Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Принялв Паули 1нрподилескал сиснгеиа знеиентов Менделсон после чего персмно1кснис м ' и и осуп1сствляется по обычным правилам псрсмнояссния матриц (в данном случае — строки и столбца). Если частица находится в определенном спиновом состоянии, то се волновую функцию можно представить в виде ~ 1 =- а(г)г.
1~2 (9.16) для случая,з, =- -~-1,1н2 или Гз = б(г)т 72 (9.17) для случая л- .=- — 1(2. В этих формулах величины хл1~2 есть столбцьэ т-'1'2= 0 ° ~- Д= (9.18) Гели мы имеем дело с частицей со спинам нуль, то се волновая функция сводится к скаляру — - единственной функции координе ь В случае жс частицы со спинам з > 0 волновая функция может быть представлена столбцом с числом компонент 2л ' 1. 9.7. Математическая формулировка принципа Паули После этих замечаний рассмотрим систему двух тождественных частиц. Предположим, что обычное силовос взаимодействие между ними отсутствует.
Гамильтониан системы тогда записывается в виде Н.; Н1 эйз, где Н1 и Нв гамильтонианы отдельно первой и второй частиц. Пусть частица 1 находится в квантовом состоянии о, а частица 2 в квантовом СОСтОяНИИ 3. ОбОЗНаЧая ВОЛНОВЫС фуНКцИИ ЭТИХ ЧаСтлц йо(Г1) И 12З(Г2), имеем уравнения для одночастичных стационарных состояний: Нзюа(гэ) = Е ьа(гэ).
Нзввз(12) = Езюз(г2). (9.19) Пас интересует вероятность того события, что один электрон находится в точке (21. у1, 1), а второй одновременно — в точке (гз, дз, 22). Лмплитуда вероятности такого события, очевидно, равна произведению га з(г1, гз) =- сс (г1) мз(г '). (9.20) Запись эта предполагает, что можно проверить на опыте тот факт, что именно первый электрон находится в первой точке, а второй — во взорой. Однако электроны тождественны и невозможно проверить, где находится какой из пары неразличимых электронов, равно как нельзя проследить за траекторией каждого из электронов на их пути в эти точки — ведь траекторий тоже нет.
Кроме того, с формальной точки зрения функция (9.20) нс удовлетворяет свойству сиымстрии (9.9) или (9. !О) и потому неприменима для описания частиц тождественных. 9.8 Обчеллов взаяяодс!ютвас Для того чтобы записать правильную волновую функцию, нужно сс должныч образом симмстризовать, При этом для систсмы бозонов получасм ьяз(Ч!.
Чг) =- — !!!л (Ч!) Оэ(!1г) ! !1„(Чг) фз(Ч!И. (9.21) ! г а в случас фсрмионов ! ы л(ч! чг) = = (ю~(!1!) сл(чг) — !г (чг) лдз(ч!)|. (9.22) ;~2 В этих формулах ввсдсн нормировочный множитель 11'эг2, прслполагающий возможность нормировки на единицу одночастичных волновых функций Ч (г!) и мл(гг), Если бы мы имсли систему из большого числа частиц, то должны были бы произвссти соответствующую симмстризацию таким образом, чтобы при псрсстановкс любой пары частиц волновая функция оказалась симмстричной в случае бозонов и антисиммстричной в случас фсрмионов. Тспсрь не прсдставляст труда получить принцип Паули. В самом дслс, соли два фсрмиона находятся в одном квантовом состоянии, т. е. а —,д, то из (9.22) нсмедлснно следует еап(!1! Чг) — !г ~к(Ч!) Оь(Чг) !'.ч(Чг) г я(Ч!)~ = (!. !/г 'Это означаст, что нс сущсствуст двух тождсствснных фсрчнонов, которые бы одновременно находились в одном и том жс квантовом состоянии.
