротатору классической механики.
Напомним, что непосредственное наложение связей в квантовой механике невозможно. Найти уровни энергии такой системы. 9. Найти поправку второго порядка к уровням энергии <окесткого ротагора» с днпольным моментом д в однородном электрическом поле. булава 9 РАССЕЯНИЕ О. В гл. 5 мы рассматривали стационарные состояния дискретного спектра для задачи двух тел, взаимодействие которых можно описать потенциалом У(т).
При этом нас главным образом интересовали свойства спектра, а не волновых функций. Если при т -+ сс потенциал взаимодействия обращается в нуль, то при Е > 0 энергетический спектр будет непрерывным. При рассмотрении состояний непрерывного спектра нашей основной задачей будет отыскание волновых функций, удовлетворяющих определенным граничным условиям. Решение стационарного УШ Яу = [~ -~- Г(г)] чг = еу (9.1) при т -+ оо имеет асимптотический вид ВФ свободного движения. Мы будем искать решения УШ (9.1), которые при т — > оо имеют вид суперпозиции плоской волны и расходящейся сферической волны: у(г) =ег' + ~(п) ечьт (9.2) Здесь мы ввели волновой вектор 1с, определяемый соотношениями р=Ис, Е= (9.3) Выберем ось сферической системы координат в направлении волнового вектора 1с падающей волны.
Тогда такую ВФ можно записать в виде ъ|аг уь(т, В, д) = е'" + ДЙ; 6, у)— (9.4) Волновую функцию (9.2) можно интерпретировать, по аналогии с (3.40), (3.41) как суперпозицию ВФ падающей частицы с заданным импульсом р = Ис, испущенной источником, удаленным на бесконечность, и ВФ частицы, рассеянной в центральном поле. Поскольку гамильтониан Н инвариантен при поворотах вокруг оси л (принимаемой за ось сферической системы координат), то граничное условие также можно выбрать инвариантным: 1йв ~ц(т, В, ср) = е'~' + ~(9)— (9.5) Б~ава 9 Волновые функции, имеющие асимптотический вид (9.5)„будем называть волновыми функциями рассеяния, а задачу их отыскания— прямой задачей рассеяния'. Множитель ~(О) при расходящейся волне в ВФ рассеяния (9.5) называется амплитудой рассеяния, 1. Рассмотрим поток вероятности Яг), соответствующий волновой функции (9.4).
По определению 3 = — 'М~ч' — ] '~ч)- (9.6) 2т В пределе т — ~ оо, используя асимптотическое выражение для волновой функции и сохраняя лишь наиболее медленно убывающие члены, получаем Псг евй~. — чТХуь = Ипе' + Иск~(О)— (9.7) где 1с а=— й Подставляя (9.7) в (9.6), находим — з=ь ~-' "(п~- )~у[е)е '( '"~~-у*[в)~'("' '>]»- Ь 2г ~,Ше)]'. (~® т2 Преобразуем второй член в (9.8). Для этого рассмотрим интеграл от него в интервале от О = Одо О = я: оп а аппп ДО)е'""с~'~с~соаОсйр = Х(а) (а = соя О). Рассмотрим контур, изображенный на рис. 30.
При т -~ оо интеграл по (а,Ь) мал; при вычислении интегралов по (Ь, — 1) и (+1, а) можно вынести значение Да) в точках а = — 1 1 Рис. 30 = — 1 и а = +1 из-под знака интеграла, так как экспонента меняется значительно быстрее. Таким образом, 1(а) = — ~(+1) — е' " + Д вЂ” 1) — е ' ". Ь Ь" Формально можно получить аппп е'~'" = — '[е '~Ь(а+ 1) — е'~"Ь(а — 1)] (9.9) (только при интегрировании от а = — 1 до а = +1).
Подставляя (9.9) в (9.8), получим — "'З = Ы-Ы4'Ь У(О) '( "'+ Ь]~(е)] (9.10) г2 г2 149 Рассеяние Таким образом, при и ~~ ч полный ток ВФ рассеяния есть сумма токов падающей (плоской) волны и рассеянной (сферической) волны. Интерференции между падающей и рассеянной волнами нет. Полный поток, рассеянный в телесный угол «й1(не включающий направление О = О), .У «И = у г~«И = — ЩО)~з«1й Отношение полного потока вероятности ВФ рассеяния в элемент телесного угла с~й к плотности потока в падающей плоской волне называется дифференциальным сечением рассеяния: 1о = ~~(й)~г1 Учитывая, что источники частиц при конечных т отсутствуют, интегрируя (9.10) по поверхности большой сферы и переходя по теореме Гаусса Я к интегралу по объему, получим 0 = — — Хшг"(п,п)+ ~Дп',п)~ «1Й.
Интеграл в правой части называется полным сечением рассеяния: ~ У (0) ~ 2 «1П Таким образом, получаем Хп~,К(0) = — «з, 4«« Соотношение (9.11) называется оптической теоремой. Его физический смысл в том„что интерференция падающей волны с волной, рассеянной на нулевой угол, приводит к выбыванию частиц из падающей волны, что обеспечивает сохранение вероятности. 2. Стационарное УШ (9.1) может быль представлено в интегральной форме: «р(г) = Х(г) + Со(г, г')и(г')д(г') Нг', где Х(г) и Со(г, г') — общее решение и ФГ для УШ свободного движения. Аналогичная форма радиального УШ рассматривалась в и. 5.11. По определению (Ь„+ Й )С(г,г') = Ь(г — г'). (9.13) 15О ГЛава 9 Как и в п.
