Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Соответственно преобразования (".33) и (2.28) оказываются эквивалентными, отражакчцимн одно и то же свойство изучаемой волны — ее энергетический спектр. Поэтому использованное в (2.32) соотношение Ьхгзр 2кй учитывает именно сложный энергетический спектр волнового пакета. а не разброс направлений волн, и является точным аналогом соотношения (2.30). Итак, мы пришли к выводу, что волновая (она же гр-фуггкция) определяет не только координаты, но и импульс (количество движения) частицы. Следовательно, в физике микромира, т. е. там, где действуют квантовые законы, для тех или иных обьектов, в тех или иных ситуациях надлежи г уметь находить гр-функцию и уже по ней определять все искомые динамические переменные задачи.
2.9. Принцип дополнительности Часто исследователи, занимаюпгиеся принципиальными вопросами квантовой механики, цитируют утверждение, называемое принципом дополнительности. Зто утверждение было выдвинуто Пильсом Бором в! 927 г. в ходе осознания фуцламептальцых идей квантовой механики: нгг в кокои окснерк центе невозгголсно одгговрелгенно наолюдать корпг скулярггыв и волновые свойство зткрочосттг.
В дальнейшем была предложена более обгцая формулировка, содерхгаШая предыдущую как частный случай: получение эксперииеггтольнггй 52 Гл. 2. гГваггнговаггие вхгннричире, соогнногиение ггеонредигеггггоснгей информачии об одних физических велггчггнах, оиисывагоигггх микрообъека, иеггзоелгсгго свнзанг> с ггоигерегг инфорлгачии о иехокчорых других величинах. Эти другие величины названы Бором "дополнитсльнылги" к первым и являются канонически сопрялгенггыми с ними.
Примером является пара "координата — импудьс". Качественные соображения Бора о дополнительных величинах имеют количественную формулировку в виде различных соотношений неопределенностей, два из которых были подробно рассмотрены выше, Следует, однако, иметь в виду то немаловажное обстоятельство, что не всегда легко установить, каковы конкретные механизмы возникновения и разрушения интерференционных картин. ГЛАВА 3 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, ОПЕРАТОРЫ, УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА да(базен ьЗИег Неге боц або> Ьое/гай и~ Не н1ебв Господь Бог утончен, но ее коеарео.
(Альберт Эйнштейн) 3.1. Обгцие свойства волновой функции Сформулируем сначала некоторые свойства волновой функции. Как уже было выяснено, Ф-функция есть амплитуда вероятности, т, е. величина ~Ф(г.1), 'Л~ определяет вероятность найти частицу в элементе объема Л' в окрестности гочки г (в момент времени 1). Поскольку вероятность найти частицу где-цибудь в пространстве равна единице, то Ф(г, 1) Л' =" 1.
к (3.) ) Мы ввели волновую функцию, исходя из представлений о волнах де Бройля. При этом мы записали плоскую волну в виде Ф(г,г) = Фссхр ~ — (рг -- Е))~ =- Фр(г)е '~"'~. (3.2) Однако нормировка (3.1) для нее не может быть реализована, поскольку Ф~ = ~Фс~ = солнц а интегрирование производится по бесконечному пространству, Певозможность нормировки (3.1) "— это общая ситуация, По традиции, идущей с самого начала ХХ века, физическая теория, ус ьанавливающая способ описания и законы движения микрочастнц, а также связь величин, их характеризующих, с теми, которые непосредственно измеряются на макроскопическом опыте, называется квантовой механикой. Именно кваитовомеханичсскис закономерности управляют физикой микромира.
В конце предыдущей главы бьщо установлено, *по волны де Бройля допускают вероятностную интерпретацию: нх интенсивность в каком-либо месте пространства пропорциональна вероятности обнаружения микрочастиц в этом месте (борновская интерпретация). Эти волны стали называться Ф-функциями. По историческим причинам сохранилось также и название 'волновая функция". Посмотрим сначала, какими свойствами должна обладать Ф-функция и как ей пользоваться. 54 Гл.
3 Волноеал функция, онеригаоры, траеигаие 1Предингера когда мы имеем дело с ицфинитным, т. е. неограниченным в пространстве, двихгением частиц. В таких случаях вводят другие способы нормировки. В частности, часто используется "'нормировка на б-функцию*': ФО (Г)Ч рг(Г)Л =- д(Р1 Р2) ° (3.1 а) Здесь интегрирование выполняется по всему пространству, а дз(г1) — б(д, )б(ця)б(де) — 3-мерная делыа-функция, определяемая тем условием, что для произвольной непрерывной функции имеет место равенство )(г)о (г -- н)Л' = ) (а).
Для 1-мерной б-функции существует интегральное представление б(х) = е'Я" — '". 2н Обобщения на случаи 2-мерной и 3-мерной б-функций очевидны: (г) че а 'я (2я)" где ао'д элемент поверхности в ерпространствс (в 2-мсрном случае, н = 2) или объема (в 3-мерном случае, в =- 3). С учетом указанного представления д-функции нормировка вида (3.1 а) выполняется следукпцим образом (разумеется, мы имеем в виду 3-мерный случай). Используя выражение (3.2), находим Ф (г)Рг (г)Л: ~Фо ех1э Р~г + 1эзг1 Л р 6 'Ре (2п6)' б(р~ — - рз). Ф(г.1) = схр ~ — '(рг -- Е1)1 . (2н6)е'а ~6 (3.2 а) Следует, однако, помнить, что использование того или иного условия нормировки не долясно влиять ца конечный результат вычислений: оно Здесь для краткости мы не выписали временную зависимость Ф-функции, поскольку при равенстве импульсов совпадают и энергии, и множитель 1 схр ~ — 'Е1 1 — л— Е21~ обращается в единицу. Иэ сравнения полученного ра- 6 6 венствасусловием(3.1а)следует Ро = (2лб) ~~~,такчтонормированное выражение для волны де Бройля принимает вид 3.
