Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 7
Текст из файла (страница 7)
— —. Лв Л (1.23) Значиэ, по теореме о равнораспределении плотность энергии равна рлоЛ =.: ВТб и =- — ВТ вЂ”. Лв Л 1.1.24) Тогда спектральная плотность объемной плотности энергии оказывается равной рл=" РТ. 11.25) Лэ Е, т = 2п — йТ. и,"— (1.26) Весь этот рэлеевский вывод приведен для того, побы еще раз сказать, что, несмотря на это безупречное классическое рассуждение, формула Рэлея — Джинса(1.25), во-псрвых, приводит к абсурду к "ультрафиолетовой катастрофе" )элдЛ =- х, о т. е. к утверждению, что при любой конечной температуре полная энергия излучения в замкнутой полости бесконечна. Во-вторых, формула 11.2б) совершенно не соответствует результатам экспериментальных наблюдений спектра излучения черного тела, которые неоднократно и очень тщательно проводились после того, как ээьш изобретен способ реализации черного тела в оптике.
Это и есть знаменитая формула Р:элся — Джинса: в равновесных условиях объемная гэлотность энергии теплового излучения в полости обусловлена испусканием "света" стенками (или поглощающим телом в полости). Простые геометрические соображения (сьь задачу 7) позволяют связать объемную плотность с интенсивностью излучения в полости, а эту последнюю -- с испускательной (излучательной) способностью абсолютно черного тела. В результате мы имеем другую запись формулы Р элса — Дясинса: !.!2 Фидшаи Плилки 1.12.
Формула Планка Планк, анализируя сложившееся положение, отказался от мысли, что осциллятор частоты и может заключать в себе и испускать произвольное количество энергии. Он предположил, что осциллятор, собственное колебание излучения в полости, может увеличивать или уменьшать свою энерги1о только целыми порциямп . квантами Би. Следовательно, абсолютно черное тело может излучать энергию только квантами Би.
И тогда, вместо (1.26) Нланк получил из ли Б„т == 2п —. ез еь"!ю — 1 (1.27) Отнеся вывод этой замечательной формулы на семинар (задача 9), подчеркнем, как главное, то обстоятельство, что она прекрасно описывает всю совокупность экспериментально наблюдаемых явлений.
Прежде всего, следует сказать, что для низких частот (!п~ << Р Р) полуЛи чаем „= КТ, Как оно и должно бьзть, в этой области спектра мы е"" ет — 1 получаем закон Рэлся — Джинса (1.26). Далее. Полная энергия, излучаемая в единицу времени с единицы поверхности абсолютно черного тела при температуре Т, равна 1((Т) = — р = — ' ~ с те!и = иТ . 4 Ч ) о (1.28) Л„„,,Т = сопз1. (1.30) где р — - полная (по всему спектру) объемная плотность энергии, а коэффициент (1.29) и!з ап з!з ' .р получил название постоянной Стефана .
Бодьцмана. Таким образом, из формулы Планка как сс прямое следствие вытекает закон Стефана — Больцмана, установленный до Планка экспериментально (Стефан, 1879 г.) и выведенный теоретически из термодинамичсских соображений задолго до появления формулы (1.27) (Больцман, 1884 11) Зная экспериментально получсннунэ величину постоянной Стсфана— Больцмана(1.29), Планк нашел значение постоянной Ь, прекрасно совпавшее с тем, что впоследствии дало исследование фотоэффекта.
Аналогично, из формулы Планка следует закон смещения Вина, суть которого в следующем. Распределение по частоте (1.27), вид которого приведен на рис. 1.8, обладает явно выразкснным максимумом. Полозкснис этого максимума зависит от температуры, смещаясь к более коротким волнам при сс увеличении. Дифференцируя (1.27) по и и приравнивая нулю производную, легко получить закон Вина в виде 32 Гл. й Квантовая днскретность света 0 н 1 1ь,с и Рнс. 1.8.
Спектральная нспускатсльная способность абсолютно черного тала (в формуле Планка 11.28)) для двух значений температуры )) ( Та Здесь Лю „— длина волны излучения, соответствуюшсго максимуму план- ковского распределения, а значение константы составляет 0,2896 см град. Что касается точности формулы Рэлея-Джинса, то, в частности, при температуре Т - —. ! К ошибка составляет 1% на длине волны Л вЂ” — 1 и 1пРи данной тсмпеРагУРе величина Лп,а = 0,8 см). В радиодиапазо не, где излучательная способность черного тела п роно рциональна температуре, очень часто интенсивность излучений со сплошным спектром (а тепловые излучения имеют сплошной спектр) измеряют в эффективных температурах.
Это осооснно характерно для радиоастрономии. Так, температура реликтового излучения, измеренная на длине волны 3 см, составляет примерно 3 К. Подводя итог содержанию этой главы, мы приходим к выводу, что свет воздействует на вещество как совокупность фотонов — квантов энергии Йр, распространяющихся со скоростью света и несущих импульс 6 1с. Кроме того, испускастся свет, по крайней морс, черным телом в виде порций энергии )зр. ГЛАВА 2 КВАНТОВАНИЕ В МИКРОМИРЕ, ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ, СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Ег див егггегг ЪЛТе) игег иг овгегг ое)г)егегв де)ййгег. Ок ггриггодпяг кроеииек великого зоновеео.
