П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 30
Текст из файла (страница 30)
2 Пусть на двухуровневую систему действует внешнее поле Р(Ф) = РОУ(Ф)е ' Ограничившись рассмотрением состояний ~0) и ~1), мы можем представить ВФ системы в виде »у(х, й) ~ а®щ(х)е' ~~ + Ь(й)ср1 (х) е'"'~. Уравнения для коэффициентов разложения а(й), Ь(й) имеют вид И вЂ” = Уо1~(8)е'~~Ь, Ю вй — = $~1У(~)е "'а. сМ Здесь введено обозначение 6 для расстройки частот системы и поля: Ь = о»ш — а».
Исключая а из второго уравнения системы (11.27), получаем "' ~" 1 У(а)+ Ь1+ ~с'~®~ Ь=о. (И.28) ~М~ ~й Ы~ Ю (11.27) для вероятности перехода получим выражение »У„»,~ (1 — сов В$ 1 — сов И 1+ сов 2аФ вЂ” сов ВХ вЂ” сов И 2У ~ В~ Я~ ВЯ (11.24) Вероятность перехода периодически меняется во времени. Если частота внешнего поля близка к одной из собственных частот системы а, то В « Я и в формуле (11.24) можно пренебречь вторым и третьим членами: 203 Переходы Решение уравнения (11.28), удовлетворяющее начальному условию Ь( — оо) = 0 при Ь = О, имеет вид Ь(~) =.ш ~"~") а. Вероятность перехода при 1 -+ оо в состояние ~1), +со ыо1=яп —" Д1)сЫ=яп Й, й зависит от единственного параметра Й. При значениях Ф = 2Й = (2и+ 1)я система с достоверностью переводится в другое состояние.
Такой импульс внешнего поля называется к-импульсом. При Ф = 2пл система с достоверностью остается в начальном состоянии. Рассмотрим случай отличной от нуля расстройки при ~(8) = сопй (прямоугольный импульс). Решение уравнения (11.28) имеет в этом случае вид Ь($) = с1е''1'~ + сяеь1~~, где Ь 6 Я1 = +Й~ Я2 = +Й) 2 2 !~ох! + 5 Ю 4 Пусть при Ф = 0 система нахоДится в состоянии ~0) (Ь(0) = 0). Соответствующее решение имеет вид Ь($) = — г=ехр ~-з — япЙФ~ . 1'О~ / й йй ~ 2 Зависящая от времени вероятность перехода есть ~р) !Ъо~!' ~,.„2 Й~ удг При наличии расстройки двухуровневая система не может быть с достоверностью переведена в состояние ~1).
Максимальное значение вероятности —— 1+ при заданной расстройке тем ближе к единице, чем больше ~7о1 ~. Переходы 205 При подстановке последнего выражения в (11.29) интеграл вычисляется элементарно: (Р~(ТИ=~~ 26[ — — 1+е ~~']. (11.ЗО) Зависимость функции (Га) от Т показана на рис. 41. При Т « «0 (Е~(Т)) 1.~Т вЂ” вероятность перехода меняется со временем квадратично, как и в случае когерентного поля. При Т )> 0 второй и третий (Р') члены в скобке в формуле (11.30) несущественны и (К'(т)) = У'. 2Т0 = У'.
2щ(О)Т. Последнее выражение применимо не толью для выбранной функции корреляции. В самом деле, в подынтегральном выражении формулы (11.29) Рис. 41 функция д(в) заметно отлична от нуля при в < 0 1 и плавно меняется в этой области. Первая же подынтегральная функция отлична от нуля главным образом в области в < Т 1. Поэтому при Т >) 0 можно приближенно положить (х" (Т)) = д(0) аш~ — — сна = 2кТд(0). Таким образом, если длительность импульса внешнего поля велика по сравнению со времени корреляции, то вероятность перехода линейно растет со временем: ыо1 = 1~~~Ь 2щ(0)Т, (11.31) В общем случае нерезонансного поля выражение для средней вероятности перехода имеет такой же вид, с заменой ф0) на д(в — в1о). Поэтому формулу (11.31) удобно представить в виде ~ош = Ц~хй 2к1(сво1)Т, (11.32) где 1'(во1) — спектральная плотность амплитуды поля на частоте перехода.
Формула (11.32) выведена из теории возмущений. Поэтому она применима только при не слишком больших Т, пока вероятность перехода иш остается много меньше еднницы. 8. Если при гармоническом воздействии на систему значение энергии Глава 11 20б Цо„е'"' Ж (11.33) При вычислении матричных элементов 7~, использованы ВФ конеч- ных состояний, нормированные на единицу в объеме Хз. Найдем суммарную вероятность перехода в состояния непрерывного спек- тра.
