Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 11
Текст из файла (страница 11)
с. набор направлений импульсов. Импульс, направленный под углом О к оси д имеет компоненту р, вдоль плоскости экрана. Если полный импульс электрона равен р, то нш О =- р. 7'Гь Угол 0 в этом соотношении есть угол дифракции, даваемый формулой о зш д = Л, и мы имеем; 48 Гл 2. Кыснтоыанне ы тыкролтре, соотысшынне нсснредезеннсснтй Ьр„.гЛл =- Лр. Но Л = 2хф = 2.тЬ/р, значит, 'зркЛ.г = 2кГь (2.24) Мы получили знаменитое соотношение неопределенностей Гпринцип неопределенности Гейзенберга). Аналогичное рассмотрение можно провести и для случая определения положения электрона микроскопом, Соотноспение 12.24) назьгвантт также соотношенлен неоцределеннолпей "координита — гсипшьс".
Это фундаментальное соотношение было установлено Вернером Гейзенбергом в 1927 г, ЛГы получили соотношение 12.24) прн анализе только одного опыта, но оно на самом деле имеет всеобщую применимость. Отличаться может только числовой множитель в правой части. В общем случае записывангг ЬрыЬл )ь (2.24а) В действительности можно строго показать (это сделано в задаче 12 в раз- деле "Семинар"), что гЛрысзк > 6~2. 12.25) Эта формула называется соотношением неопределенностей в форме Всйля. Итак, импульс электрона, прошедшего через щель шириной Ьл, принимает значения, лежащие в интервале Ьр, 6,,~Ь,г: чем точнее измеряется координата электрона, тем боя ьшни интервал возможных значений импульса содержится в том наборе волн де Бройля, которые соответствуют этому электрону после измерения, тем неопределеннее импульс конкретного электрона.
И обратно, плоская волна со строго определенным импульсом соответствует состоянию с совершенно неопределенным положением электрона. Соотношение неопределенностей возникает не по причинам технического несовершенства наших конкретных опытов, что носит временный характер и, следовательно, в принципе преодолимо. Это соотношение обусловлено самим существом природы вещей, Приведем некие математические соображения. Рассмотрим функцию Ф(г), заданную во всем бесконечном пространстве н представимую в виде 3-мерного интеграла Фурье: ф(г) = — Д)с)е'ь" 1зк)з ' 12.26) где 1()с) = чр(г)е дЕ 12.27) Имеется в виду, что до пересечения плоскости экрана компонента импульса электрона рг равнялась нулю, а после пересечения изменилась неконтролируемым образом на величину масштаба сэры Кроме того, обозначим гзт: = о — — неопределенность координаты электрона в момент пересечения плоскости экрана, В этих обозначениях формула 12.23) принимает вид: 28.
Соотпо)иепие пеог)р~депеппоетей "ереип — эпергип" 49 Здесь Яс) — Фурье-спектр или, иначе говоря, Фурье-преобразование 1Фурьеобраз) функции Ф(г). Фурье-преобразования 12.2б) и (2.27) говорят о том, что координатная волновая функция может быть разложена в 1иепрерывиый) ряд по плоским волиам де Бройля, каждая со своим й.
Существует ие одна плоская волна, а, вообще говоря, непрерывный их набор. Чем больше значение «()с) ~, тем больший вклад в результирующую волновую функцию вносит соответству') юшая волна еп~'. Подобно тому как величина Ф1г) ~ дает вероятность того, что частица имеет координату х, значение квкдрата модуля Фурье-образа з волновой функции ~ 1()с) ~ определяет вероятность того, что частица имеет импульс р =- йй. В этой связи величииу Д)с) называют волновой фуикцисй в имп) льсиом представлении 1в отличие от волновой функции Ф1г) в координатном представлеиии).
Задача 12 (см. раздел "Семинар" ) демонстрирует, что соотношение неопределенностей представляет собой факт, в известном смысле, чисто математический; если определять координаты частицы с помощью волновой функции, а импульсы . ее разложением по плоским волнам де Бройля, то соотношение неопределенностей является математическим выводом. Собственно физики состоит именно в том, что координата определяется волновой функцией. а импульс — — ес Фурье-образом. Тогда из разложения Фурье, точнее, из того факта, что волиовыс фуикции координаты и импульса оказываются взаимно сопряжеииыми по Фурье, следует принцип ив о пределе и пости 12.
