Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Именно в этих условиях начинают проявля ться эффекты, обусловленные тождественностью частиц. В большинстве случаев обменный интеграл положителен. Поэтому энергия ортососзояния (а =- 1) оказывается меньше, чем энергия парасостояния (а = О). Этот факт дает квантовомеханичсское обоснование (хотя и для частного случая двухэлектронной системы) эмпирически установленного правила Хунда, по которому в основном состоянии спин электронной системы должен быть максимальным. Оказывается, именно обменное взаимодействие играет существенную роль в образовании ковалентной связи в молекулах.
В качестве примера рассмотрим молекулу водорода Пз. Если электроны взаимодействуюших атомов находятся в противоположных спиновых состояниях (что соответствует парасостоянию молекулы), то они могут сближаться. В резулыате в пространстве между ядрами электроны могут находиться с большой вероятностью, формируя в этой области "электронное облако". В свою очередь экранирующее действие Оз 9.8 Обиенное взаянолействле причем(в,) =- (в1) - — ! — +!) .- —.Далеезаметим,что з 2 в 4 в1вз = — [(в1 + вз) в! .
в21 в Отсюда ясно, что собственные значения оператора ч ~ йз есть вгвз — ' — ~в(а ( !) 2 ' — ( — + 1)] ='-' — [а(ь + 1) 1 Соотвстственно оператор — [1 + 4чзвз) имеет собственные значения 2 1 ( — 1, а.= О. — (1+ !взаз) == 2 +1, в.= !. (9.3 7) "облака" приводит к уменыпению отталкивания ядер и даже к их притяягению к "облаку", Кроме того, увеличение доступной электронам области движения приводит, в соответствии с соотношением неопределенностей, к уменьшению их средней кинетической энергии. В итоге полная энергия системы понижается и появляется достаточно сильное притяжение атомов, создающее молекулу в парасостоянии.
Если электроны находятся в одинаковом спиновом состоянии (что соответствует систсгае, находящейся в ортосостоянии), то электроны оказыванэтся пространственно разнесенными к разным атомам, отталкивание ядер усиливается — минимум потенциальной энергии достигается прн бесконечном удалении атомов друг от друга. Кроме шго, возрастает средняя кинетическая энергия электронов (вследствие сужения доступной !у области движения). Это приводит к увеличению энергии системы и невозможности образовать люлекулу в оргосостоянии. Ф'[' Таким образом, связанное состоя- "а — ь нис двух атомов существует юлько в случае полного спина я = О (синглетного состояния), тогда как состояние со олином з — - ! (или триплегное состояние) оказывается неустойчивым.
Зависимость потенциальной энергии Рис. 9д, Зависимость потенциальной взаимодействия двух атомов водоро- энергии взаимодействия атомов вода от расстояния г между ядрами для лорода в случае ортосостоянвя (Ц) арто- и парасостояний показана на и ларасостояння (1!). Величина гс рис. 9.1, иллюстрирующем сказанное есть значение равновесного расстоя- В закзкщсние этой главы най ем аня между атомами лля триллетного состояния вид оператора, описывающего энергию обменного взаимодействия электронов. Пусть операторы спина первого и второго электронов есть вг и йз, 204 Пи. 9. Принигггг Пали, ггериоди гескаи систина гмаиентои 31тгдеиеееи Ё,„- ....
— 1ао ~1 -~. 48г взгг ~9.38) 2 Обобщение на случай системы, включающей произвольное число электронов, не представляет труда; ) „- = 'г,1иг [ — + 2вА], г. гг (939) где суммирование производится по всем электронам системы. Величины,1,ь называются обменными интегралами (по аналогии с 1 с). Обратим внимание на то, что выражение (9.38) (нли (9.39)) выглядит по форме так же, как оператор взаимодействия спиновых магнитных моментов электронов. В рассматриваемом сейчас случае такая структура е',в никак не связана с магнитным взаимодействием, а является проявлением принципа Паули. Заметим, что именно обменным взаимодействием обусловлено явление фсрромагнетизма и, согласно теории, предложенной В. Гейзенбергом, оно описывается гамильтонианом вида (9.39).
Они, очевидно, зависят от суммарного спина и. Таким образом. добавку к га- мнльтоннану, описывающую облгенное взанлюдействие электронов, можно представить в виде ГЛАВА 10 РАДИАЦИОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ Шел в комнату, попал в другую. (А. С. 1 рибоедов) Итак, микромир характеризуется наличием некоторого дискретного набора разрешенных к существованию квантовых состояний дискретных уровней энергии. Закономерно возникает вопрос о том, по каким правилам и как происходят переходы меягду теми или гиньгми уровнями.
10.1. Спин и момент импульса фотона В 1898 г А. И. Садовский теоретически предсказал вращающее действие эллиптически поляризованных световых волн, падающих на кристалл. Из его утверждения следовало, что световая волна имеет собственный момент импульса. Чтобы убедиться в сказанном, рассмотрим заряд и, вращающийся по круговой орбите вокруг оси - (рис. 10,1). В этой ситуации заряд создаст дипольное излученце, поскольку периодически меняется дипольный момент электрона г1 = сг относительно ядра.
Заметим, что согласно зако- в нам электродинамики в направлении оси з, перпендикулярной плоскости орбиты, излучение имеет круговую поляризацию, а в направлении, перпендикулярном оси , — линейную. Чтобы исключить последнюю, достаточно рассмотреть систему большого числа диполей, леткащих в одной плоскости.