(гхльбсрт Эйнштсглн о диссертации Луи ле Бройля в письме Полю Ланжсвсну, ) 924 г) В прсдыдущсй главе мы установили, что свст имсст квантовую природу, проявляющугося в сто испускании и взаимодействии с всгцссгвом (по крайной мсрс, примснитсльно к тепловому излучснию). В этой главе речь пойдет и наличии дискретности, прсрывнстости состояний, т. с. "квантовости" у атомов вещества, в микромире, 2.1. Опыты Франка н Герца Вопрос об энергетических состояниях, в которых атомы вещества могут находиться, сстсствсннсс всего исслсдовать, изучая повсдснис атома под действием сообщаемой ему энергии. Наиболсс удобным способом сообщения атому какого-то опрсдслснного количества энергии является мстод бомбардировки атомов ускоренными электронамн.
Дело в том, что кинетическая энергия электронов лсгко регулируется разностью ускоряюгцих потенциалов. Поскольку энергия, сообщасмая электрону (с зарядом е) при прохождснии разности потенциалов )г, сеть е!г, з о часто таковая измеряется в электрон-вольтах, или просто в вольтах. Соотношение — гтги =. Р и = ЛТ = ер ! 2 2 позволяет связать воедино такие энергетические характеристики, как кинстичсская энергия электрона — г во, частота излучения и, квант которого йп 1 2 имсст энергию ер, и эффективная тсмпсрагура Т, при которой на колсбатсльную степень своболы приходится энергия, равная е)г. Именно в смысло этой энергетической эквивалентности сущсствуст соотвстствис разнородных единиц, которос записывастся цепочкой "равенств"; 1 зВ =!1666 К = 2.4 1Ог'г Гц =- !2ггООА=- 1,эбг мьм = =-16 1О '2 зрг= 1 6 !О г Дж, что полезно помнить, чтобы быстро делать числснныс оценки, 34 Гг 2.
Кнгггггнованиннмихромире, соонгггоигнггиеггеонреггенеггггостсйг Итак, чем болыпс разность потенциалов поля, тем выше скорость электрона. В нсрслятивистской области, т. е. для медленных электронов (ц « г), — г — 'г'-О,г гп, г гВ ° гг. г.г. гзг т т и Вернемся, однако, к эксперименту Джеймса Франка и Густава 1'ерца (1912 — ! 914 гг.). Схема опыта по идее довольно проста (см. рис. 2.1). Электроны, вылетающие из горячего катода, ускоряются сеткой, находящейся под потенциалом 1'г.
Потенциал 14з препятствует попаданию медленных электронов на собнраюшнй анод. В опыте измеряется анодный ток в зависимости от ускоряюшего потенциала 1'г при некотором фиксированном значении 1'з. При высоком вакууме вольт-амперная характеристика П Рг ) имеет вид, показанный на рис. 2.2. Видно, почему потенциал 1'з называется защитным или запорным: когда 1'г < 1гз, анодный ток практически исчезает.
г Рис. 2,1. Схема опыта Франка а Герца Рис. 2.2. Вольт-амперная характеристика лампы в случае глубокого вакуума Наличие следов газа в сосуде существенно меняет картину. Сталкиваясь с атомами, электроны могут отдавать им часть своей энергии (или лагко всю свою энергию). Наиболес быстрые электроны могут при этом ионизовать атомы. Тогда ток возрастал бы из-за появления вторичных электронов. Опыты Франка и Герца были произведены с парами ртути. Оказалось, что прсчскающий ток с ростом энергии электронов увеличивается отнюдь нс монотонно, а имеет максимумы и минимумы, как это показано на рис. 2.3. Первоначально, пока энергия электронов мсныпе 4,9 эВ, пучок электронов проходит через пары ртути,нс теряя энергии.
Вольт-ампсрная характеристика подобна обычной. И на самом деле, в этой области энергий происходит упругий удар электрона о тяжелый атом ртути. Электрон отскакивает, теряет направление, но, в конце концов, попадает на анод. Поэтому 2.! Опьоны Франко и Герчп ток растет с напра>кснисм. Но как только достигается энергия в 4,9 эВ, ток резко падает. Э го происходит из-за того, что при этой энергии электронов изменяется характер их соударений с агомамн ргути.
Соударсния становятся нсупругими. Лтомы ртути активно поглощают энергию налетающих на них электронов, сели эта последняя составляет 4,9 эВ. При этом внутрсннсс состояние атома ртути изменяется, а испытавший нсупругос соударснне и потерявший свою энергию, а значит, и скорость электрон нс пропускается к аноду запорным потенциалом. Наличие экстремумов при ускоряющем потенциале в 9,8 В и 14,7 В говорит о том. что в этих случаях после нсупругого удара электрон успевает так ускориться, что претерпевает еще одно нсупругос соударснис. 4,9 9,8 !47 Рп В Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
