Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Однако для электрона 1т = — 9.1 1О за г), преодолевающео го барьер шириной а = 2 Л =- 2 . 10" з см, пропускание при Рйа — Е = 1эВ = 16. 10 'а эрг составит П 0.13, что уже вполне наблюдаемо. Для области г ) а мы оставили только волну, распространяющуюся в положительном направлении, поскольку предполагается отсутствие в этой области каких-либо неоднородностей, приводящих к появлению отраженных волн.
Три части в(4.30) нужно сшитьв точках к = 0 и,г = и, используя условия (4.9), (4.1 0). Это дает систему четырех линейных однородных урав- нений 90 7я 4. Поаеанаизьлые барьеры Учитывая, что при изменении энергии экспонента меняется гораздо быстрее, чем предэкспоненциальный множитель, можно переписать выражение (4.34) для )7 в виде а = а, . й (--', 2 яЧ -' сг) ../ . л (4.35) Фз = Ьзг (4.3б) На расстоянии Ь.~' =- а амплитуда волновой функции уменьшится в г' " раз и составит Ф(а) Ф(О)е з'. Амплитудный коэффициент прохождения оказывается при этом равным г) Ф(и)/Ф(0) е л'", а пропускание барьера ) 2,— жза ~4.37) Итак, мы установили, что частица может пройти через потенциальный барьер несмотря на то, что ее энергия меньше высоты барьера.
В классической механике этот эффект невозможен; частица должна отразиться от барьера. Явление прохождения частицы через к:шссически запрещенную облас гь называется тулнезьньгн эффеюлми, поскольку оно отдаленно напоминает прохождение поезда через туннель в горе. Может сложиться впечатление, что в этом явлении нарушается закон сохранения энергии.
В самом деле, на языке классической механики мы написали бы равенство Е = Т + П(х). (438) Поскольку кинетическая энергия неотрицательна, Т > О, то должно было бы выполняться условие Т=Е. Г(г)>0. (4.39) т. е, энергия должна всюду быть не меньше высоты барьера. В то же время в классически запрещенной области выполняется противоположное неравенство: Š— П(з) < О, что явно противоречит (4.39). Это рассуждение, однако, является чисто классическим и не правомочно в квантовой механике: соотношение (4.39) должно выполняться лголько для средних значений: (4.40) В формуле (4.35) предэкспоненциальный множитель )7о есть, как правило, величина порядка единицы.
Получить жс экспоненциальный множитель, оказывается, достаточно просто из следующих соображений. В самом деле, если барьер широкий, то в подбарьерной области ~0 < л < а) волновая функция затухает сильно, так что у правого края ее значение мало.
Поэтому отраженная от точки ж = а, волна пренебрежимо мала (отражаться могут только частицы, достигшие этого края). Следовательно, всюду в подбарьерной области волновую функцию можно записать в виде 4 3. Т1млюьлый эффект и соопьюшмше леолредеяеваостей 9! Нетрудно установить, что в нашем случае (Г(.г)) =- О. В самом деле, по определению квантовомеханического среднего значения имеем лэ'(л)Г(л)Ф(г) Лк (7г(.т)) =— Ч'-(т)Ф(г) лх (4.41) 4.3. Туннельный эффект и соотношение неопределенностей Как мы видели, при туннельном эффекте имеется ненулевая вероятность найти частицу в классически запрещенной области.
Выше мы формально показали, что закон сохранения энергии при этом не нарушается. Однако вопрос можно поставить иначе; если частица находится в точках классически запрегцснной области, то можно ли с помощьк1 какого-либо измерения проверить, что энергия этой частицы в запрещенной области действительно удовлетворяет неравенству г,' < (7? Процесс измерения может радикально изменить состояние квантовомеханического объекта.
Выясним, как измерение проявится в нашей задаче. Будем для простоты считать барьер широким. Тогда в классически запрещенной области волновая функция описывается соотношением (4.36), которое мы перепишем в следующем виде: к ~ 1 а ф ехр ( — — ), !. =- — == Ь Л,уз~я(à — и) (4.42) Входящая сюда величина Б есть характерное расстояние, на котором должна быть зарегистрирована частица, для того чтобы уверенно говорить: частица находится в классически запрегценной области. Эту длину следует принять в качестве значения неопредеденности координаты частицы.