25). 2.8. Соотношение неопределенностей "время — энергия" Помимо рассмотрсииого выше соотпопюиия исопределеииостей "коордииата-импульс" существует множество соогиошеиий с аиалогичиым смыслом, Имеется, однако, одно соотношение неопределенностей, имеюгцес принципиальное значение для понимания целого ряда явлений в микромире. Радиоиижеиерам хорошо знакома следующая ситуация: чем короче во времени радиоимпульс, тем шире его частотный спектр, так что произведеиие ширины полосы 2Х)о иа длительность импульса т всегда сеть величина порядка единицы, точнее: гйхпо 2)г.
Иначе говоря, всякий волновой пакет, существующий конечное время г, необходимо содержит множество гармоник, причем характерная ширина спектра Ь)о 2п(т. Это утверждеиие вытекает, иапримср, из того. что временная форма сигнала ) ),1) и его частотный спектр а1щ) связаны Фурье-преобразованием: :х. ее )П)=- ) ) ). ' ' . ) )= ) )П).' 'и ))2.28) вп 50 Гл 2. Квоптоваппе в лткролтре, соотпотеппе пеопределеппосптй (Знаки в показателях экспонент здесь выбраны так, чтобы не отходить от вида волны де Бройля (2.13), (2,17)). В частности, если мы имеем дело с плоской волной де Бройля, которая никогда (по времени) не имела начала и никогда не закончится, то длительность процесса т = эс, а ширина Фурье- спектра слщ:=- О.
Сформулированное соотношение неопределенностей обычно записывают в виде (2.29) Ьщ Л( 2п., где проведена замена т — Ы. Переходя здесь от частот к энергии, запишем искомое соотношение в квантовой механике: схЕ сз( 2т.)к (2.30) Это соотноц1ение допускает различные толкования. Одно из них состоит в том, что если измерение энергии производится в течение времени сз(, то неточность измерения нс может быть меньше чем 3.
Е 2к 6,!ЛС (2.31) Эта ошибка может быть, в частности, связана с тем, что само измерение продолжительностью сл( вносит неконтролируемое изменение энергии системы на величину, даваемую соотноитением (2.31). С такой интерпретацией связано понятие о виртуальных частицах (или состояниях): условно можно считать, что на короткое время сл( — 2кЬ/ЬЕ физическая система может переходить в так называемые виртуальные состояния с нарушением закона сохранения энергии. Это нарушение в действительности является кажущимся, поскольку оно принципиально не проверяемо в измерениях: либо само измерение приведет к сильному изменению энергии на величину не менее той, что дается соотношением (2.31), .тибо измерение подтвердит выполнение закона сохранения энергии (если оно проводится достаточно длительное время).
Термин "виртгтыьныи", использованный выше, переводится с английского языка как 'фактический", 'действительный" и обозначает короткоживущие промежуточные состояния (или частицы), для которых нарушается обычная связь энергии и импульса. Справедлива также следующая трактовка соотношения (2.29). Если некоторое квантовое состояние существует в течение времени т, то оно имеет энергетический спектр шириной Г )9'т, и наоборот, если некоторое состояние имеет (энергетическую) ширину Г, то оно существует в течение времени т )1/Г.
Рассмотрим связь соотношения неопределенностей (230) с соотношением неоцределенносгей "координата-импульс" вида (2.24). Пусть имеется нестационарное состояние — .юкализованный волновой пакет — с разбросом энергий ЛЕ. ГГусть наш пакет существует в течение времени Ь( и занимает в пространстве область Ь:с. Если гп -- групповая скорость 29. Приггигггг донолгттельност~ пакета, то Таким образом, мы '"вывели" соотношение неопределенностей "время— энерг ги" (2.30) из соотношения неопределенностей "координата — импульс" каргах 2к)г.
Это, однако, не вполне правильное утверждение, поскольку оба эти соотношения являются независимыми. Дело в том, что ранее мы рассыагривали соотношение неопределенностей "координата — импульс", имея в виду изменение траектории микрочастицы при неизменной величине полного импульса, т. е. в условиях, когда энерпш частицы не менялись, а менялось лишь нопривление движения. Вместе с тем пространственная форма волновог о пакета с (г) и его Фурье-спектр С()г) также связаны преобразованием Фурье. 11апример, в одномерном случае имеем Р (х) = С(!')с' ' —. С'(й) = Г(х)с гн ггх. (2.33) — ив Здесь уже в спелтре присутствуют различные мгачвтгя волнового числа й и, следовательно, импульса р = гг)з Тем самым мы имеем пакет, солерягащий гармоники с различной энергией Е .= Ьш(й) == Е(р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
