Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 31
Текст из файла (страница 31)
При данном ! количество значений, которые может принимать проекция момента импульса на вьгделенное направление, равно 2! -!- 1. Исторически первой в роли той экспериментальной науки, на которой основываются и с помошью которой строятся модели электронной оболочки атомов, выступила спекгроскопия. По историческим же причинам в спектроскопии принято говорить, что цри ! == О мы имеем дело с в-состоянием, если / =- 1 . - то это р-состояние, если / = 2 то г!-состояние, / = 3 — /-состояние, а далее -- по алфавиту (д.
/з, !..... ). 152 Гл. 7 1Птраха кмодюя отава '1яаиент ииаизьси Эта терминология заимствована из систематики спектров щелочных металлов и происходит от сокращения английских прилагательных, качественно описываю|дих наблюдаемое; ! —. 0: хйагр — а-состояиие !резкий спектр); 1 .= 1: рг1пс!ра! р-состояние !главный спектр); ! = 2: Й!)ияе —. г1-состояние (диффузный спектр); ! =- 3: флдаглеи1а! — г-состояние (фундаментальный спектр).
Легко запомнить, по именно а-состояние обладает моментом, равным нулю, потогау от углов нс зависит, т, с, является сферичсски-симметричным. 7.3. Квантовые числа электрона в водородонодобном атоме В предыдущем изложении, исследуя уравнение Шредингера применительно к электрону в кулоновском поле атомного ядра, мы ограничились решениями, независимыми от углов 0 и:„. Сейчас мы обсудим результ,пы решения, при котором принимается во внимание зависимость не только от радиуса, но и от угловых координат.
Запишем уравнение Шредингера для электрона в кулоновском поле: (7.15) ф(г. 0. ") = фян„(г))'н,(0, ), (7.16) где первый множитель описывает радиальную, а второй -.. угловую за- висимость волновой функции. Угловая часть волновой функции есть соб- ственная функция операзора квадрата углового момента !см. (3.48), (3.49)) и удовлетворяет уравнению аэ . г'!!!чН г —, ~с.а)!;,Я Ф =-, Уь,(0, „) 2пмр 2т,,~з (7.17) л' (1.)апогиниьь что = — ' Лк, есть оператор центробежной ча2т,гз 2т,,~ з сти кинетической энергии.) Зависимость 1)„,(0, р) от угла,о как состояния с определенным значениел1 проекции момента 1, =- пй передастся форм)пой У~„,(0. р) = 7)'"!соа0)~'" и (7.!8) (ср.
!7.7); функции Е ~'" (з), называемые присоединенными полиномами Лежандра, для нас сейчас не представляют интереса). Здесь мы обозначили массу электрона символоги т„чтобы не путать сс с магнитным квантовым числом ш. Решение этого уравнения может быль представлено в вцле ДЗ. Квантовые числа электрона в водородоаодобноа атоме 153 С учетом (7.! 7) уравнение Шредингера для радиальной части принимает вид 2зФ' ' Š— ' + — Ф=О.
+ !Р ~ 2~н ге (7.19) Этому уравнению можно придать более привычный вид, если ввести эф- фективный потенциал Я»э гй1(! -~- 1) г 2~гмге (7.20) езгФ, ' (Š— Гяф(г)~ Ф .—. О. (7.2! ) Обратим внимание на то, что это уравнение нс содержит магнитного квантового числа ш. Следовательно, от ьч не будет зависеть и энергия Е.
Данный факт почти очевиден, поскольку мы имеем дело со сферически-снмметричным потенциалом, где отсутствуют какие-либо выделенные направления. Поэтому, несмотря на то что волновая функция может явно зависеть от угла )э, энергия состояния должна быть одинаковой для всех допустимых значений ш. Данное явление называется вырождением энергетических уровней. Если же сферическая симметрия потенциала окажется нарушенной, то энергия будет зависеть и от нь Такая ситуация возникает, например, при наложении на атом внешнего магнитного поля.
Вместе с тем, даже в случае сферически-симметричного потенциала энергия состояния может явно зависеть от полного углового момента !. Для нахождения значений энергии атома с помощью уравнения (7.19) можно воспользоваться процедурой, которая аналогична той, что была реализована для состояния с нулевым угловым моментом (см. гл. 6, а также задачу 17 раздела "Семинар' ). Мьь однако, применим метод квантования Бора -Зоммерфельда, дающий в данной задаче для значений энергии в точности тот жс результат. Чтобы воспользоваться этим методом, учтем, что 1 де(гФ) ЛгФ =- —, введем функцию и(г) = гФ(г) и перепишем уравнение р 0 ге (7.21) следующим образом: д-и рэ(г) иге Лэ (72э) Здесь введено обозначение (7.23) График зависимости (г„),(г) для случая ! 7'= 0 показан на рис. 7.1.
