Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 17
Текст из файла (страница 17)
~Фз(г) е'о-',о = оз — аы причем фазы о1 и ыз могут зависеть только от координат, но не от врежни. Кромстого,мывоспользовалисьформулой ~о -, Ь| = 'о) + Ь) +2Ке(а*Ь). 3 Из формулы(384) видно, что при Е1 у'= Ез величина ~Ф(г, 1), 'зависит от времени явно, осциллируя с периодом Т =-. 2я Ь,г Ез — Ез . Очевидно, чю при Ео — Ез период осцилляций стремится к бесконечности, и мы приходим к стационарному состояниго с неизменным во времени распределением вероятностей.
Суперпозиция состояний с различныъги значениями энергии может возникать как следствие каких-либо воздействий на систему. Формальным признаком того, что рассматриваемое состояние не является стационарным, является тот факт, что его волновая функция Ф не является собственной функцией гамильтониана ни в начальный, ни в последующие моменты времени: НФ э' ЕФ.
3.9. Расплывание волнового пакета В качестве важного примера сказанного рассмотрим эволюцию локализованного волнового пакета в свободном пространстве. Пусть в начальный момент был сформирован пакет с волновой функцией Ф(г. й) ~г „:= Фо(г) = Фо схр ( —, + ~ а г (3.85) В это выражение входит множитель охр (!Рог/о), отраэкающий тот факт, что центр пакета (находящийся в начальный момент в точке г = 0) движется со скоростью ч —.. Ро~'т. В этом нетрудно убедиться, вычисляя скорость: Р г=о = — (РФо)(г=-о = Ро.
т. ' ' ио состояний с разными энергиями, то такое состояние не является стационарным даже при неизменных внешних условиях (другими словами, суперпозиция стационарных состояний в общем случае уже может не являться стационарным состояниеъй). В самом деле, найдем для приъ~ера распределение вероятностей в случае суперцозиции двух состояний с разныъги энергиями: 3./д. Плотность котика еероятлоств и закол сояятелол окло часта 79 Уравнение Шредингера в свободном пространстве имеет вид дс 2о( 2т, (3.8б) 2 2 оз ( (е — ро/ т) (3.87) Здесь введено обозначение (3.88) Из формулы (3.87) видно, что волновой паке) равномерно движется со скоростью т = ро/)и и при этом в собственной системс отсчета расплывается. Эффективная ширина пакета растет по закону (3.88) с характерным временем т — — гпд ~/6, причем чем меньше начальная ширина пакета, тем 2 ) быстрее он расплывается.
Для оценки скорости расплывания возьмем в качестве начального размера электрона его коягптоновскукч длину волны д А =. 6/гпс = 3.86 10 '' см. Тогда для времени т следует оценка т /)/те~ 10 -" с. Полученный резулгпат подтверждает сделанное ранее утверждение о том, что "волновая" интерпретация локализованной частицы как цуга волн, волнового пакета, неверна вследствие быстрого расплывания пакета. Итак, волновой пакет суперпозиция состояний с определенной энергией (т. е.
стационарньгх состояний) — ведет себя даже в отсутствие внешних полей явно нестационарно: он перемешается в пространстве, одновременно увеличивая свою ширину. 3.10. Плотность потока вероятности и закон сохранения числ» частиц Уравнение Шредингера (7) — ' = ( ~ + П(г. /)) )в д/ ',2ог (3.89) Заметим, что начальное состояние (3. 85) не я вляется собственной функцией не только гамильтониана, но и оператора импульса.
Поэтому оно содержит волны, распространяюшиеся с различными скоростями (как фазовыми, так и групповыми). Как следствие волновой пакет будет расплываться. Нашей целью будет найти, по какому закону это происходит. Фактически ъгы должны найти решение уравненггя Шредингера (3.86). Подробное решение уравнения дано в задаче 13. Здесь жс мы приведем окончательный ответ. распределение вероятностей нахождения частицы дается формулой З..гд.
Плотность погпока вероятноепги и закон сохранения гнела части 81 ,Р 3 = щ — = ггги. гн (3.95) Это типичное соотношение, связывающее плотность потока ) какой-либо величины (в нашем случае — плотности вероятности ш) с самой этой величиной и скоростью потока. В этой связи отметим, что структура выражения (3.92) становится более наглядной, если его переписать в операторном виде: 3 =- — (Ф*(рФ) + Ф(рФ) 1 = — Ке Ъ Р Ф~- ат' гп (3.96) Выражение (3.95) отсюда следует как очевидный частный сггучай.
В этой форме смысл найденного закона сохранения почти очевиден: изменение вероятности нахождения частицы в объеме Ъ' равно полному потоку всроятностп через поверхность 5'((л), ограничивающую этот объем. Выясним вид плотности потока ) для случая, когда волновая функция ', гпе грВХ имеет вид плоской волны де Бройля: Ф = Фа ехр ( — — — ' (. Подставляя а 6 это выражение в (3.92), найден| ГЛАВА 4 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ 'К барьсруГ' (Л.
