Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Линейные операторы можно складывать: А, +А, =А. имея в виду результат действия на какую-либо функцикк Аз и -~- Ази = Аи. Операция перемножения операторов А1 и А1 задает оператор А = Аэ Ал, действие которого определяется как результат последовательногоприменения операторов Аз и А1 к некоторой функции; А ) А за — А1 (А2 и) В общем случае перемножение операторов не коммутативно (порядок следования операторов в произведении важен), поскольку действие операторов А — — А1Ая и А = АэА| на функцию, вообще говоря, различно: А,(А,и) ~ Аз(А, ). Это становится очевидным, если, например, Аз = х, Аэ = ф г)х: ,ии - й ди Аз%и) (хи) и + х —, А1(Ази) —" х — (и) — — х —.
ит 0х Ых Лх Нетрудно установить свойство произведения операторов относительно операции эрмитова сопряжения: (А,Аз)+ =- А,+А+. В самом деле, с одной стороны, и~К~Ы ~)г)Ъ' =- )Я~Аз)'и1 иэЛ~. а с другой стороны, и*,(АэАзиз)ЙЪ' = (А+из) (Азиз)ЙЪ' = (А„А1' иэ) изй'. Сравнивая правые части полученных равенств, приходим к сделанному утверждению. Квантовая механика постулирует, что каждой физической величине А соответствует некий линейный самосопряженный оператор ), такой, что 64 Гн. 3 Вонновая функция, операвноры, уравнениеШреэзиягера среднее значение величины (, найденное в процессе многократных изме- рений, равно а = "',""," (ззз) (~ФЯЛ В этой записи мы не предполагали, что Ф-функция как-либо нормирована, что иногда удобно при практических вычислениях.
Если же выполняется условие нормировки (ЗЛ), то вместо (3.33) мы будем иметь более простую запись; (,э') — — Ф*гэФЛ' (3.33 а) Последнее соотношение позволяет понять, почему должны использоваться сиээоаопряэкенные операторы. В самом деле, преобразуем (3.33 а), предполагая, что оператор ) самосопряженный: (г") =- Ф" ((Ф)Л' = (('Ф)*ФЛ'.
С другой стороны, произведем комплексное сопряжение а (3.33 а): (() = (Ф'у'эр)-Л = Ф((Ф)-«~'. Легко увидеть, гго ()) = (() . Это означает, что величины, описьгваемые эрмитовыми операторами, являются действительными. Последнее является необходимым условием, предъявляемым к физическим величинам. 3.5, Собственные значения и собственные функции Допустим, что физическая величина ) может принимать значения (, Числа ), называются собспэвенными знаненияэш величины ) .
Пусть состоянию квантовомеханической системы, в котором реализуется какое-либо конкретное значение величины (, ) = )„отвечает волновая функция Ф вЂ” — Ф,. Функции Ф, называются согэственнььээи функяияии величины э'. По своему смыслу среднее значение величины г' в состоянии с волновой функцией Ф, совладаете(,: (() =,( В обшем случае, в соответствии с принципом суперпозиции, волновая функция произвольного состояния может быть представлена в виде (3.34) 3.5. Гобс>нвенные значения н сооснгвегг>гые Чгу>гкггигг (() = ~" (;Н (Р—,»,(г С, ~'.
(ЗЗ5) Воспользуемся формулой (3.24) для коэффициентов С", > >г> — г с',">г>с> — г (/гв гг )>ггг> — ~г" '(З гвс) ге. г 1 (3.36) С другой стороны, запишем действие линейного оператора ( на функцию (3.34): УФ = ~ ~'Сг)'Ф,. (3.37) Вспоминая определение среднего значения (7') = Ф' г'ФЛ' и сравнивая зто равенство с (3.3б) и (3.37), заключаем, что УФ =- Е)'.С> Ф (3.38) Если мы изначально имеем дело с состоянием, отвечающим собственному значению г"г и волновой функции Ф = Ф„то из (3.38) получим (>р = );>(1 (3.39) Это означает, что действие оператора ( на волновую функцию Ф, сводится к умноэкению на собственное значение >",.
Равенство (3. 39) можно прочитать и иным образом: зная заранее вид оператора )г и решив уравнение (3.39) с определенными краевыми условиями, можно найти как собственные значения г'„так и собственные функции Фг. Нетрудно убедиться, что в состоянии, отвечающем собственной функции Ф, оператора гг, среднее значение совпадает с соответствующим собственным значением оператора ) . В самом деле, полагая Ф = Фг и используя определение среднего (3.33), получим 1 Ф*УФЛ' 1 Ф,*);Ф где (7') ) Ф*ФЛ ) Ф;Ф,Л" (Здесь не предполагалось, что волновая функция нормирована).
