Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В самом деле, в расслзатриваелюй задаче мы имеем дело с волнами в ограниченной области пространства. Прослеживая аналогию с электромагнитными волнами, мы вспоминаем, что в идеальных резонаторах волны всегда имеют дискретный набор волновых чисел и, следовательно, частот, при которых на длине резонатора умещается целое число полуволн (ель (5.7)). Телз самым, получснный сейчас результат объясняет, хотя бы качественно, возникновение квантования в микромире: оно обусловлено наличием волновых свойств частиц, находящихся в ограниченной обдасти пространства.
Мы пришли, таким образом, к дискретности, к квантованию энергии. Это очень важный момент. Напомним схему изложения. Опыты Франка и Герца, опыты Штерна и Гсрлаха, о которых говорилось ранее, наглядно показали дискретность состояний микросистсм. Фотоэффскт, эффект Кочптона, т. е. взаимодействие света с веществолк равно как и собственно 10б Гк 5. Поигвгг1ггкгвыгывлггы и кваигиввагав непускание света веществом, столь зке очевидным образом демонстрируют дискретную природу микромира. Обсуждая все это, мы исходили из умозрительных представлений о фотонах и о волнах дс Бройля, ввели понятие волновой функции (или Ф- функции), приняли вероятностную ее интерпрегацию и сформулировали ряд постулатов о ее свойствах и о том, как ее находить. В результате мы пришли к квантованию энергии пока в одном, но важном частном случае бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы.
Помимо существования квантования имеется сщс одно важное отличие квантовомеханической ситуации от классической. Как было сказано, в классической физике наличие даже слабого притяжения частиц позволяет образовать их связанное состояние. Слабость притяжения означает, что потенциальная яма является мелкой. В квантовой механике, оказывается, не всякое притяжение можег дать связанное состояние. Если яма симмегричная, то связанное состояние существует в любой яме независгимо ог ее глубины, сели только она одномерная или двумерная. В трехмерной же яме уровни возникают лишь тогда, когда ее глубина превышает некоторое минимальное значение, т.
е. когда она достаточно глубокая. Подробное исследование вопроса об энергетических уровнях в симметричных одномерной и грехмерной ямах проведено в задачах 15 и 16 семинара. Остановимся на одном формшгьном вопросе. Рассмотрим одномерное стационарное уравнение Шредингера Л2 13 НФ = ЕФ, Н = - —, .1. Г,г(х) зш Лхз (5.10) совместно с определенными граничными условиями. Оно представляет собой задачу на собственные значения Е гамильтониана Н. Считаем, как всегда, гаьиильтоннан самосопряженным оператором.
В мгпематике доказывается ряд свойств собственных функций и собс гвешгых значений само- сопряженных операторов. Прежде всего, собственные значения действительные. Если область определения конечна (т. е. если частица совершает движение в конечной области пространства), 0 < х < а, то собственные значения образукгт дискретный набор, который в порядке возрастания запишем в виде 1'Е,, Еэ, Ез, ... ). (5.11) При этом различным собственным значениям соответствуют взаимно ортогональныс собственные функции. Имеет место так называемая осциллячиогтил твореиа, суть которой в следующем. Собственная функция, отвечающая порядковому номеру п собственного значения Еп в последовательности (5.11), имеет во внутренних точках интервала О <:г: < а число узлов, равное п — 1.
Это означает, что на интервале 0 < х < а волновая функция Фи обраыпся в нуль п — 1 раз. ! раничныс точки х =- 0 и х =- и исключаются. Самому первому, минимальному собственному значенинг Ег отвечает собственная функция Чгг, не обращающаяся ни разу в нуль на интервале 0 < х < а. Мы не будем 5. й Беслане ша ггибакал прк ~оугальаал натенйиальлггя л на 107 доказывать эти утверждения, отсылая читателя к соответствующим курсам матемаз ики. Вернемся к задаче о потенциальной яме (5.1).
Найдем распределение вероятностей нахождения частицы в разных точках ямы. В соответствии с (5.9) имеем 011'и = и:„г(:с =- Фп(д:)~ г(з: == 2в(г1~(кпк ) — '. (5.12) а / а и и л — —.1 л=.2 и .=- 3 Рнс. 5.2. Распределение вероятности нахождения частицы в разных точках беско- нечно глубокой прямоуюльной потенпиальной ямы разбитой узлами Ф-функции на ряд подобластей. разделенных интервала- ми, на коюрых (вблизи узлов) вероятность обнарукить частицу мала (соб- ственно в узлах эта вероятность обращается точно в нуль). Размер каждой подобласти гзт. =- а/и. (5.!3) Чем больше узлов имеет волновая функция в пределах пространственного размера потенциальной ямы, тем выше энергии частицы.