Связанным состояниям электрона отвечают значения энергии Е ( О, включающий, помимо обычной кулоновской части, еще и центробежную энергию. Кулоновская часть входит со знаком " -" и отвечает притяжению, а центробежная часть — со знаком "+" и отвечает отталкиванию. В резуль- тате получим 154 гд 7 1Птркхк к кадага атома. Макент пмпдльса Теперь для нахождения значений энергии можно применить правило квантования Бора — Зоммерфельда, которое в нашем случае имеет вид р(г)с)г = (п, + Ч 2кй.
(7.24) Здесь п,„= О. 1. 2.... — - произвольное целое число. Оно называется радиальпын кваптоаьск чкслан, по- С',~ (г) скольку описывает квантование радиального движения электрона. В (7.24) интегрирование выполняется по полному периоду квазиклассического движения частицы, осуществляемому между классическими точками поворота гл и гз (рнс. 7.1), так что в явном О виде правило (7.24) записывается следующим образом: Р(г)зг — —. гсй (по+ — ) . (725) Рнс. 74, Эффективный потенциал электрона в кулоновском поле ядра при ненулевом угловом моменте Прн этом, согласно (7.20), (7.23), р(г) = 2гпс ~~Е( ' ') .
(7.26) гл — )- О г — — г+ )14 зте Рй (7.27) С учетом (7.26) правило квантования (7.25) принимает вид Используем "табличный" интецзал; ту(г — г,')(гз — г) — '" = — (,(ггэ —,~ г~) г 2 Слсловатсльно, 2 2П (туся — ~/7~) =, — '— ~ Пе+ — ) . 72т,,Е 2 (7.29) Значения г~ н г. определяются из уравнения Е = 11,ф(г,', которос сводится к квадратном у уравнению 63. Квоитовые квела воектроиа в водородоподобиои апьате 155 Далее воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения (7.27): Увв 62!(! -'г 1) Г1+ Гз = —. Г1Г ~Е( 2пы Е Отсюда нетрудно получить (ъ'г2 вы) = г1 + г1 — 2ф'1гз =- — — 2 . (7,30) 2,, Ус~ Газй! -'~ Щ '1 2пп',Е~ Рассматривая квазиклассическое приближение, мы говорили, что в правиле квантования вносится поправка 172 к квантовому числу и,.
Аналогичного типа поправка вносится и по орбитальному моменту (так называегяая 1,2 поправка Лангера): ((! + 1) — ~ (! + — ) . Поэтому из (7.29), (7.30) получаем 2 Ев~ 26 !' !') 26 ( !Е(,,~2гп, Е) ~ 2 I чпЪоДН~ ' 2 / или — — . (п., + ! -.'- 1) . (Г~ . 22т, (Г! Отсюда окончательно следует (с учетом знака энергии) 262 пв (7.31) Здесь введено обозначение п =пи+(+1.
(7.32) Ее' о — » 1. или — ' « Уо., Ъ с (7.33) Величина и, называегся главпьи< квиптовыи чпслозь Обратим внимание на то, что мы получили фактически уже известное нам выражение для уровней энергии электрона в водородоподобном атоьге. Разница состоит только в том, что мы связали главное квантовое число с радиальным квантовьгм числом и орбитальным моментом. Остановимся иа условии применимости квазиклассического приближения к рассматриваемой задаче. В наиболес супзественной области движения ~Е) (г~, т.е.
г Уг,! ~Е . Движение является квазиклассичсским, если длина волны де Бройля, Л 6 /~/2о~,, ~Е~, мала по сравнению с размерами этой области: 6 лед Ес /2т,, « или ' ~ '>>1.Вводяскоростьчастицып тД~Е~ /вгц, е'2т, ~Е) )Е Г~ )! Е~ получим искомое неравенства: 15б Гл. 7 1Птрехяклодсш амона. Момент аяккзьеи где и постоянная тонкой структуры. Иными словами, двиягение электрона должно происходить с относительно малыми скоростями или в поле ядра с большим зарядом Ус.
Итак, полное решение задачи показывает, что тройка квантовых чисел и, !. ьч описывает некоторое определенное состояние электрона в водородоподобном атоме, в котором определенной значение имеют три одновременно измеримые величины — — энергия, квадрат момента импульса и проекция момента импульса. 7.4. Оболочечная модель водородонодобного атома Обсудим, как установленные правила квантования позволяют построить оболочечную модель водородоподобного атома. Эта модель использует тройку квантовых чисел п, 1, ш. Состояния электрона в водородоподобиом атоме разделяются на группы с одним и тем же значением главного квантового числа и. Группы в свою очередь делятся иа подгруппы с одинаковым !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
