Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Фаз соа ~ — (рг — Е()] Л' ~6 (3.14) меняется от точки к точке, либо (в фиксированной точке) с течением времени. Эго лишено смысла, поскольку соседние точки физически ничем не отличаются и нет никаких оснований для того, чтобы вероятности обнаружения электрона в их окрестности отличались. Точно так же нет никаких оснований для того, чтобы в фиксированной точке вероятность менялась со временем, как это следует из (3.14). Однако на примере осциллятора и электромагнитного поля мы видели, как обойти эту проблему: достаточно использовать две функции вместо одной: Фг(г.
() = Фо сов ~ — (рг — Е()~ . 11 а (3.15) 'гз(г 1) = гРоаггг ~ — (Рг ЕТ)1 ° (1 а Величина дХ пропорциональна вероятности найти фотон в элементе объема Л', что эквивалентно тому определению верояпюсти, которое мы использовали по отношению к Ф-функции.
Итак, в обоих примерах мы имели дело с колебательными (волновыми) движениями, и в обоих случаях мы свели описание поведения объекта к одной комплексной функции, подчиняющейся уравнению, содержащему производную первого порядка по времени. Помимо приведенных чисто формальных соображений о возможности пользоваться только однои функцией для описания колебательных (волновых) процессов, нужно упомянуть и физические соображения. В самом деле, в том случае, когда электроны описываются плоской возной ле Бройля (3.2), мы предполагали, что вероятность найти электрон в любой точке пространства в любой момент времени одинакова. Если же для описания того же самого состояния мы попытались бы использовать плоскую волну в действительной форме (33), то заметили бы, что вероятность 58 Гл. 3 Воллолил груп кяил, олералюрьь ьравчелие Шредингера каждая из которых описывает одинаковые бегущие волны, только со сдвинутыми относительно друг друга фазами.
Тогда вероятность следует записывать в виде ЛК - (Фгзг(г, 1) ь Ф2(г, 1)1Л/. (3.16) Но это уже то же самое, что использовать одну комплексную функцию Ф(г. 1) =- Ф ~ (г, 1) +!Ф2(г. 1) = = Фосхр 1 — (рг — Е1)~, Л12 Ф(г, 1)~ Л». (3.17) ~Гг Представление о Ф-функции как амплитуде вероятности приводит к некоторым довольно жестким ограничениям, накладываемым на ее допуг стимые свойства. Поскольку величина ~Ф(г)! Л' определяет вероятносгь найти частицу в элементе объема Лг в окрестности точки г и имеет место 2 условие нормировки (3.1), то функция Ф должна быть интегрируемой. Посмотрим, каким при этом условиям доллгна удовлетворять Ф-функция.
Допустиьг, что эта функция в некоторой точке хо ведет себя как «( ) - ( — )' (3.18) Тогда сходимость интеграла (3.1) означает, что В ) — 1/2. Таким образом, Ф-функция может стремиться к бесконечности в отдельных точках, но не слипгком быстро. Аналогичные ограничения можно получить и в случае 2-х и 3-мерного движения. В действительности ограничения оказываются, как правило, более сильными.
В частности, за исключением особых случаев волновая функция должна быть ограниченной всюду г). Кроме того, если потенциальная энергия не претерпевает бесконечных скачков в пространстве, то функция Ф (г) оказывается к тому жс непрерывной — — конечные скачки могут претерпевать лишь ее производные по координатам. Это следует нз уравнения!11редингера, которому подчиняется волновая фупкпия и которое будет введено ниже. 3.2. Принцип суперпозиции Одним из важнейших постулатов квантовой механики является принцип супсрпозиции. Будем исходить из аналогии с волновой оптикой.
Как известно, в оптикс принцип суперпозиции означает; что если в некоторую область Особые случаи отвечают так называемому падению частицы на центр, т. с. когда велика вероятность того, что частица будет обнаружена в чалой окрестности притягивающего центра. 3. 2 Праяяяа свперапзияия пространства попадают волны от нескольких источников, то напряженно- сти их электрического и магнитного полей складываются: Е=- 2 Еп Н=-~ ~Н,.
ч (3.19) и Ф=- ~ СФ„ ~=1 (3.20) зде Сз — некоторые комплексные посюянные, определяющие амплитудные и фазовые соотношения между компонентами суперпозиции. Если состояния отличаются друг от друга мало, то эта сумма переходит в интеграл. В этой последней форме мы уже пользовались принципом суперпозиции, разлагая Ф-функцию в интеграл Фурье по плоским волнам ле Бройля.
Смысл коэффициентов С, в представлении (3.20) определяется тем, что вероятность в результате измерения найти систему в состоянии, описываемом функцией Ф„ пропорциональна (3.21) Если мы используем "правильную" нормировку вероятностей; или ~ С~ =1. то вместо (3.21) следует писать (3.22) Таким образом, коэффициенты С, можно рассматривать как альтернативное представление волновой функции, в котором рассматривается не пространственное (координатное) распределение вероятности, а распределение вероятностей по состояниям Е При этом моясно утверждать следующее.
Если выбранный набор состояний является полным в том смысле, Каждое из слагаемых в сумме не зависит от того, имснзтся ли какие-либо другие слагаемые и каковы их значения. Именно принцип суперпозиции (3. 19) приводит к наличию типичных волновых явлений — интерференции и дифракпни волн. Ту же самую идею — суммирование амплитуд вероятности или Ф- функций - - мы использовали в главе 2 для обьяснения существования волновых свойств микрочастиц. Теперь, продолжая оптическую аналогию, мы можем сформулировать принцип суперпозиции в квантовой механике. Допустим, *гго квантовая система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Фы Фя...., Ф„.