5.11, будем искать ФГ в виде произведения линейно неза- висимых решений Х(г). В качестве таких решений можно выбрать плоские волны дг) е~ч е-гчг Подставляя в (9.13) выражение для ФГ в форме С(г, г') = А(о)е'ч(~ ') й1, (9.14) получим А(г1)(йз дз)еМ~ ~ ) дц — ц(г г~) Это равенство выполняется тождественно, если А( ) (2„) — з(йг , г) — 1 Производя в выражении вц(г — г ) С(г, г') = сКс~ рд)з (йя , г) интегрирование по упювым переменным, получим +со В !г-гс! (9.15) Формула (9.15) не определяет ФГ однозначно, Отличный от нуля вклад дают только вычеты в полюсах подынтегрального выражения ц = ~й.
Направление обхода полюсов вы1п1 в бирается с помощью граничных условий. Решение (9.12) будет содержать расходящуюся волну, если обходить полюсы, как показано на рис. 31. Соответствующая ФГ +" обозначается С+(г, г'): Вед сй~г-в'~ С+(г, г') = — . (9.1б) Рис. 31 4я!г — г'! Формально правило обхода можно задать, положив й~ = й~ + Ы и устремив е к нулю после вычисления интеграла. Итак, интегральное уравнение для ВФ рассеяния имеет вид сЦг — г'~ у(й, г) = у(й, г) — ™ е у(г') у(й, г') дг'. 2яь2 !г - г! Рассеяние 151 Используя асимптотический вид ФГ (9.16): айг С+(г,г') — — — е 'Я~, ~ = — Й, от т получим асимптотичесюе выражение для у(Й, т): Ч~(Й, т) = (р(Й, т) —, — е ™У (г)ьр(Й, г) Иг, (9.17) представляющее суперпозицию плосюй и расходящейся волн в соответствии с условием (9.5).
3. При нахождении явного вида ФГ (9.15) мы использовали в качестве базиса СФ импульса (9.14), что вовсе не обязательно. ВФ рассеяния может быть представлена согласно (9.12) в виде %~ = Ч+ Со(Е+ Ы)~Ч, (9.18) где Со — ФГ однородного УШ вЂ” есть Со(Е + Ы) = (Е + Ы вЂ” Но) 1.
Формальное решение УШ (9.18) фактически определяется интегральным уравнением. Выбрав в качестве базиса произвольную систему СФ гамильтониана Йо(~р„1, можно представить (9.18) в виде (МЙ р.) а Ц+~е где интегрирование проводится по всем возможным р. Решение (9.18) можно выразить непосредственно через функции базиса д„.
Введем ФГ неоднородного УШ (9.1): С(Е) = (Š— Н) Тогда С(Е) = Со(. ) + Со(Е) ОС(Е). Решение (9.18) принимает вид у = д+ С(Е+ Ы) У~р. Уравнение (9.19) допускает формально решение методом итераций С = Со+ СоУСо+ СоУСоУСо+ .. - (9.20) 4. Если потенциал взаимодействия У(г) в некотором смысле мал, то в разложении (9.20) можно ограничиться нулевым приближением, положив С = Со.
Тогда из (9.19) следует: ДО) = — — д'(Й', г) У(г)<р(Й, г) дг. 152 Гпава 9 Г"(О) = — — т ЙТ(т) сЕт. (9.22) о Введем безразмерный параметр т=йа, где а — характерная длина потенциала. Для медленных частиц (т < 1) (9.22) принимает вид ,г"(О) = — —, ~~У( ) с1~. (9.23) о Таким образом, амплитуда рассеяния медленных частиц не зависит ни от энергии, ни от направления.
Для быстрых частиц (т >> 1) за- метный вклад в интеграл дает только область малых значений уптов (О < т 1) — окрестность главного максимума функции яп у. — = ~о(дт), От где уо(ж) — сферическая функция Бесселя. Из этого следует, что быстрые частицы рассеиваются преимущественно вперед. Необходимым условием применимости борновского приближе- ния является малость интегрального члена — поправки к ВФ 'й ' <р( )(Й, г) = — — — У(г — г')срь(г — г') Иг' (9.24) по сравнению с невозмущенной ВФ щ Я, т). Для медленных частиц 'й ' можно оценить интеграл в (9.24), положив е'"" = 1, тогда ~р( )(й,т) —,а 0о~р~ (т), Выбирая в качестве д(й, т) плоские волны, получим Г" (О) = — —, е'ч'У(г) Нг, (9.21) где с1 есть изменение импульса при рассеянии: ц= 1с — 1с', ~д~ = 2йв1п Разложение (9.20)„использующее в качестве базиса систему СФ импульса, называется борновским разложением, а решение (9.19), использующее И членов разложения, — Ж-м борновским приближением.
Решение при И = 1 будем называть просто борновским нриближением. В случае центрального поля интегрирование по утлам приводит к выражению 153 Рассеяние ~у(й,г) = ехра Йя — — У(г) сЬ . Л2и Используя формулу (9.17), амплитуду рассеяния представим в виде (9.ЗО) ДО) = — — "сКг е"' '" ' У(г) ехр ~ — '™ Г ЕТ(г) сЬ . ~~у у Юй и условие применимости борновского приближения есть В«1 (т<1), (9.25) где  — борковский параметр (3.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