Она будет определять скорость распада начального состояния: (11.34) — 1 'О„е'"" Ж ч Число дискретных уровней Ф„в интервале (Е„, Е„+ ЬЕ„) в пределе Х ~ -+ оо пропорционально ширине интервала ЬЕ„. Определим функцию плотности состояний р(ч) такую, что Ф(Е„,Е„+ЬЕ„) = рЯЬЕ„. Функция р(ч) имеет размерность эрг ~ и пропорциональна объему Ьз куба периодичности. Тогда в пределе Х вЂ” > оо суммирование по ч можно заменить интегрированием: И~ = —, йЕ.рЯ Уо„е "'сМ Пусть на систему в течение времени Т действует возмущение ъ'(8) = йе ' (11.35) Тогда интеграл по 1 вычисляется элементарно: Дт ~ ~ ( )~ ~2 2 Е Ю, (со о — вР попадает в область непрерывного спектра, то переход в состояние Е+ будет резонансным; Однако выделение двухуровневой системы в этом случае невозможно, так как знаменатели в (11.24) будут малы для группы состояний с Е = Е+.
Для вычисления вероятности переходов в этом случае удобно заменить непрерывный спектр конечных состояний дискретным квазинепрерывным. Это можно сделать, наложив на ВФ непрерывного спектра условие периодичности на границах куба с ребром Х, предполагая, что Х много больше размеров системы (ср. и. б.13). Тогда можно использовать выражение для вероятности переходов Переходы При больших Т функция гО7 . ~Мо — о> Г(~,Т) = 4 (о о — со) меняется значительно быстрее, чем р(~) и ~юо„~~. Эги функции можно вынести из-под интеграла, взяв их значение в точке максимума Р(ч, Т) — точке а = а„о.
Тоща . а ойдо — о>2 И; Р( +)1оо+~ ~~ 4 2 У,( (со,о — в)' Вычисление интеграла по во„элементарно: 1~' = р(Е )~е~~~2 — Т. В Таким образом, вероятность перехода в состояния непрерывного спектра под действием возмущения (11.35) пропорциональна длительности его действия, Иными словами, вероятность перехода в непрерывный спектр в единицу времени постоянна. Формула (11.36) называется золотым правилом Ферми. Отметим аналогию между формулами (11.32) и (11.36): их можно записать в виде — "' = —" ~У„!2Ь(Е, — Е; — Ьа), где о-функция указывает на необходимость интегрирования по дЕ (с весом р(Е)) в случае перехода в непрерывный спектр или по йо (с весом 1(в)) в случае перехода под действием некогерентного поля. 9.
Состояния непрерывного спектра обычно вырождены. Если при 1 = О система находилась в состоянии щ(Е) — собственном состоянии гамильтониана Но, то под действием постоянного возмущения К система может перейти в другое собственное состояние гамильтониана Йо — Ч~„(Е), соответствующее той же энергии. Вероятность такого перехода дается, согласно (11.36), формулой И'ь = Р(Е)Ро4' —" Т. (11.37) Рассмотрим в качестве примера одномерное движение.
Состоянию с данной энергией соответствуют две ВФ свободного движения: у =е'*, у .=е ' + Рассмотрим переходы между этими состояниями в слабом постоянном поле ~(ж). Вводя «длину периодичности» Ь, получаем р(Е) = —. пйр Глава 11 Вероятность перехода за время Т ~1( )е — 2Ист~ — 1 Дх И~ =— лйр Отношение вероятности перехода за единицу времени к плотности потока в одном из состояний ~+, я) есть, по определению, коэффициент отражения 2 У(х)е '"*дх Я(д)»>' (И.зз) И вЂ” = (Но+ 1~)у, И (11.39) где Но не зависит от времени. Проведем унитарное преобразование: д(>л) =ехр (> — )у)>х), )>)>) =ехр(> — )>ехр ( — ж — ).
Тогда (11.39) примет вид д~р дФ (11.40) Представление (11.40) для уравнений движения называют представлением Дирака или представпением взаимодействия. Введем унитарный оператор б'(Ф1> Ф2) такой, что ~1(~1> > 2)>р(> 2) Ч(> 1). Из определения (11.41) следуют свойства оператора У: ~1(~1> >1) = 1, >-> (~1> >2) = ~1(~2> >1)> 71(~1> >2)~1(~2> >3) ~1И1> >3)' Этот результат, полученный из нестационарной теории возмущений, совпадает с выражением (3.13), полученным из приближенного решения стационарного одномерного УШ. 10. В трехмерном случае вычисление вероятности переходов между состояниями с ВФ вЂ” плоскими волнами ч)=ехр г— различающимися лишь направлениями р, в поле У(г) приводит, при использовании (11.37), к борновскому приближению для сечения рассеяния.
В общем случае прямая задача теории рассеяния также может быть сформулирована как задача о переходах. Пусть функция у(Ф) удовлетворяет УШ 209 Переходы Оператор У(11, 1я), описывающий эволюцию системы, удовлетворя- ет уравнению движения з~ — = й(~)О. И1 Пусть гр и ~р+ — начальное и конечное состояния системы. Оператор О(Й1, Й2) при й -+ — оо будем обозначать Г» (ь), а О(Й1, й2) при Ф -+ +ос будем обозначать У (~); рИ) = ~+И)р . Предел оператора У» (~) при 1 — э +со мы будем называть оператором рассеяния Я: Я = 1пп У+(Ф). $-++00 Оператор Я унитарен, так как по определению унитарен У. Физический смысл оператора Я очевиден: если гр — начальное состояние системы, то Я~р = д+ — соответствующее конечное состояние. Пусть при ~ -+ ~ос внешнее воздействие У(1) адиабатически выключается.