Толстой. Война н мнр) -ь — (Š— Е, (:с))Ф =- О. нкз Лз (4.1) 4.1. Прохождение частицы через потенциальный барьер Пачнем с простейшего случая, когда барьер имеет вид прямоугольной ступеньки (рис. 4.1); и О,:г < О,. Г(к)— Го. л>О. Пусть частицы с энергией Е налетают на барьер слева. Если бы работали законы классической физики, то при условии Е > Го частицы свободно проходили бы над барьером, лишь меняя свою скорость, а при условии Е < < Го они отражались бы назад.
Посмотрим, что происходит с частицами, следующими законам квантовой механики. Предположим сначала, что энергия частицы больше высоты барьера, Е > Го. Мы имеем две области, в которых потенциальная энергия постоянна, и, следовательно, для которых уравнение Шредингера может быть решено точно. Полагая Фт(.г) при л < О, Ф(а;) ==- Фа(ж) при,г > О, (4.3) В предыдущей главе мы сформулировали уравнение Шредингера, описывающее поведение частипы в потенциальном поле.
В этой главе мы рассмотрим некоторые достаточно простые, но вместе с тем принципиально важные задачи, иллюстрирующие квантовомсханические закономерности. Мы будем здесь изучать только стационарные состояния, т. е. состояния с определенной энергией, для которых временная зависимость Ф-функции имеет вид охр (- (Е1/6). Поскольку этот множитель не войдет в выражения для распределения вероятностерц мы его будем в дальнейшем опускать, считая Ф = Ф(г).
Ограничимся также одномерныч случаем, когда все величины зависят только от одной координаты. В принятых условиях исходное уравнение Шредингера может быть записано в виде 4. Ь Прохоэгедегггге яасталы через лотенгГггозьньга барьер бЗ запишем уравнение (4. 1) для двух характерных областей: Ф" ,Ь вЂ” ЕФ~ = О..с ( О. Ггя (4.4 а) Ф,"+ — '(Š— Г4)Фз — — О, х ) О.
гр Введем обозначения (4.4 б) ЬЯ г)з =- — З'"'(Е Огг). гй (4.5) В рассматриваемом сейчас случае дз ) О. В принятых обозначениях решения уравнений (4.4 а) и (4.4 б) имеют вид соответственно и ) Ф ~ г.г) = аг ег "' т Ь~ е ' '. (4.6 а) Фз(х) =- иве~с . (4.6 в) Теперь учтем, что выражения (4.6 а) и (4.6 в) лают в действительности выражение для единой волновой функции Ф(х), определенной во всем пространстве. Поэтому нужно непротиворечивым способом "сшить ' эти две части. Получим условия сшивки волновой функции. Пусть потенциальная энергия Цх) .. кусочно-непрерывная функция, меняющаяся в конечных пределах. Это значит, что в отдельных точках допускаются скачки Ьг(х) Фз(л) = пзе.'л' 4- Ьзе '"'. 14.6б) В этих выражениях первые слагаемые 1аге' ' и ам.'4') описьгвакзт волны, распространяющиеся в положительном х направлении (в сторону х — , эо). Вторые же слагаемые описывают волны, распространяющиеся в обратном направлении (т.
е. в сторону,г — г — эо) Рас. 4.1. Прямоугольный потенПоскольку по предположению исход- пиальный барьер типа ступеньки. Широкая стрелка показывает нале. ная волна распространялась в сторону тающий поток частиц .с — + ж, то обратные волны могут возникать только вследствие отражения. Согласно теории дифференциальных уравнений эти волны мы не можеьг исключить из рассмотрения без достаточных оснований, т. к.
иначе не сможем построить правильное общее решение изучаемого уравнения. Как мы уже отметилн, формула (4.6 б) описывает волновую функцию частиц, уже преодолевших границу барьера. При дальнейшем распространении наши частицы уже не встречают препятствий. Поэтому естественно считать, что отраженной волны в этой области нет. )то дает основание положить коэффициент Ьз равным нулю, так что волновая функция в области .г: ) О примет вид Гл 4. Пагненггггагьные барыры на конечную величину. Выберем какую-либо точку .г:о.
Проинтегрируем почленно уравнение Шредингера (4.1) по области хо — = ( э: < хо -1- =-: ео+е Ф' — гР'~ + пг 1Š— (1(г)) Ф г).г = О. (4.7) Ьг ея Устремим теперь число =- к нулю. Поскольку волновая функция интегрируема, а коэффициент перед ней ,'Š— с1(х)) в подынтегральном выражении конечен, то при =- э 0 интеграл обратится в нуль, и все равенство (4.7) примет вид ф'(: „— 0) —.. ф'(х,-О), (4.8) Другими словами, в тех точках, где потенциальная энергия конечна, производная волновой функции непрерывна. Из непрерывности производной следует непрерывность и самой волновой функции: гР(ав — 0) = гР(хо ' 0). (4.9) Равенства (4.8), (4.9) выражают искомые условия сшивки волновой функции. Они заведомо выполняются в тех точках, где потенциальная энергия (1(х) непрерывна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