Кромс того, из (9.22) видно, что соли фсрмионы находятся в одинаковом спиновом состоянии, я!, -=- ягп то волновая функция систсмы !ма(!1з, Чг) обращастся внульпригг -э г! (т.с.Ч! э Чг).Инычисловами,двафсрмионаводинаковом спиновом состоянии нс могут одноврсмснно находиться в одной точкс пространства. Это можно интсрпрстнровать так, что мсжду тождсствснными фсрмионами возникаст эффективное отталкиванис, нс связаннос с дсйствисм каких-либо обычных сил.
Из (9.21) видно, что для бозонов подобныо утверждения нс работакэт: бозоны могут находиться в одинаковых квантовых состояниях и могут нсограничснно сближаться (соли, консчно, какие-то силы отталкивания нс прспятствуют этому). 9.8. Обменное взаимодействие Из ужо сказанного видно, что благодаря принципу Паули характер взаичодействия двух тождсствснных фсрмионов зависит от полного спина системы. Такая зависимость возникает вследствис свойств симмстрии волновой функции относитсльно псрсстановок частиц и по сущсству отражает согласованнь!й, коррслированный характср их движения, дажс соли прямое, сизовов взанмодсйствнс частиц отсутствует. 200 Гг.
9. Принвгаг Патаи, нвриадиянская аистина эяеиннтаа Мендегаава Взаимное влияние частиц, обусловленное их тождественностью, называют обменным аэаимадействиея. Это взаимодействие является чисто квантовым эффектом и пропадает при переходе к классической механике. С некоторой долей условности обменное взаимодействие чожно представлять следующим образом. Рассмотрим два электрона, из которых один находится в атоме с центром в точке гы а второй в атоме с центром в точке гг. Каждьпй электрон проводит некоторое время то в одном атоме, то в другом. При этом ьчы нс можем сказать, какой из них и в каком атоме находится. Такич образом, происходит непрерывный "обмен информацией' между атомами, за которым мы нс в состоянии наблюдать, но который приводит к вполне наблюдаемым явлениям.
Если электроны находятся в одном спи новом состоянии, то они не могут сильно сблизиться вследствие принципа Паули — — возникает их эффективное отталкивание. И поскольку фсрмионы в среднем находятся дальше друг от друга, чем так же заряженные бозоньп электростатическая энергия понижается. Если жс спины электронов ориентированы противоположно, то принцип Паули нс запрещает электронам сближаться. Однако при этом электростатическая энергия их взаимодействия повышается. Из сказанного видно, что обменное взаимодействие меняет энергию обычных видов взаимодействия вследствие перераспределения частиц в пространстве, ! 1айдсм поправку к энергии системы, включающей два электрона.
Напомним, что если спины электронов параллельны П"), то мы говорим об ортосостояниях, если же спины антипараллельны (1г), то это парасостояния. Имея в виду значение полного спина системы, эти состояния называют также триплстным (я =. 1, 2.я + 1 =- 3) и синглстным бя =- О. 2я + 1 ==- 1), Энергия кулоиовското взаимодействия электронов равна ,,г 1Г(гм гг) =-— (9.23) т где г~ и гг -- радиусы-векторы щсктронов, а ггг =.
~г1 - гг, ,— расстояние между ними. По общим правилам среднее значение этой энергии дастся формулой — Ф*(гм гг)И(гы гг)Ф(гн гг)ЛгЛгг. (9.24) где волновая функция Ф (гм гг) предполагается нормированной условием 1' ~"Р(гм гг) ~гЛ'гЛ г = 1. Считая межэлсктроннос взаимодействие слабым по сравнению с взаимодействием электронов с ядром, мы можем приближенно заменить волновукг функцию Ф(гы гг) функцией, в которой электроны считается вообзцс не взаимодействующими друг с другом. Ддя того чтобы построить требуемую функцию, учтем, что кулоновскос 201 йл Ооненкое взокнопействке взаимодействие практически не влияет на спиновое состояние системы Поэтому полную волновую функцию, отвечающую определенному значению спина системы, можно представить в вндс произведения Ф(гг, гзэ Я!,, ззя) = У(агя, Язя)Ф(г!, гз).
