Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 26
Текст из файла (страница 26)
На расстоянии боровского радиуса а от ядра с Я = 1 поле имеет величину порялка Š— ' =-1772 10 ед. СГСЭ = 71,15.10ЯВгсм. 16.21) аг При всей простоте и успехах теория Бора оказалась не в состоянии объяснить целый ряд закономерностей атомных спектров. Бе количественные есть радиус первой, самой низкой орбиты для У вЂ” 1; она называется боровскигг рат) пугало Далее можно найти энергию электрона, нахолящегося на и;й боровской таз Ваорбите. Замечая предварительно, что согласно (6.12) " = — '', подучаем 2 2г„ б 2. Кван~повилие знеогии зоенвлрона в амане водорода 127 6.2. Квантование энергии электрона в атоме водорода Перейдем к изложению последовательной теории водородоподобных атомов, основанной на уравнении Шредингера. Если энергия электрона меньше нуля, Е < О, то он локализован в потенциальной яме (рис. 6.1).
Его движение финнтно, а энергия квантована. Соответствующие уровни энергии можно найти, решив уравнения (6.2). 1'1ри анализе ввиду сферической симметричности залачн удобно перейти к сферическим координатам (3.53). Ограничим себя сначала возможно более простой задачей и рассмотрим случай, когда волновая функция не зависит от углов 0 и Зъ Это означает, что мы нщсм состояния, не имеющие момента импульса. Тогда после выполнения замены (3.53) входящий в (6.2) лапласиан переписывается как (6.22) Ог' гд.
н мы получаем уравнение р в дгз г д«1Р 1 г ) (6.23) Из-за того что мы нс учитываем зависимость Ф-функции от у1лов (1 и р, т. е. не учитываем углового движения, уравнение Шредингера оказалось записанным в обыкновенных производных. Введем обозначения ънlея з зтн о =- 1Р лв (6.24) Очевидно, что йз > О. Тогда уравнение (6.23) примет вид (6.25) где пприх означает дифференцированно по г.
Чтобы изучить решения этого уравнения, введем функцию Г(г) = гФ(г) (6.26) и учтем тождество ЛеФ 2 ИФ 1 Ле(гФ) 1 в' 1' Й'-' г г1г г Лгз г Иге предсказания отличались от того, что наблюдалось в опытах для большинства атомов (кроме водорода). Она также не могла оценить интенсивности спектральных линий испускания, объяснить расщепление линий н т. д. Вместе с тем зта теория остается весьма полезной для разнообразных оценок величин, характеризующих а1омные взаимодействия. 128 Гл.
б. Водородооодобяыб апач Тогда уравнение (6.25) упростится: г о + — Г = )сэг'. г (6.27) ро'.= )РЕ. (6.28) решение которого имеет вид (6.29) Второе решение, Е е ""', мы должны отбросить, поскольку оно неограниченно растет при г -о ю н не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к волновой функции. С учетом этого удобно положить г (г) = е ' 1~ г). (6.30) Таким образом, мы прин|ли к представлению волновой функции в следующем виде: ф(г) — -':-"',Г(г) (6.31) Подстановка (6.30) в (6.27) приводит к уравнению для функции э'(г): г'" — 21; )' + — )' =- 0 (6.32) Его решение ищем в виде степенного ряда: оо )(г) =.
~ Лог'. о=о (6.33) Тогда уравнение (6.32) принимает вид (А,, а (а — 1 ) г' э — 2 1м Л,„г' ' -1 н А, г' ') .—.. О в=о нли, после перегруппировки слагаемых, вид ,'Л,1а(а+ 1) — 2ймЛо+ оА,)г' ' = О. (6.34) в=с Полученное равенство должно тождественно выполняться для любых значений г. Следовательно, должны обратиться в нуль коэффициенты перед всеми степенями г' 1. В частности, при а = 0 находим Ао =- О. Для Далее заметим, что при г о ос второе слагаемое в левой части равенства оказывается малым по сравнению со слагаемым, стоящим в правой его части. Поэтому в этой области функция Г( г) удовлетворяет уравнению б 2. Кваггтовагггге эиеоеии гтектроиа в ототге водорода 129 остальных в получаем рекуррентное соотношение, связывающее последо- вательные коэффициенты ряда (6.33); Ав т — ' А,. в-.-1, 2. в(в, !) (6.35) А, т = Ав. '.
А, 2г (2ь)' (6. 36) Подстановка такого решения в (6ЗЗ) приводит к оценке «(г) — А(г) ~ ~— (2гег)в = ез~'. =о" (6.37) Здесь функция «о(т') сеть полнном, учитывающий отличие первых коэффициентов ряда (6.33) от значений (636). Таким образом, если на число о не накладывать никаких ограничений, то решение уравнения (6.25) при г х. будет неограниченно расти: Ф(г) — е ~'ось' =.—. — тгвг'. Поскольг 7' ку що противоречит требованию ограниченности волновой функции, мы должны исключить подобные ситуации.
Для этого мы должны оборвать ряд (6.33), сделав так, чтобы все коэффициенты Ав с достаточно большими номерами в > тг обратились в нуль. При этом функция «(г) сведется к полиному степени и. Обращение в нуль коэффициента А„г и всех последуютцих возможно, если окажется 2йп,— гт= О (6.38) или, согласно (6.24), 2тй ггг ' (6.39) Отметим, что это выражение в точности совпадает с выражением (6.15), полученным на основе полуквантовой теории Бора. Итак, мы пришли к квантованию энергетических уровней атома, причем в соответствии со сказанным волновая функция электрона может быть записана в следующем виде; Ф„(г) =- — е ""г(т (г)г Я„(т) —" Атг+ Агго -, '...
