Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Вместе с тем можно сделать некие качественные утверждения. Фотон движется со скоростью света, так что невозможно перейти в систему отсчета, где бы он гюкоился. По это значит, что невозмогкно разделить его полный угловой момент на орбитальную часть и спин (т. е. собственный момент). В связи с этим утверждение, что спин фотона а = 1, означает только то, что это значение есть.игггнкигпзьние количество момента импульса, которос может унести фотон. Дело в том, по фотоны возникают в результате двнгкения (нзменения состояния) системы частиц (зарядов), например при переходах электронов в атомах с одних энергетических уровней на другис.
Соответственно момент импульса фотона определяется по тому, какое изменение момента импульса системы произошло в результате сто испускания или поглощения, Остановимся немного подробнее на классификации состояний фотона. Для этого нам понадобится такое важное понятие, как четность, 10.2. Четность относительно преобразования инверсии координат Понятие четности определяет свойства волновой функции при преобразовании инверсии координат.
(Сразу подчеркнем, что эта четносгь отличается от четности относительно перестановок частиц, о которой мы говорили в предыдущей главе в связи с формулировкой принципа Паули.) Под преобразованием инверсии имени в виду преобразование зеркального отражения: (10.13) г — — г (рис. 10.3, а). Формально действие этого преобразования записывается следующим образом. Введем опершор инверсии Р, который действует по правилу Рг =- — г. (10. 14) !0.2. стсппзоспзь отиосивзсзьио преобразования гамсрсии коордииам 209 Рис.
10тк Повеление полярного (а) и аксиального (о) вскгоров при преобразовании инверсии (отражении в зеркале) Соответственно действие этого оператора на волновую функцию состоит в следующем: Рф(г) = зР( — г), (10.15) Эю правило позволяет найти собственные значения оператора Р. Применяя дважды этот оператор к волновой функции, мы должны получить, согласно(10.15), тождественное преобразование: Р зр( ) =- чг( ). (10.16) Если обозначить символом Р собственное значение оператора Р, то соотношение (10.1б) означаег; что Рв==! или Р=~1.
(10.17) Если в некотором состоянии оказкется Р == +1, то говорят, что данное состояние является четны.и, состояние же с Р = — ! нечетное. Пусть имеется некоторая функция координат !"(г). Если эта функция не меняется как цри поворотах системы координат, так и при преобразовании инверсии, то она называется скаляром. Если жс она инвариантна относительно поворотов, но меняет знак при прсобразовании инверсии, то она называется псевдоскаляром. Аналогично имеются полярные векторы и акснальные векторы (или псевдовскторы). И те, и другие ведут себя одинаково при преобразованиях вращения систем координат — как обычные векторы. В то же время полярные векторы характеризуются определенным направлением в пространстве, тогда как направление псевдовекторов задается условно, в соответствии с выбором положительного направления вращения (например, по правилу буравчика).
Прн отраясснии в зеркале (рис. 10.3) полярные векторы (и) меняют направление иа противоположное, а аксиальные векторы (а) направления нс мснякзт. Формально действие оператора инверсии Р на полярный (ч) и аксиальный (а) векторы записывается следующим образом: (10.18) 2!0 Гл. !О. Радаапаопные переходы Примерами полярных векторов являются радиус-вектор точки г, вектор импульса р, веггтор напряженности элеь-грнческого поля Е и т. д. Примерами аксиальных векторов являются вектор момента импульса 1 =- г(г, р), вектор напряженности магнитного поля Н, вектор спина Я и т. д. 10.3.
Четноеть квантовомеханических объектов Пайдсм четность частицы, связанную с движением в центральном поле. Оказывается, в стационарном состоянии ее волновая функция моягет быль представлена в виде Ф(г) = В(г)!'г 1О. ). (10. ! 9) 1:„п(Отр) = г ткРГ(с вО) Здесь Рг'п(в) присоединенные полиномы Лежандра; рт( ) ( !)т(1 2)пг12 г1 р( ) г1;»~ вырюкаюпгиес» через обычные полиномы Лежандра: В частности, Рго(з) =Рг(-). Подробно со свойствами этих полиномов можно познакомиться в любом учебнике по математической физике. Для нас жс достаточно того, что эти полиномы обладают тем свойством, что Рг"'( — =) =— ( !)1 — прт( ) Преобразование инверсии сводится в сферических координатах к замене Π— ' и — О.
