Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Следует, однако, иметь в виду, что при наличии бесконечных скачков (1(х) эти условия, вообще говоря, не справедливы. Вернемся теперь к задаче о прохождении частицы над потенциальным барьером. Применим найденные условия для сшивки функций гл'~ и Фг в точке х = 0: агг + Ьг = иг. (4.10) 1к(а1 — Ь!) = гйаа. Выражая отсюда коэффициенты аг и Ьг через коэффициент аг, найдем яь аг =- ' аг. Ь -~- е Ь вЂ” ч Ьг = — — аы Ьчч (4.11) Ьг г= аг (4.12) В нашем случае эти коэффициенты равны яь Ь- д сг= . г= ььа /с+л (4,13) Для практических целей большое значение имеют коэффициенты О ' г Часто добавляют слова "по интенсивности". чтобы отличать на слух эти коэффициенты от соответствующих амплитудных коэффициентов. Удобно ввести так называемые аигыигнудные коэффициенты прохолсдення (й) и ааг1гаэгсенггя (г): 4.
Л Прохождегзие пасторы через потенчпалыша оарьер 85 прохождения (пропускания) Р и отражения Лс Р— —. 2'рош Л =- зотр (4.14) М 2 . ИС 2 . аз 2 Угшд — ~а || ° Уотр — ~1|| ~ ° Упрош — ||2~ (4.16) и! Соответственно для коэффициентов Л и Р находим представления '1 Р = ~ )г)) =- '| . Л = ~г|2 = . (4.17) ь (л + с) ' Легко проверить, что выполняется закон сохранения (4.18) выражающий| тот факз, что в рассматриваемом процессе частицы не исчезают и не возникают: часть из них отражается от барьера, а оставшаяся часть продолжает лететь в первоначальном направлении. В рассмотренном случае классически разрешенной областью является все пространство ( — оо < х < +гхз).
Поэтому не удивительно, что некоторое количество частиц попадает в область над барьером (.г > 0). Более удивительным является наличие потока, отраженного от барьера (х < 0). В классической механике частиц такого потока нет. Олнако в квантовой механике отраженный поток возникает точно так же, как в волновой оптике отраженные (рассеянные) волны возникают практически всегда прп наличии неоднородностей среды. В действительности происхождение этого потока связано с взаимодействием налетаюших частиц с барьером (классическим прибором), в результате чего с какой-то вероятностью возникают состояния с различными импульсами, в том числе и с отрицательными. Это явление называют надбарье72нызг агл71аженггеи.
Здесь следует подчеркнуть тот факт, что состояние, описываемое волновой функцией и|Е'~т + (Г|Е г~т. Х < О, Ф(х) =- ш аас'Сп. Х > 0„ (4.19) | Обозначения коэффициентов происходят от псрвых букв немецких слов Й|гс1зйс|гсп — "проходить" и гсйсйг(егсп — потражать". Гдс упшг, |и,„, упроп, ПЛОтиаетн ПОТОКОВ ИСХОдНОй (а.|Е1ят), Отражсиной (Ь| е ььк) и прошедшей через барьер (азе'с') волн '). Напомним, что плотность потока вероятности дается формулой 1 = — '(Ф*ь|Ф вЂ” Фзггр").
(4.15) 21111 Используя эту формулу, нетрудно получить явные выражения для величин ;|п,д .|отр И уорош: 86 Гл 4. Пасяеннаазьаые барьеры п, --1 — — ' и (4.20) В случае потенциального барьера, т. е. при (5а > О, показатель преломления меныле единицы. Наоборот, в случае потенциальной ямы ((ьа < 0) окажется и > 1. Пользуясь данной формальной аналогией, мозкно переносить выводы оптики на задачи квантовой механики.
Мы исследовали случай, когда энергия частицы превышает высоту барьера: Е > О'о. Противоположный случай — — Е < (5о — исследуется аналогично. Именно, для волновой функции мы имеем уравнения в двух характерных областях'. Ф1'+ )еаФ1 = о,г < 0 (4.21 а) (4.21 б) Ф!,' — 5зФ = О, л; > О. где введены обозначения 1 З Зтй,)З зш ( аз 1Р (4.22) Решение этих уравнений можно представить в виде Ф~ (х) — а!еше + 61с гвв .г < О (4.23 а) Ф (.г) = сас 'зе, к > О.
(4.23 б) В формуле (4 23 б) мы не выписали слагаемое ~1зс з ', нос колысу оно неограниченно растет при л +ос и нс удовлетворяет требовании) конечности волновой функции всюду в пространстве. Сшивая функции (4.23 а) и (4.23 б) в точке к = 0 по формулам (4.8), (4.9), получим зь Ь вЂ” 53 са — ам Ь! — а ы (4.24) 1 + 05 Ь -~- п5 не является состоянием с определенным импульсом. В самом деле, определенным импульсом частицы обладают только тогда, когда их волновая функция совпадает во всем пространстве с плоской волной де Бройля Ф = .= Фоеуа'уь.
Очевидно, чзо функция (4.19) не может быть представлена во всем пространстве в виде Ф с"', где а — некоторое действительное число. Она не может быть представлена и в виде суммы конечного числа таких экспонент. Формальной причиной этого является явная зависимость потенциальной энергии от координаты и невозможность точного одновременного измерения координаты и импульса. Здесь уместно обратить внимание на аналогию с задачей о прохождении электромагнитной волной среды с перегяенной оптической плотностью. Дело в том, что потенциальная энергия может рассматриваться как фактор, мсняюший эффективный показатель преломления среды.
