П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Отметим, что вид ВФ не инвариантен относительно перемены х ++ у, хотя в исходной постановке направления х и у равноправны. При- чина этого, очевидно, связана с выбором векторного потенциала А в виде (12.11). 4. В классической механике проекция траекторий заряда в маг- нитном поле на плоскость, перпендикулярную полю, есть окруж- ность. В квантовой механике плотность вероятности в плоскости, перпендикулярной полю, может вообще не обладать аксиальной сим- метрией (12.12).
Причина этого заключается в вырождении состоя- ний заряженной частицы в магнитном поле с заданной энергией. В классической механике этому вырождению соответствует неопре- деленное положение оси симметрии траектории в плоскости ху. Рассмотрим классически движение заряда в магнитном поле с векторным потенциалом А = -М'у, Ая — — — -М х, А, = О.
(12.13) 2 2 Классическая функция Гамильтона имеет вид Н: р~ 3~у + ри + М х + р Отсюда следуют гамильтоновы уравнения движения: х = — р — — М'у, р = — — р„+ — М'х у = — (рц ~- — Жх), рд — — ~ (р, — ~ З; р), (12.14) ° 1 — Р~~ рг — О. Решение уравнений для х и у имеет вид х = т сов (а8 — д) + хо, у = таш(вй — ср) + у0, Глава 12 (12.17) где хо и уо — координаты центра окружности. Используя уравнения (12.14), можно выразить юординаты центра хо, уо через канонически сопряженные величины (х, р, у, р1,).
Вычисляя, получим Уо = — + —, 9 Рх 2 пио Р~ хо = — — —. 2 тв Перейдем к квантовой механике, сопоставляя классическим величи- нам эрмитовы операторы ж 1 хо = — — — ря, 2 та (12.16) у 1 Уо = — + — Р*. 2 пм0 Из формул (12.1б) следует, что юординаты центра окружности не коммутируют и не могут быть определены одновременно: Й 1хо, Уо] = — —. Используя решение (12.15) для классических уравнений движения, можно найти вид операторов х, у в гайзенберговсюм представлении (см.
п. 2.7). Представим решение (12,15) в виде х (1) = А сов в8 — В я1п в~ + хо, у(1) = АяпвФ+ Всоав1+ уо, где А и  — операторы, не зависящие от времени. Положив в урав- нениях (12.17) 8 = 0 и потребовав, чтобы х (0) = х, у (О) = у, определим выражение для операторов А, В.
Окончательно получим хщ = (~'" -~.-*) соьи1-~- (~' — 1) з!оы-~- (- — — "" ), р ~1) = ( —" ~- -) ашот'~- (- — — ') сон и1 -~- ( — ' -~- -) . (12.18) Таким образом, операторы в гайзенберговском представлении зави- сят от времени периодически. Это означает, что у любого волнового пакета, который при й = 0 может быть описан функцией вида Ф (х, у, л) = ~р(х, у) ~у(я), поперечная часть д (х, у) примет первоначальную форму через время у — й совпадающее с периодом классического движения заряда в магнит- ном поле.
Магнитное поле Х1 = ~+) = Х2 ! ) При учете спина энергетический спектр имеет вид Ер = по1 ~1+ -~ + — + Ро ~~. (12.19) 2 2т Рассмотрим случай зависящего от времени поля. Нестационарное уравнение Паули имеет вид д И— д1 = Нс (12.20) 'т'2 Ч1 Ч2 Ч1 Ч2 — ро (о,М') где Н, — гамильтониан заряженной частицы без спина (12.1). Пред- ставим волновую функцию в виде произведения двух зависящих от времени частей: 81 (~) 82 (с) Ч1 Ч2 = ср(г, й) (12.21) где функция д является решением уравнения .
