Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Однако в эксперименте вместо триплета наблюдается дублет и нри том в отсутс гвне внешнего по и. Отсюда следует вывод, что трех квантовых чисел и. 1, т недостаточно для полного описания состоянги электрона в атоме. Вместе с тем легко объяснить дублетное расщепление термов одновалентных атомов, если ввести предположение о том, что электрон имеет собственный магнитный момент. В атомах во всех состояниях, кроме в-состояния, для которого орбитальный момент равен нулю, существует внутреннее магнитное поле орбитального происхождения. В этом поле, подобно тому, как это имеет место в опыте П!терна и 1'срлаха, возможны две ориентации магнитного момента электрона, соответствующие двум несильно различающимся уровням энергии.
') Ниже будет показано, что единственный валснтный электрон натрия имеет квантовое состояннс Зсч а первое возоуждсяшое состояние есть Зр. 174 Гл 8. Лглглиглныл.иомела испив Три квантовые числа и, 1, ~о бьши введены при общем рассмотрении внутриатомного двиэкения электрона, исходя из его трех степеней свободы. Другими с:ювами, до сих пор электрон рассматривался как точка. На самом деле его действительный размер не установлен. Известно лишь, что характерный пространственный размер электрона заведомо не превышает 10' ы см. Можно, следовательно, рассматривать элекзрои как предельный случай малого тела. Л малое тело моягет вращаться вокруг своей оси.
В предельном переходе при дсшьнейшем уменьшении размеров это тело будет продолжать вращаться. Именно этим предельно малое тело отличается от материальной точки, которая вращаться не может по определению в силу бессмысленности понятия поворота д гя объекта нулевой размерности. Если бы можно было рассматривать электрон как тело конечной протяженности, то ои, кроме трех поступательных степеней свободы, обладал бы и вращательными степенями свободы.
Соответственно, он имел бы механический момент и, как всякое вращающееся заряженное тело, магнитный момент. Но идея "макроскопичсской" конечности размеров электрона нс находила в свою пользу никаких аргументов. Напротив, все тому противоречило. В 1925-м году Улснбск и Гаудсмит под давлением экспериментальных фактов выдвинули смелую гипотезу, приписав элекгрону механический и магнитный моменты столь же формально, как ему приписываются масса ш, и заряд — г.
Величина механического момента легко определяется из результатов спектроскопических исследований щелочных металлов. Подобно всякому моменту, момент электрона должен быть квантован. Поэтому если в единицах Й величина механического момента есть з, то до.тлены быть возможны 2в + 1 проекций этого момента иа выделенное направление. Это полностью подобно тому, как орбитальный момент! имеет 2( + 1 возможные ориентации относительно выбранного направления. Тот факт, что термы натрия представляют собой дублеты, приводит к выводу, что спин электрона имеет только две возможные ориентации, т. е.
2я + 1 =. 2, и мы имеем в = 172. (8.19) Это соотношение дает квантовое число механического момента электрона. Соответственно (в размерном виде) проекция механического момента на выделенную ось может принимать два значения; з. =- ='67'2. (8.20) Появление полуцелых квантовых чисел выг:идит странно, но странность или обыденность тех или иных физических представлений не может слухгить критерием их истинности или ложности. Так, представление о вращающемся протяженном электроне хотя и не сгранно, но неверно. В частности, лля того чтобы столь малый объект, как электрон, мог иметь конечный угловой момент (8.20), точки его поверхносги должны бьши бы двигаться со сверхсветовой скоростью.
В самом деле, представим 175 8.4. Сика момент импульса электрона в виде Л, =- 7ы =- А/2. (8.21) Здесь 7 — — момент инерции электрона. В случае однородного шара радиз уса г„как известно, Т, = — ш,,г,-. Поэтому положим 7 ( . Поскольку 3 скорость точек поверхности шара равна и = ш г,, из (8.21) находим Вг, Ь З! ьэг,. (8.22) Для оценки величины г, примем, что энергия электрона ш,с- имеет д электростатическое происхождение, т. е. по порядку величины е- 2 С'„.г, — ш,с .
г, Последнее соотношение определяет так называемый юзассический радиус электрона: го = (8.23) т,са Поэтому, полагая г, го, получим из (8.22) г — с — — — = 137с. вз и (8.24) что на два порядка превышает скорость света! Если бы мы взяли в качестве оценки радиуса электрона его комптов новскую длину, т, Л = ', то вместо (8.24) получили бы о с. В то ш г хге время нет никаких оснований для такой, более "оптимистичной", чем (8,24), оценки: как уже отмечалось выше, измерения показывали, что электрон ведет себя как частица с радиусом если и конечным, то много меныпим его комптоновской длины. Вопрос о происхождении момента импульса электрона полностью решается в релятивистской квантовой механике, в которой полуцелыс значения его спина получаются из весьма общих предположений.