Действительно, считая величину й волновым вектором частиц в свободном пространстве, обозначим волновой вектор д в среде как 9 .— а)< Тем самым вводится эффективный показатель преломления и, причем, согласно (4.5), 4.2 Ту~п~е7ьлый зффеюп Далее находим коэффициент отражения: з ,х л1 (4.25) В соответствии с законом сохранения (4.18) отсюда следует Р =- О, т. е. ни одна частица не проходит в запрещенную классически область. В то же время из формул (4.24) следует, что в классически запрещенной области вероятность найти частицу отлична от нуля: йю(еьо Фз(,г) 4,г = сз( Г' к '" дх ф О. Посмотрим, как согласуется этот вывод с утвержтением об отсутствии проходящего вперед потока.
Пайдем плотность потока вероятности в области к ) О, используя формулу (4.15). Подставляя в нее выражение для волновой функции пз (423 б) и учитывая, что функция Ф =- Фз(к) действительная, сразу находим д ~ ~ н д 4.2. Туннельный эффект Мы рассмотрели простейшую ситуацию взаимодействие частиц с барьером типа ступеньки (рис. 4.1). Песколько более сложным является случай барьера конечной ширины (рис. 4.2). Остановимся на этом примере подробнее. В предглдущсм примере мы видели, что частицы могут проникать в классически запрещенную область, где Е ( П. Поэтому можно В соответствии с определением Р =- )„л„„,Д„„,, это и означает Р = О, т.
е. отсутствует поток частиц в запрещенную область: все частицы, падающие на барьер, отражаются назад. Наличие потока в область л > 0 означало бы, что имеется поглощение частиц, меняющее их общее количество в системе. По для этого требовшюсь бы дополнительно учесть какие-либо механизмы, благодаря которым осуществляется такой процесс. Мы их нс учитывали и получили результат, очевидный заранее: как бы глубоко частицы ни попадали в запрещенную область, они все равно отразятся назад, в область разрешенную. Паконец, отметим, что если коэффициент Й имеет, как и раньше, смысл волнового числа в свободном пространстве, то величина 3 может быть интерпретирована как коэффициент затухания волны в среде.
Здесь также прослеживается полная аналогия с оптикой. Как было отмечено выше, можно ввести показатель преломления среды (см. (4.20)), причем оказывается, что в подбарьерной области из < О. В оптике это означало бы невозможность проникновения света в среду на расстояния, превышающие 1 1,ОЗ = — 1Д л~ й). Такое же утверхстение получается и для частил. Гл. 4. Поаеннаазьные барьеры ожидать, что в случае барьера конечной ширины часть частиц сможет выйти из барьера, но уже с другой стороны.
Имея в виду сказанное, будем изучать прохождение частиц через барьер О, х< 0, (7(х)= (зо, 0<э <а, О„х> а. (4.27) Рассмотрим ситуацию Е < (7о, причем поток частиц на рис. 4.2 летит в по- ложительном направлении оси х. Классически запрещенной здесь является область О < х < а. Рис. 4,2. Прямоугольный потенциальный барьер ширины а. Широкая стрелка ука- зывает направление налетающего потока частиц.
1(ифраьзи 1, 2, 3 обозначены три характерные области Запишем уравнение Шредингера для стационарного состояния с энергией Е. Учтем, что имеются три характерные области: х < О, 0 < х < а. и х > О. Соответственно дзгя этих областей имеем (4.28) >О: Ф'з'+~ Ф, — --О. Здесь введены обозначения Й= — 2 Я. 4= — ~2 \Ь' ЕЗ а а (4.29) Решение уравнений (4.28) запишем в виде (4.30) х<0 0<х<о, Ф1(:г) =- азе'ье —.
Фз(х) =- азе"'+ Фз(х) = азе™к зРл, 1дФ Ф' — дзФз =- О, б~е 'ь., х < О. Ьяе л", 0<х<а, х > а. 4.2. 1)нлсзьаьа эффект а1+61 = аз+ Ьз, й(а1 — Ь ! ) — —,3(аа — Ьз), аае "-~-Ьае '" =а е'" ')(азе' "' — Ьзе ' ') — — Йазе'"", (4.31) из которой можно выразить коэффициенты 6ы а . Ьз, аз через амплиту- ду падающей волны аы Мы приведем выражение только для амплитуды прошедшей через барьер волны; мьа — ~зм аз=,, е ач, 1А -~-Ьт)ае в Е16 — юа)зга" 14.32) Отсюда легко найти коэффициент прохождения (пропускание); яяаиз ~ а1 ~ (Ьз - дз)з ей (Да) е 46алаМР(~3а) Рассмотрим частный случай этой формулы при )а» 1, отвечающий широкому барьеру; 16йед~ — зев е ~ю (лз т Да)з (4.34) Напомним, что величина Э дается выражением (4.29).
Таким образом, чем выше и шире барьер, тсм меньшая доля частиц может сто преодолеть. В этой связи становится ясным, что непрозрачность барьера для классических частиц обусловлена именно малостью коэффициента прохозкдения. Например, дл» частиц массой ш =- 10 а г и энергией Е = 0.99эрг барьер высотой Но = 1 эрг и шириной а = 10 ' см имеет коэффициент про- пускания Эта величина столь мала, что данный барьер может считаться абсолютно непрозрачным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