5 Аог . (6.40) В частности, для основного состояния (л = 1) имеем Ф,(г) = Ате э'., Бт = тр а (6.41) В случае произвольного, случайно выбранного значения числа о коэффициенты Ав при больших зна гениях номера (в » 1, в » гт«гг) удовлетворяют соотношению 130 Гя. б. Водородоподобныб отан Константу А~ можно определить, воспользовавшись условием нормировки: Ф, „, )гэа г .„„, ....,=-,Г=,/» О,г/ О г агг „г,,г г < г, „,,„= — ' = — — - —.
= 2о,--. и, = 1, 2. /пс'"' г,' (6.43) Огибающая системы уровней на рис. 6.2 показывает, как в соответствии с потенциальной кривой — к е-'Эгг расширяется область локализации электрона, сели цдтн снизу вверх по лестнице разрешенных уровней энергии. Видно, что если электрону сообщить 6' энергию гаЕ =- ', то он окат(ясг)а 26г зывается способным уйти на бесконечность. Эта энергия называегся .энергией (потснциалолэ) ионнзацнн 1 атома. Для атома водорода (о = 1) Т = = 13,6 эВ. (6.44) ггй При Е ) Е, =- 0 энергия электрона болыпс не квантустся, а допустимые значения образуют непрерывный спектр, или континуум, —. атом теряет электрон, который становится свободРнс.
6.2. Уровни энергии аодороным. Вдали от притягивающего центра донодооного атома. Горизо//тальные линии укюывакп уровни энергии н электрон -- свободная волна, плоская одновременно — классически разре- волна де Броггля щенную область движения элекгрона Таким образом, мы получили в ссэозветстауюшем энергетическом вполне четкий результат, который мосостоянии жег быть непосредственно проверен опытом.
Когда начинаешь вводить первичные понятия квантовой механики, то возникает ощущение, что не получишь ничего конкретного. Все зыбко и расплывчато: нельзя одновременно измерять импульс и координату частицы; ее состояние характеризуется эу-функцией, дающей лишь вероятностное описание наблюдаемой ситуации... Тем не менее оказалось, что построенная на этих основаниях наука Схема уровней (6.39) приведена парис. 6.2. Для атома водорода(к = 1) лестница уровней энергии начинается от Е/ = — — 13,6 эВ при н =- 1 и идет до Е .
== 0 при и — / оо. Классически разрапенная область движения электрона определяется условием Цг„ ///яя) =- Е. Если электрон имеет энергию, отвечающую п;му энергетическому уровню (6.39), то б.З Простравсо>ве>о>ыерасиредюевия олектрови в итоне водороди 131 способна давать весьма определенные результаты, позволяющие проводить не только ка зественное, но и количественное, притом — — с высокой точностьк>, сопоставление с экспериментом. Л успех такого сопоставления и есть лучший критерий правильности теории.
6.3. Пространственные распределения (морбиты") электрона в атоме водорода Итак, энергия х>ектрона в атоме водорода (д =- Ц квантуется по формуле (6.45) втд о> Надо, однако, помнить, что полученные при лом решения не полны: была исключена из рассмотрения зависимость Ф-функции от углов О и р.
Следовательно, уровни энергии, даваемые формулой (6.41), суть уровни энергии электрона с нулевым моментом количества дан>кения, так сказать, уровни энергии '"невращающегося" электрона. Учет моментов приводит к появлению в схеме уровней энергии некоторой дополнительной структуры, что будет обсуждено позднее. То, что для "невращающегося'" электрона существует некий набор устойчивых состояний, а значит, и положений в атоме, можно пояснить, воспользовавшись соотношением неопределенностей. Когда благодаря кулоновскому притяжению электрон приближается к ядру, неопределенность в координате уменьшается. Но при этом, согласно соотношению неопределенностей, возрастает разброс в значениях импульса. Л с ростом с>р растет кинетическая энергия.
Электрон притягивается к ядру потому, что цри этом уменьшается сто потенциальная энергия. По это является определяюп>им фактором лишь до тех пор, пока не станет слишком сильно возрастать кинетическая энергия. Когда же кинетическая энергия заметно возрастает, дальнейшее приближение к ядру становится энергетически невыгодным. Так возникает некий уровень, некое положение, где минимум имеет не потенциальная энергия, а полная. Соотношение неопределенностей, таким образом, качественно поясняет, что электрон не может упасть на ядро, даже если он не вращается вокруг последнего.
Все сказанные слова нетрудно облечь в строгую математическую форму. В самом деле, получим опенку энергии основного состояния атома водорода с помощью соотношения неопределенностей в форме й>р >'>к )>. 16.46) Запишем выражение для полной энергии атома: 16.47) гав г Гл. б. Водородоподобпый о~поп Заменим здесь р —, Ьр и будем считать мерой неопределенности координаты величину г. Тогда, полагая Лр 6/г, получим Š— — —: — Ф(г). 2тга г (6.48) Минимального значения эта величина достигает при яа аз или — + — = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