В рамках жс нашего изложения важно лишь то, гго использование полуцелых квантовых чисел для спина электрона ведет к результатам, находящимся в полном согласии с данными экспериментов. Итак, электрон обладает собственным магннтныги моментом )т, проекция которого на любое заданное направление может принимать только два зна ~ения: дь = Цдп = ~ (8.25) Звмс В этой записи учтено, что заряд электрона есть —.е ( О. Сравнивая (8.25) и (8.20), мы видим, что отношение спинового магнитного момента к 176 гл а Мигпитаый.иоыеюм и стга спиновому механическому моменту равно е в- ьыг (8.26) Это значит, что мы можем записать е )з = — а.
~а,,с (8.27) Таким образом, гиромагнптное отношение, которое для пространствене ного (орбитального, см. (8.8)) вращения электрона равно 0~ = —, для зпмс с собственного спина электрона оказывается вдвое большим: ",, =— т,ю В классической квантовой механикс этот факт является чисто экспериментальным. В релятивистской квантовой механике уравнение Дирака позволило вычислить магнитный момент электрона и дало правильное значение гиромагнитного отношения без привлечения каких-либо дополнительных гипотез или экспериментальных фактов.
Но это лежит уже вне пределов нашего изложения. Чтобы учесть отличие магнитных моментов орбитального и спинового происхождения, соотношением Р = ярпд (8.28) формально вводят так называемый г)эаюпор Ланда 8 или, кратко, 8-фактор. Знак "—" здесь связан с тем, что заряд электрона отрицателен, а магнетон Бора по определению положительная величина. В (8.28) мы единообразно обозначили символом Л момент импульса (орбитальный 1 или спиновый я), измеренный в единицах постоянной Планка й. В частности, зшшсывая (8.28) для орбитального и спинового магнитных моментов, имеем Р.~ —.
8эднь (8.29) )ц =- — 8ьпг,1. 8, =-1. Индексы ( и я указываюг, о каком именно моменте идет речь. 8.5. Тонкая структура 1=1+ я. (8.30) Следуя Зоммерфельду, 1 иногда называют внутренним квантовым Итак, электрон учао гвует сразу в двух вращениях: в собственном (спиновом) и в пространственном (орбитальном). Его спиновый а и орбитальный 1 моменты, складываясь по правилам сложения векторов, дают (в единицах Б) результирующий момент 1, равный 177 !Г5.
Тонкая струкгязра числом. Оно представляет собой полный механический момент одноэлектронного атома. Поскольку для электрона а =- 1!'2, полный момент всегда является полупелым; мы имеем либо ) = ! + 1/2, либо ! = ! — 1(2. Рассмотрим электрон, у которого ! У О. У него есть пространственное вращение. Опираясь на орбитальное двиэкение электрона, выделим ось направление механического момента. Тогда спин может быть двумя взаимно противоположными способами ориентирован по отношению к направлению этого момента: как по направлению, так и прогна него. Благодаря движению электрона возникает взаимодействие сто магнятного момента с кулоновским полем ядра (атома). Энергия этого взаимодействия зависит ог того, как ориентированы относительно друг друга спин и орбитальный момент. Две ориентации две энергии.
Это и приводит к дублетному расщеплению. Одни лишь а-термы (! = 0) синглетны, так как в этом случае нег пространственного вращения. Игак, возможность двоякой ориентации спина электрона относительно его орбгпального момента эквивалентна расщеплению уровней энергии электрона вследствие магнитного взаимодействия спинового и орбитального двиягений. рассмотренное расщепление уровней носит название тонкой структуры и ярко проявляется в оптических спектрах. Нетрудно получить явную оценку величины тонкой структуры. Воспользуемся квазиклассическими представлениями.
Собственный магнитный момент электрона равен магнетону Бора, р. = — дп. Для нахождения энергии взаимодействия магнитного момента с кулоновским полем перейдем в систему отсчета, связанную с электроном. Тогда в этой системс вокруг электрона будет вращаться ядро со скоростью к и создаст в точке нахождения электрона магнитное поле В = — (к, Е). (8.31) Напомним, что это соотношение имеет место в нерслятивистском приближении и может быть легко получено из закона Био — Савара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