Согласно (3.22) вероятность найти при измерении величины 7' значение (г равна И' ()г) =- ~С,>, так что среднее значение величины эг может 2 быть записано в виде бб Гл. 3 Вооиоеал функция, оиерооюры, ураеиеииеШредииеера Итак, по одному постулату квантовой механики каждой физической величине ставится в соответствие неко>орый оператор, позволяющий с помощью интеграла (3.29) определить среднее значение этой величины. Другой постулат квантовой механики утвер>кдает, что те соотношения, которые классическая механика знает для макроскопических физических величин, верны как соотношения между квантовомсханичсскими средними значениями.
На языке алгебры операторов это означает, что классические соотношения должны выполняться для операторов соответствующих величин. Этот постулат эквивалентен принципу соответствия Н. Бора, является его другой, но полностью равноправной формулировкой. Второй постулат дает нам возможность написать все нужные операторы, если только не заоыты классические соотношения. Найдем вид некоторых важнейших операторов. Н пнем с оператора импульса.
Как мы уже знаем, состояние микрочастицы с определенным импульсом описывается волной де Бройля Фр — — Фоехр ~ — (рг — Е!)) . Легко проверить, что или —. Й вЂ” = р,Ф. дФ дл = р.Ф. дФ д> а ->2>>7Ф = РФ . (3.40) где мы использовали векторный оператор "набла" — +3 — -ь )с— .д .д д дк дя >>г (3.41) Сравнивая (3.40) и (3.39), можно заключить, что оператор импульса имеет вид р = -Н>T. (3.42) Как бьшо сказано выше, собственные функции можно найти исходя из вида оператора.
Для примера решим одну такую обратную задачу: найдем Ф-функцию состояния, в котором импульс частицы имеет определенное значение р. Для импульса в соответствии с (3.42) уравнение ~3.39) в одномерном случае записывается как — >д = риФ. дФ дх Решение это>о уравнения очевидно; Ф,'х) = Фо ехр ~ — 'р, х~ . ~а Аналогичные равенства выполняются и для остальных координат. В ре- зультате можно записать б7 3.5. Содсвгввииые зиаивиия гг сооствттыв фуггкггигг Мы получили плоскую волну де Бройля, как и должно быль. Обобщение на трехмерный случай не представляет труда. Теперь установим вид оператора кинетической энергии.
Для движения вдоль оси х кинетическая энергия Т частицы массы т связана с импульсом р„как это хороша известно, формулой гг 2т Соответственно для оператора кинетической энергии получаем выражение г'3.43) Т = —, = — (7г, + )г,, + Р.) = — —,' А Р 1,-2 2 -2 Л" 2т 2вг ат г3.44) где гз =- 'гг г ---. оператор Лапласа, нли лапласиан, имеющий в декартовых координатах вид (3.45) дхг дуг ггвг Из формулы для среднего значения координаты Г3.27а) вытекает, что оператор координаты есть сама координата: г'3.46) Отсюда, в соответствии со вторым постулатом, немедленно следует, что оператор лкгбой функции координатьг есть сама эта функция. Поэтому для потенциальной энергии Г = — Г(х. гг, с), являющейся функцией координат, имеем Г = Г(х.
гг. х). Наконец, для полной энергии Н = Т+ Г поггучаем Н = Т + Г =- — — сз; — Г(х, у. 2), 2т (3.48) В механике энергия системы Н, выраженная через координаты и импульсы, носит название функции Гаъгильтона. Соответствующий квантовомеханичсский оператор называется опврплгором Гпигыьтоиа или гссмилвтолианом, Помимо рассмотренных операторов полезным оказывается оператор полной энергии, который формально можно ввести следующим образом. Используем выражение для волны де Бройля, описьгвающсй состояние с определенной энергией: — = — (Фгг ехр ~ — (рг — Е1)г 2г = — — ЕФ.
илн гуг — = ЕФ. дг дг я 6 дг, ЗДЕСЬ рз = (р,г ) 2 — ЭтО КВадрат ОПЕратОра, т. Е. ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОЕ дауКратное применение оператора р к функции: р-,.Ф = р (рвФ), В трехмерном случае оператор кинетической энергии записывается следуюгцим образом: б8 Ел. 3 Волновая фэлзкпия, операторы, 1равненне111реднялера Отсюда на основании 13.39) заключаем, что 13.49) р =. (р~., р~, рз. рз) =: 1ро, ре. рч, рл):= 1Е/г, р). Переходя здесь к операторам, получим р' = 1ро. р,, ря, р,) .: — 1Е ' с, р). При этом Р,-1й — = (И вЂ”. )Враз). Р'=Ы вЂ” — (1й —, — 1)Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