Это следует нз формулы (5.о), полученной при решении уравнения Шредингера. Но этот вывод очевиден и с точки зрения принципа неопределенности. Увеличивая на заданном интервале а число узлов волновой функции, мы все сильнее ограничиваем область движения, т. е. размер области возможного нахождения частицы схт: (см. (5.13)). Следовательно, возрастает неопределенность в значениях импульса: я л гзр — ' = — и.
Ьк а (5.! 4) На рис. 5.2 показано распределение плотности вероятности (т. е. величины и' =- аИ'7 ь(ж) для некоторых значений квантового числа и. Как видно из рисунка 5.2, с увеличением квантового числа и количество узлов возрастает. Область допустимых положений частицы оказывается 108 Гл. 5. 77отеплиипппыеяпы и кватповоппе Соответственно увеличивается разброс в скоростях частицы, т. е.
ее средняя кцнетическая энергия. Поскольку вследствие симметрии рассматриваемой задачи оба направления двгоксния частицы (влево н вправо) равновероятны, среднее значение импульса равно нулю: (р) = О. Следовательно, можно положить атр ив в р — (12) = — р. В результате мы получим (и') ((пп)'-) грпа (5.15) 2вп 2т 2та что по сути правильно. В связи со сказанным следует подчеркнуть, что в яме определенным значением обладает только полная энергия частицы, но нс по отдельности кинетическая п потенциальная. Иногда ошибочно утверждают, что частица в яме обладает импульсами, имеющими определенное значение модуля ~ ра - Иа, где величины )кп даются формулой (5.7).
Тогда отсюда следовало бы, что кинетическая энергия частицы также имеет определенное значение, что неверно. Ошибка состоит в том, что величина Ьйа не равна импульсу частицы, даже по абсолютной величине, а указывает лишь характерный масштаб разброса значений импульсов. Грубую оценку этого разброса можно получить, приняв Ьр 2)1й (множитель "2" связан с наличием встречных волн в яме, дающих вместе стоячую волну). Для получения всего спектра значений импульсов мы должны разложить волновую функцию (5.9) в ингеграл Фурье: аа а а(1) = е' ~Ф(о) дк.= е' ',/ — вш (ка:с) г(к = у а — ".с о — (,.« .,)~= а2 (1 — Ьа / в+Ьа ( 1)п *«( йа ~ь„а) а Ьа — 1„*"' =- )2- где учтено, что ) „=- г; и/оп еы"а =- е 'ь" а = ( — 1)"'.
В этом выражении уже следует отождествить импульс частицы с величиной р == йпь На рис. 5.3 показана плотность вероятности различных значений импульса (или спектр мощности) и,п .— , 'а(р/6) - для трех характерных значений номера уровня и. Как видно из рисунка, спектр действительно содервкит бесконечное число импульсов. Кроме того, для всех уровней, кроме основного, спектр имеег максимумы при значениях р =- — ра и р = +рт в которых величина р„определена формулой ра = )йа =- я ай/о. При и = 1 величина р1 =- й1ч = «й/и определяет ширину единственного максимума. Вернемся, однако, к формуле (5. 8).
Поскольку мы выбрали отсчет энергии от дна ямы, то величины Е совпадают со средней кинетической энергией частицы. Минимальное значение энергии получается прн и = 1, и, как 5. Б Бесконечна азуоакал прячауеапьти патеняаагьная лиа 109 и Р~ О Р~ Р Рз О Рз Р Рз О Р Р Рпс. 5ай Спсктральпая плотность различных зиачспнй импульсов частицы в пря- моугольной яме для и = 1, и = 2 и и = 5 Итак, для квантовой системы характерно, что нижнее энергетическое (нли основное) состояние уже имеет некоторую кинетическую энергию.
Проследим теперь переход в классику. Из (5.8) легко вычислить различие в энергиях между уровнями с номерами и, и и + д и при б и « и: лз дЕ = иди. та- При больших значениях и относительное изменение Е составляет 6Б, дп — -- 2— Б п что при переходе с уровня и на соседний(да —" 1) дает дп Б и (5.16) Таким образом, расстояние между соседними энергетическими уровнями, отнесенное к энергии уровня. уменьшается с ростом квантового числа и. Для очень больших и расстояния между уровнями столь малы по сравнению с полной энергией, по разрешенные значения энергии представляются распределенными не дискретно, а непрерывно. следует из (5.8), оно не равно нулю. Состояние с минимальной энергией называется атгаепьгзг састоягггзеьг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