(10.20) зо. Соответственно для волновой функции это означает Ргп'(соа(х — О)) = 1пгт(-совО) = (-1) 'пргт(совО), пп( пгд ( 1)пг лггг Угт ( г О, + ) — ( 1) ( 1) Уг,(О ) — ( 1) Ъ| (О (10.2!) Таким образом, состояния с определенным угловым моментом имеют четность ( — 1)'. Пусть система состоит из частей А и В (например, атомов), которые имеют чегность Рл и Рд соответственно. Числа Ря и Рн называкггся внутрещаьпи чалгиостлагги частей системы и связаны с внутренними степенями свободы. Тогда волновая функция всей системы равна произведению волновых функций частей, умноженному на волновую функцию относительного 211 !ц4.
Закон сохраненья кетностп где! моментимпульсаотноситсльногодвижсниячастей.( нрэ,а( — 1)' четность волновой функции относительного движения. Элементарным частицам приписывают внутреннюю чегность следующим образом. Если час зица --. бозон, то (за исюзючением фотона) ее четность может иметь определенное значение н определяется из экспериментов, в которых происходят превращения частиц, но выполняется закон сохранения четности. Если частицы со спином я =- 0 обладают четностыо Р = 01, то их называют скалярпыии бозоншт, а если четностью Р =. — 1, — то псевдоскояярныип бозоничи. Для фермионов внутренняя четность не определена однозначно, и для них вводится ояпноснтсяьная ннттренняя чгнпность, и е. чезность по отношению к некоторым фундаментальным частицам.
В частности, для электрона, протона и нейтрона полагают (10.23) 10.4. Закон сохранения четности Рассмотрим систему, состоящую из и частиц, взаимодействующих друг с другом и!илн с внешним полем. Запишем уравнение Шредингера для такой системы: !ь — -- ЙФ, д~ а гамильтониан представим в виде (10.24) Й =Т+(). (10.25) Здесь Т вЂ” оператор кинетической энергии образующих систему частиц: Т-.')" К д~и, (10.26) а à — оператор, описывающий взаимодействие частиц между собой и с внешними полями. Очевидно, по преобразование инверсии координат не меняет оператор Т. т1то касается оператора взаимодействия П, то обычно он также инвариантен по отношению к преобразованию инверсии.
Например, если имеет место парное взаимодействие, определяемое только расстояниями между движения. При этом полная четность системы может быть представлена в виде Р = Р,Р,(-1)', (10.22) 212 Гп. «О. Радиачпоппые переходы частицами, то энергию взаимодействия частиц можно записать в виде Й - ~ Гп( г,— гь ). (10.27) Свойство инвариантности (РГ) = Г для такого взаимодействия очевидно. Взаимодействие частиц, обладающих дипольным моментом «1, с электрическим полем Е и частиц, имеющих магнитный момент «з, с магнитным полемН, Г(б, К) = — бК.
Г(«,Н) =- — «Н, (10.28) также является инвариантным, поскольку в первом случае в оператор Г входит скалярное произведение двух полярных векторов, а во втором двух аксиазьных векторов. Аналогичная ситуация имеет место и в других случаях, когда присутствует обычное электромагнитное или сильное (ядерное) взаимодействие.
Имея в виду сказанное, предположим, что при изменении знака координат все слагаемые в гампльтониане остаются без изменения. Это значит, что Р(ЙФ) = Й(РФ). или РН.— ЙР = О. (10.29) Таким образом, гамилыониан и оператор четности коммутируют друг с другом и, следовательно, энергия и четность могут иметь одновременно определенные значения. Если в начальный момент четность имела определенное значение, то она является сохраняющейся величиной.
Покажем это же, непосредственно рассмазривая эволюцию системы. Пусть в момент « = О имеется состояние с определенной четностью, Тогда, согласно уравнению (10.24), Ф(г, «+ «з«) = Ф(г, «) + — ЙФ(г, «)Рз«, = (1+ — ЙЛ«) Ф(г, «). (10 30) зь ' «в Операюр, стоящий в скобках, является четным. Поэтому из (10.30) следует, что функции Ф(г, «) и Ф(г, «+ «э«) имеют одинаковую четность. В частности, если Ф(г, «) — четная функция координат, то и Ф(г. «+ Л«) также четная функция. Другими словами, при сдвиге во времени на малый шаг Ь«четность волновой функции не изменилась. По это значит, что и при сдвиге на л«сбой конечный не малый шаг (предстааляющий серию малых шагов) четность не изменится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