др И вЂ” = Нсщ. д1 Подставляя (12.21) в уравнение (12.20), для спиновой функции получим уравнение движения 81 И) Е2 (с) 81 (1) е2 (~) = -ро (оМ') (12.22) Если магнитное поле однородно, то его можно задать компонентой ЗГ (Ф), и уравнение (12.22) распадается на пару уравнений: И вЂ”" = -РоЖ(~) 81, дю И вЂ”" = роМ' (8) в2. дй 5. Рассмотрим движение заряженной частицы со спином 1/2 в магнитном поле. Уравнение Паули имеет вид дг 1 Г- е И вЂ” = — ~р — -А~ Ф вЂ” ро (оМ') Ф. д1 2т с Очевидно, в постоянном и однородном поле М," ВФ могут быть представлены в виде произведения орбитальной и спиновой функций, причем собственными спиновыми функциями будут состояния с заданной проекцией спина на направление поля: Глава Г2 218 Эти уравнения могут быть проинтегрированы: в~ = с~ ехр '~ .Ж'(Ф) М, вз = сзехр — и'0 Ж(Ф) ИФ .
а И— д8 Ч'1 Ч2 1 О *+ Π— 1 О 1 1 О = — — Ь 2т Уравнение для каждой из компонент имеет вид л2 ~М~ = — — ~9~ + ФХЧя+ Р(% — Й~) Чь 2т ~Ь ~~92 = ~92 + Р~~Ч1 Р ('%~ 1~~) Ч2 ив Будем искать решение этой системы в виде (12.24) у~ — — и~ ехр — г — 8(, ~я — — из ехр ~г — Ф~ . (12.25) о о где константы с~ и сз определяются начальными условиями. Отметим, что вероятности проекций спина на направление магнитного поля со временем не меняются. 6.
Рассмотрим движение заря- женной частицы со спином в неод- О р нородном поле (опыт ШтернаГерлаха). Форма полюсных наконечников электромагнита и распоРис. 42 ложение координатных осей изо- бражены на рис. 42. Плоскость лОу является плоскостью симметрии магнитного поля. При малых значениях я, х напряженность поля можно представить в виде М~ = йх, М~ — — О, Я5» = З$ — йл. (12.23) Для простоты рассмотрим движение в таком поле нейтральных частиц с магнитным моментом и и спином 1/2 ~нейтрон, атом водорода).
Пусть волновой пакет, описывающий состояние частицы, характеризуется при Ф = О средними значениями х=у=Б=О, х=л=О, у=и. Если размеры волнового пакета малы по сравнению с областью„в которой применимы формулы (12.23)„то уравнение Паули можно записать в виде Магнитное ноле 219 Подставляя (12.25) в (12.24), получим Ии~ = — — Ьи~ + рйжи2 ехр ~2г — $] — айги~, яг /.~М~ 2т ь ) ~1~и2 = ~и2+ Ф~и1ехр ~ 2~ ~) + Фги1. .и~ ~ 2т ь ) Экспоненциальные функции в правых частях уравнений осциллируют с периодом Т= 2я —. й РМ Для значений поля Ж = 10з Гс и магнитных моментов порядка боровского магнетона ей И=в 2тс время осцилляций Т ~ 10 ш с мало по сравнению с характерным временем пролета частицы через систему т = Ь/е. Приняв длину полюсов магнита Х, = 1 см, а скорость частиц е ж -10з м/с (порядка тепловых скоростей молекул), получим т-10 ~ с, Усреднив уравнения (12.26) по промежутку времени ~И при условии Т (~ Ь8 <<7; получим пару независимых уравнений для усредненных функций иь и2.
— аг И вЂ” ' = — — Ьи~ — ФлИ, Ж 2т й4а ' Ь гй — ' = — — Ьи2+ рйги2. сИ 2т Каждое из этих уравнений имеет вид нестационарного УШ для ча- стицы в однородном поле, направление которого зависит от значения проекции спина. Поскольку средние значения л для каждого из па- кетов удовлетворяют классическим уравнениям движения, то сред- нее значение Б будет увеличиваться для частиц в состоянии ~+) и уменьшаться для частиц в состоянии ~ — ).