й Обшие свойства вовповои сруивяии лишь позволяет упростить промежуточные вычисления или придать формулам более наглядный вид. Вьппс мы все время записывали волну дс Бройля в комплексной форме (например, (3.2)). Возникает естественный вопрос: а нельзя ли использовать только действительную функцию, например, в виде Ф(г, т) =. эРо сов 1 — (Рг — Е()) ". г1 (3.3) Как функция (3.2), так и функция (3.3) описывают бегущие волны, распространяюгциеся с одинаковой фазовой скоростью 1э,~в, = Е !р, Для ответа на этот вопрос обратим внимание па то, что в квантовой механике мы имеем дело с волновыми (колебательными) процессами.
По даже в простейшем случае гармонического осциллятора для его описания необходимо дифференциальное уравнение второго порядка по времени. Вместе с тем, в соответствии с соотношением неопределенностей мы не можеь1 одновременно измерить точно координату частицы н ее импульс. Это проявляется, в частности, в том, что состояние микрообъекта однозначно (в смысле нахождения распределения вероятностей) должно характеризоваться функцией координат и времени — волновой функцией Чэ(г,(). Предсказание состояния в квантовой механике состоит в определении закона изменения этой функции со временем. В соответствии со сказанным для предсказания мы должны использовать единственное начальное условие — значение волновой функции в начальный момент: 'р(г, т);1 — о = ро(г).
(3.4) 2 — +1а к=О яса (3.5) нли эквивалентной ему системой двух уравнений первого порядка йк яя — = ы ц, — = --1а ж. Й йг (3.6) Введем комплексную функцию Но это означает, что уравнение для волновой функции должно содержьпь произволнукэ по времени только первого порядка. Иными словами, мы должны уметь описывать колебательные и волновые явления диффереппиальными уравнениями первого порядка по времени. Сказанное не является неразрешимой проблемой; достаточно лишь перейти к комплексным функциям.
Следующие два примера иллюстрируют процедуру сведения дифференпиальпых уравнений второго порядка по времени к уравнениям первого поря,тка. Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, описы васмый дифференциальным уравнением второго порядка 56 Гл. 3 Волновил фуггкясил, онерангоры, гравление Шредиггеергг Для этой функции из (3.6) несложно получить дифференциальное уравнение первого порядка г — =- игл. (3.8) В1, Е =- — (:г +иг л ) == — (сл у + си т.
) =- — га л, '. (3.9) .2 2 2 1 2 2 2 2 1 2,2 2 2 Как известно, для гармонического осциллятора выполняется закон сохранения энергии: полная энергия Е = сопз1, тогда как кинетическая и потенциальная энергии порознь не сохраняюгся, осциллируя в пределах от О до Е. Учтя явный вид решения а =- 211 охр( — сии(), мы видим из (3.9), что это решение действительно удовлетворяет требованию Е = — во 20~ д 2 2 = сопя!. В итоге мы свели описание осциллятора к одной, но комплексной функции (см.
(3.8), (3.9)), удовлетворяющей дифференциальному уравнению первого порядка по времени с комплексными коэффициентами. В качестве другого примера рассмотрим электромагнитное поле, которое, как извеспзо, описывается двумя векторами: Е и 11. Введем комплексный вектор С~ =- К вЂ”, .1Н. (3.10) С помощью векзора СЗ уравнения Максвелла в области пространства, сво- бодной от токов и зарядов, могут быть представлены в виде уравнений, содержащих производную первого порядка по времени; гсг(К = --— 1 дН с: д1 сйиК -- О.
1 — = с:го( С(, . дгв дз с1г," С( —.— О. жИН = — —. 1 ВЕ с дв (3.11) с!г. Н -= О. Решение этих уравнений, имеющее вид плоской волны, дастся формулами С~ =- С)оеж' '"'. Що —— — О. 1)с х С)0 = — Сясь с (3.1 1 а) Простые, но несколько громоздкнс вычисления показывают, что нз последнего равенства вытекает обычное соотношение, связывающее частоту Решение последнего уравнения есть = = .вохр(- гиг1), что, разумеется, эквивалентно решению уравнения (3.5) (или (3.6)).
Обратим внимание на то, по решение имеет осциллирующий характер. Если бы перед производной по времени отсутствовала мнимая единица, то мы имели бы дифференциальное уравнение первого порядка по времени с действительными коэффициентами. Но у такого уравнения никаких периодических решений не существует. Запишем с учетом (3.6) энергию осциллятора (считая его массу равной единице), используя либо пару действительных функций (к, 11), либо одну комплексную функцию ж 3. й Обшие свойства вовповои сруивиии и волновой вектор: )гз = ид/сз.
Таким образом, мы свели описание поля от двух функций (К и Н) к одной (Ц), но комплексной. С помощью вектора Я плотность энергии поля можно записать в виде Ез Ч Н~ 1 ~З (3.12) з где ~С1 = (4" (4, а звездочка, как обычно, обозначает комплексно сопряясенцую величину. Очевидно, по для случая плоской волны (3.11 а) плотность энергии з поля постоянна: и Я ~ —. сопкб Если поле сос шит из квантов с энергией йщ, то число фотонов в элементе объема Л' окажется равным дт= — 'Л =-,' !С3~'в( ав ал (3.13) дИ' Ф (г, ()Л' —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