Тогда в результате интерференции волн от отдельных диполсй составляющая иззу гения в направлении, рис 10.1. Электрон, врвшающийсв перпендикулярном оси -, исчезнет, по круговой орбите (к объяснению Рассмотрим атом водорода. Пусть эффекта Садовского) потери энергии за счет излучения малы, так что чоткно пользоваться формулами, описывающими равномерное вращение электрона вокруг ядра. Предположим для простоты, что электрон находится на круговой орбите радиуса г. Если угловая скорость врашения электрона есть ьй то центробежная сила равна ю о,з 1„г, = ' = гтг, г-г. (10.1) 806 гл. !О. Родеаппо~еые переходы Сила кулоновского прнтя>кения к ядру Г-и.
= —" х уравновепзиваст цснтробеяеную силу: (10.8) ез гпгее-г = —. ,.г ' Отсюда находим связь угловой скорости электрона и радиуса орбиты: (10.4) у пе,гл Полная энергия электрона с учетом (10.3) равна гп и е гз т,зге ез ез 2 г 2 2г (10.5) За счет излучения радиус орбиты меняется. При этом (10.6) зг'з С учетом (10.4) момент импульса электрона можно представить в виде Е .— гаепг =. гле зг — тгг — — ххее- гпгг, (10.7) 2 З )ге .. гг гпгг ' так что при изменении радиуса орбиты оказывается 2З' г (10.8) Используя (10.6) н ( ! 0.8), находим г1Гз ) г.~ дб )~ гл гз (10.9) (10.10) Поскольку полная энергия и момент импульса системы "электрон г + свет" сохраняются, свет уносит как энергию, так и момент импульса, связь которых определяется найденной формулой (10.9). Величина е при этом совпадает с частотой излучения, поскольку она определяет частоту изменения дипольного момента заряда (электрона).
Известно, что свет испускается порциями (квантами) с энергией г)Š— —. Ь,з Тогда, в соответствии с (!0.9), квант будет уносить н момент импульса г)А = )к на эту величину будет убывать проекция орбитального момента Ех = гпй электрона при излучении одного фотона. Сказанное указывает на то, что при электрическом дипольном излучении испускаются фотоны со спином 207 10 й Спин и яцяенглимлкьса фотона Попробуем понять качественно смысл собственного момента фотона.
Что же такое фотон? Фотон непосредственно связан со световой волной. О световой волне мы знаем, что это поперечная волна и что, следовательно, для нес возможна та или иная поляризация. В оптикс, да и в СВЧ-технике, предпочитают работать с линейно поляризованной волной, с которой проще иметь дело в эксперименте. 1!о возможна нс только линейная, но и циркулярная поляризация, которую в оптикс представляют как две линейные взаимно перпендикулярные поляризации со сдвигом фаз к/2.
В квантовой механике улобнсс за исходные поляризации брать не линейные, а циркулярные, направленные в противоположные стороны (рисунюи 10.2, а и 10.2, б). Тогда линейно поляризованная волна (рис. 10.2, и) есть суперпозиция двух волн с круговой поляризацией и наоборот. Как всегда, важно число компонент, а не то, какие именно компоненты выбраны. Рвс.
10.2. Поляризации электромагнитной волны: и) левая поляризация; б) правая поляризация; в) линсйввл поляризация (р .— — сопзГ) Рассмотрим циркулярно поляризованный свет. Вектор Е вращается по кругу. В элементарной световой волне, циркулярно поляризованной, присутствует вращение. Кроме того, в силу попсречности световых волн волновой вектор (с, вокруг которого вращается вектор Е, направлен нли по движению волны света, или против.
Поэтому ясно, что когда мы хотим квантовомсханически описать фотон, то оказывается, что спин фотона нс равен нулю. Если оы спин фотона был бы равен нулю. то свет не мог бы быть цоляризован. Как мы видели из анализа эффекта Садовского, фотону логично приписать спин н =. 1. У лзобой другой частицы при спине, равном 1, возможны 2я + 1 = 3 проекции спина на избранное направление: з = +1, О, У фотона дело обстоит иначе; ои может находиться только в двух спиновых состояниях с проекциями спина иа направление распространения, равными только з, = +1 и в, = — ! .
Это свойство фотона ассоциируется с поперсчностыо световой (электромагнитной) волны. В самом деле, вследствие поперечности электромагнитных волн в вакууме (а именно об этой ситуации мы и говорим) вектор Е ортогоналсн вектору к. Поэтому винт; ассоциируемый с поляризацией волны, г. с. с вращением вектора Е, мозкет иметь только две ориентации: по направленинз распространения волны (т. с, по направленинз волнового вскзора )с) и против.
Гл. !О. Родяаггггоггггые переходы Поляризационное состояние микрообъектов иногда удобно характеризовать квантовым числом, называемым слггральнослгью, и по опредсленшо равным проекции спина на направление импульса: Л - -(в)э). (10. 11) Если Л ) О, то говорят, что частица имеет правую или правовинтовую спиральность, если же Л ( О, спиральность называется левой или левовинтовой. Для фотона, в соответствии с двумя возможными поляризацпонными состояниями, спиральность может принимать два значения: Л =- ='!. (! О. 1") Подробнее говорить о свойствах фотона в рамках нерелятивнстской квантовой механики затруднительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