(9.25) ЗДЕСЬ З!(В!я, Ьяе) СПИНОВа» ЧаетЬ, ПОЛНОСТЬЮ ОПРЕДЕЛЯЕМаЯ ЗНаЧЕНИЯМИ проекций спина на ось 2, а Ф(г!. гз) пространственная часть. Петрудно понять, что спиновая часть, удовлетворяющая условию Х(взя. Вг:) =+1(згя Зз ) (9.26) отвечает ортосостоянию, т. е. суммарному спину а .—" 1. Если же спиновая часть антиснмметрнчна: 7!(Ззе.
В!я) — -- — Х(В!я, .Ьзя) (9.27) то мы имеем дело с парасостоянием, когда суммарный спин я =. О. Сказанное становится очевидным, если учесть, что в случае ортосостояния (обн спина ориентированы одинаково) перестановка вообще не меняет расположения спннов, тогда как в случае парасостояния (спины антипараллсльны) такая перестановка приводит, хотя бы формально, к некоторому изменению спинового состояния системы. Далее учтем, что для фермионов, каковыми являются электроны, познан волновая функция (9.25) долл!на быть антисиммстричной. Поэтому в случае ортосостояння (когда спиновая часть волновой функции симлзетрична) пространс гвснная часть долл!на быль антисиммегричной: Ф(Г2, Г!) = — Ф(г!. Г2), а в случае парасостояния (когда спиновая часть антисимметрична) — - сим- метричной: Ф(Г2, Г!) = +Ф(г!, Гз).
(9.29) Если обозначить через сто (г) одноэлекгронную волновую функцию, то с учетом сказанного можно записать ! Фа(Г1, Г2) .— — 1зяо(г!)ттв(гз) ясо(Г2)тзз(г!)! (9.30) для ортосостояния и Ф (Гг; Г2) = — (зов(г!);сс!(Гз) ! тэо(Г2):рд(гг)) (9.3!) ! ,гз для парасостояния. В (9.30) индекс а у функции Ф означает антисиммстричную пространственную часть, а в (9.31) индекс к — силгметричную. Индексы а и Д указывают квантовые состояния электрона в атолге (кроме его спинового состояния). и Кулоновское поле непосредственно дсйствуег юльке на заряды, Действие же сто на спин осушествляегся лишь посредством спин-орбитального взаимодействия, которое является весьма слабым. 202 Гь 9.
ПРии лил Паули, аериоде ческая еимлеиа эееиентое Меидшеееа Теперь нетрудно записать выражение для средней энергии взаимодействия электронов. Предполагая, что спиновая часть волновой функции нормирована на единипу (Х г~ = 1), согласно (9.23), (9.24) и (9.30), (9.31) находим — — ьаа(гз)зрэ(гз) +:еа(гз)еэ(гз), А1'1~Л'з = 1иш 1ив. з1 м2 (9.32) Знак "+" отвечает парасостоянию (я = О), а знак "—" ортосостоянию (а = Ц. В (9.32) введены обозначения г!а (9.33) Р„а (Е1) Риа (Г2) гы (9.34) ра(г) = с-рг-,и(г) (9.35) раа(г) — Р:;;,(г),." з(г).
(9.36) Как видно из приведенных формул, энергия взаимодействия электронов состоит из двух частей: 1,,и и 1,в. Выражение для 1„,, имеет классический вид н представляет собой обычную энергию кулоновского взаимодействия. Слагаемое 1ио обусловлено тождественностью частил и называется обиеннам~ а и и егреиозь В кулоно во кую энергию входит обычная плотность заряда (9.35). В обменную же энергию входит величина (9.36), которую условно моягно назвать обменной плотностью заряда.
Ес квадрат модуля ~ ри,з(г) ~з опредсляет плотность вероятности одновремснного нахождения двух электронов в одной точке пространства (для случая, когда эффекты тождественности не учитываются). Очевидно, что эта величина отлична от нуля, если волновые функции первого и второго электронов перекрзлвакэгся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