Тогда она может находиться н в состоянии, описываемом волновой функцией 60 Гл. 3 Воггноеая гггуггкггия, оиерагггоры, уравнение 1Е!реаиггеера что в данной группе никаких иггых состояний быть не может, то (3.23) В математике это равенство известно как равенство Парсеваля. В качестве примера, иллюстрирующего сказанное, заметим, что коэффициенгы Фурье-разложения обычной волновой функции о(р)е'"" = й'(г), (яяп) г г)г(г)г'. ги ~ гг1' =- а(р) дают одно из представлений волновой функции; а(р) есть волновая функпия в р-представлении.
В частности, состоянию с определенным импульсом Ро отвечает волноваЯ фУнкциЯ а(Р) =- (2т)г)зг)гоб(Р— Ро): она есгь альтернативное представление плоской волны де Бройля гй = гроегос'Г~ (временной мгголгитель для краткости опущен). $Ь равенства (3.23) можно получить одно важное соотношение, позволяюгцсе находить коэффициенты С,. Используя представление (3.20), перепишем (3.23) в виде и З с с, = (е" ггг =.~г З се) гггс =ус," ()гегл). г=! г Сравнивая начало и конец этой формулы, получаем С, = — гй'," гРг(10 (3.24) Итак, чтобы найти "вес" г-го состояния С, в полной волновой функции достаточно вычислить интеграл (3.24).
11аконец, установим одно важное свойство волновых функций гй г. Для этого перепишем соотношение (3.24), воспользовавшись равенством (3.20): с,.— (с;нгг' — ~»," (т с,с,) гг' г, ь Ввиду произвольности коэффиписнтов С, отсюда сразу заключаем, что гр,"грЫЛ' = б,го (3.25) где дгя — единичный символ Кронекера, равный нулю при г ф )с и единице прн г, =- й (в случае непрерывного спектра состояний г этот символ нужно понимать как д-функцию). б1 3.3. Усредлеаие Равенство (3.25) выражает свойство ораогонтьнослщ волновых функций различных состояний, Это свойство хорошо известно в оптике: при сложении некогерентных волн, т. е. волн, отличающихся частотой, интенсивность равна сумме интенсивностей складываемых волн: (3.26 а) 1 =' (А1+ Аг)г — (А~)г 4 (Аг)г =- 1з Р 1г.
интерференционный же член обращается в нуль; 2А1Аг = О. (3.2б б) 3.3. Усреднение Введем теперь понятие среднего значения. Теория вероятности определяет среднее значение какой-то непрерывной случайной величины 1, обозначаемое символом ф, интегралом (3.27) Здесь и (б) — плотность вероятности. Величина и ®дб есть вероятность того, что случайная величина 1 заключена в пределах 1 —: — ( + гг(. Как мы выяснили, по Берну и (х) =- Ф(х) = Ф'(х)Ф~х).
~3.28) При таком определении ю(х) удобной оказалась запись среднего значения, зквивалентная (3.27): :ю '.:О (х) = .г~Ф(х)~ йх = Ф" (х)хФ(х) йх. (3.29) Аналогично, например, (х" ) — Ф* (х) х" Ф (х) а ж —;х 3.4. Операторы Математический аппарат квантовой механики широко использует обьекты, называемые операторами. В общем определении некий оператор А показывает, каким образом каждой функции и(х) из некоторого класса сопоставляется другая функция и(х). Символи геохи зто записывается следующим образом: Ьл(х) = п(х), (3.30) 62 Гл.
3 Воллоеал фзткяия, операторы, ураепепиеШреоиягера Здесь под А может пониматься все, по угодно, любая операция. Например, можно иметь в виду операцию умножения на х (Ь = х), дифференцирования по х (А — д/дх), извлечения корня (А .— тг ) и т. д. Из всего многообразия мыслимых в математике операторов в квантовой механикс употребляются как правило операторы только одного класса —— так называемые линейные сам осопряжеиные (иначе говоря, эрмитовьт) операторы. Оператор называют линейным, если он обладает тем свойством, что г'(с1п1+ сзиз -'и азиз+... ) = с~Ти1+ сзйиз и'-ызйиз -г.... (331) где сы сз, сз,... произвольныс постоянные, а им из, из,... произвольные функции.
Ограничение только линейными операторами вьпекает из принципа суперпозиции состояний. Ясно, что свойство линейности оператора означает, что его применение к суперпозиции волновых функций эквивалентно суперпозиции результатов применения этого хее оператора к каждой из волновых функций порознь. Оператор Аь называется эрмитово сопряженным оператору Х,, если и*,(Еиз~)В1' = (Х, ' п1) и~Вы (3.32) где интегрирование распространено по всей разрс|пснной области изменения переменных. Очевидно свойство (Т+)" = Х. Линейный оператор называется самосопряженным (или эрмитовым), если А ' =- Х, т.
е. имеет место равенство и",(Таз)1Ъг = (1.ид)'изйЪ'. (3.32 а) Заметим также, что оператор А, удовлетворяющий условию А~ —. Е, называется антиэрмитовым. . и В качестве примера рассмотрим оператор А = — 1 —. Введем две комле плекснозначные функции иа (х) и из (х), которые дифференцируемы и удовлетворяют условию: и> з)х) — ~ 0 при .г эо. Тогда ли и З оа ",~:~рЫ ~) .=~ Л.~(,: — ':вгт').= Ве — ои — оо Ч аа — ~ ( ' ыи» ыэ) г + ~ ~(" и >) и оэ) '- — х ч х: -- ь1оп ыл.*-": Ц(- — ' и)'ы)) а-)1ь ы~)»ои' =о бЗ 3.4. Ол«роторы Таким образом, данный оператор является самосопряженным. Заметим, что без множителя г этот оператор уже не бьщ бы самосопряженным (а являлся бы антиэрмитовым).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