При достаточно большом времени пролета смещение волновых пакетов может значительно превышать их ширину. На выходе из прибора падающий пучок ча- стиц расщепится на два пучка, в каждом из которых проекция спина на ось я будет иметь определенное значение. 7. При рассмотрении уравнения Паули в п. 10.б мы нашли, что в нерелятивистском приближении частице со спнном 1/2 можно при- писать магнитный момент 220 Глава 12 Выше мы рассматривали взаимодействие спинового момента с внешним магнитным полем. Аналогичным образом можно описывать и взаимодействие между магнитными моментами частиц, Если ядро атома обладает магнитным моментом, то при учете взаимодействия электронов с магнитным полем ядра атомные уровни энергии — вообще говоря, вырожденные — расщепляются.
Такое расщепление называют сверхтонкой струки0)рой уровней. Рассмотрим сверхтонкое расщепление в атоме водорода. Оператор взаимодействия имеет вид 'о' = 2ро [1Ар) — О о.От~ . 112.27) Будем рассматривать ядро как классический точечный магнитный диполь с моментом и. Вектор-потенциал имеет вид А = — р, х ягай— Вводя напряженность поля М' = гоФА и используяравенства гоф (А х В) = А драч  — В йч А + (В~7) А — (А~7) В, Йч р.а2:1 — = — 4кЬ (г), т для оператора (12.27) получим ро~31=4лр,вб(т) и+ Г )(Н ) и (1228) Для отыскания поправки к энергии в первом порядке теории возму- щений надо вычислить среднее значение оператора возмущения Р по невозмущенным ВФ.
Ограничимся рассмотрением в-случая. То- гда последний член в (12.28) обращается в нуль. При вычислении интеграла от второго и третьего членов следует проявить осторож- ность, так как интеграл от каждого из этих членов по отдельности расходится. Однако, учитывая, что рв З(вг) ()Ат) ( 7)-,7) (-т~) 1 (12.29) тз тб Р ' т а интеграл может зависеть лишь от относительной ориентации векто- ров в, ц, можно заменить (12.28) средним по направлениям значением (Ф7) (~7) — — (Нв) ~7 —. (12.30) Итак Ро (вр) 9 (0) Ро Зл з 8 8р ~0 Магнитное поле Магнитный момент ядра р, связан с его спином г' соотношением Р = Рж1.
Таким образом, усредненный по ВФ оператор возмущения 16 3 пзаз пзаоз Собственные значения опертора ат вычисляются так же, как и для 1в: в1 =,Г" (1" + 1) — з (з + 1) — 8 (8 + 1), где через г обозначен полный момент атома. Так как в = 1/2, то возможны лишь два значения ~: г" = з ~ 1/2. Для атома водорода (з = 1/2) уровень 1в1~2 расщепляется на два подуровня, расстояние между которыми ЬЕ = — род —, (2з+ 1) =0,93 10 бэрг (12.31) "о мало по сравнению с расстоянием между компонентами тонкой структуры (см.
гл. 10). 1. Показать, что в классическом случае при движении заряда в поле 112.13) проекция кинематического момента на направление поля всегда положительна, в отличие от я-проекции обобщенного момента 2. Найти коммутационные соотношения для компонент скорости еч заряда в однородном магнитном поле. 3. Определить спектр и ВФ заряда в постоянных однородных и взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях.
4. Частица со спином 1Й находится в переменном магнитном поле Ж ($). При 1 = О спиновая функция частицы имела вид у = е сов Ь ~+) + е вш Ь ] — ). Определить среднее значение проекций спина на оси х, у и зависимость направления поляризации частицы от времени. 5. Определить спиновую ВФ частицы со спинам 1/2 в магнитном поле .Ф,' =.Уг в1пасова1, Ж„' = ЗРвшав1пго1, .Уг,' = М'сова. б.
Два протона зафиксированы на расстоянии а в магнитном поле напряженности Ж', образующей угол а с линией, соединяющей протоны. Определить уровни энергии, рассматривая диполь-дипольное взаимодействие как возмущение. 222 Хлава 12 7. Магнитное поле создается кольцами Гельмгольца — двумя круговыми витками проволоки, расположенными в параллельных плоскостях так, что центры их находятся на общей оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