Тогда, согласно соотношению неопределенностей, возникает неконтролируемый разброс значений импульсов частицы в характерном диапазоне (4.43) В этой формуле числитель имеет конечное значение, гюскольку барьер занимает конечнуюю область пространства(см. (4.27) ирис. 4.2) и интегрирование фактически осуществляется в конечных пределах: от 0 до а. Знаменатель же равен бесконечности, поскольку волновая функция всюду отлична от нуля, а на больших расстояниях от барьера описывает свободное движение частиц, с е. имеет конечную амплитуду. Таким образом, неравенство (4.40) сводится к равенству Е =- (7 ), интуитивно понятному для частиц на больших расстояниях от барьера.
Локально >ко применять неравенство (4.39) мы не имеем права. Гя 4. Потенщкмьпые барьеры Соответствуюгцая неопределенность кинетической энергии составит (4.44) [г — Е 2 гя Это соотно|пение означает, что при измерении частица приобретает дополнительную энергию ( ~У вЂ” Е) порядка той, которой недостает для классического ~надбарьерното) движения. Таким образом, оказалось, что зарегистрировать в классически запрс|пенной области значения энергии частицы меньше высоты барьера невозможно: измерение "вышибет" частицу из барьера.
Сказанное можно пояснить иным способом, конкретизировав процедуру измерения. Используем для измерения координаты частицы свет. Очевидно, что для определения положения частицы с точностью Е необходимо использовать свет с длиной волны Л ( Е. Соответствующая энергия фотона при этом составит (4 зб) Мы рассматриваем нерелятивистский случай. Это значит, что энергия фотона должна оыть меньше, чем энергия покоя частицы: )ко < ьвс (иначе нужно было бы последовательно учитывать релятивистские эффекты при столкновении частицы с фотоном). В этих условиях из (4.45) следует (й ~)з ) Вя'тг Тà — Е) ) Вяз й з(à — Е).
или 2(У Е) (4.46) Последнее неравенство означает, что энергии фотона с запасом хватает для того, чтобы энергия частицы, поглотивптей этот фотон, превысила высоту барьера: Ь, > à — Е. 4.4. Квцзикллссическое приближение Выше для упрощения расчетов мы обсуждали только случай прямоугольных барьеров, когда потенциальная энергия Г(к) меняла значение только в одной или двух точках, оставаясь постоянной во всех прочих точках ') (см. рис. 4.! и 4.2). В природе, как правило, потенциальная энергия меняется от точки к точке, и иногда довольно сложным образом, так что прямоугольные барьеры практически не встрсчак>тся, прелставляя собой идеализацию реальной ситуации.
В общем случае найти пропускание реального барьера, решая точно уравнение Шредингера, невозможно. Существуют, П В математике для этого случая употребляется термин 'кусочно-постоянная функция". 93 4.4. Квазлкьасслчсске в арабшжев ие р (:г) = 2ги(Š— П(;г)). (4.48) Если бы оказалось, что 17(я) = сонм, т. е. Р(ж) = сонвц то решение послед- него уравнения записывалось бы в виде Ф(х) —. Ф~с'"к~ь —. Фге '"" .
(4.49) Пусть теперь функция р(к) меняется, но медленно. Будем искать решениее уравнения (4.47) в виде Ф(к) = схр ~ (4.50) Функция Я(к) называется дейстлвиаи. В случае р(л) = сонзг мы имели бы Я(к) = рк или Я(к) = — рх, что соогветствует волновой функции вида (4.49). Для преобразования уравнения (4.47) найдем производные от функции (4. 50): р! ~ уФ Фл (~ 5л з уг) ( (4.51) Подставляя выражение для Ф" в уравнение (4.47), получим Уз;й5- ~ 2(к) (4.52) Предположим, что функция Ь'(ж) меняется медленно. С учетом этого будем искать решение уравнения (4.52) методом последовательных приближений.! 1изшее приближение (Я =- Яо) мы получим, если примем Ь ~5"') << ,'Уз(.
(4.53) однако, различные приближенные способы решения. Один из них, широко встречающийся на практике и называемый квазлкэисслческаи прлбллхселием, мы сейчас рассмотрим. Данный способ позволяет получить решение в тех случаях, когда потенциальная энергия меняется достаточно медленно. Соответствующий предел совершенно аналогичен тому, что имеет место при переходе от волновой оптики к геометрической; если длина волны мала по сравнению с характерными масштабами неоднородности среды, то выполняются законы лучевого распространения света. В кванювой механикс критерий аналогичен: если де бройлевская длина волны частицы мала по сравнению с расстояниями, на которых существенно меняется потенциальная энергия, то мы должны перейти к законам классической механики. Количественно этот критерий будет сформулирован дальше. Рассмотрим уравнение Шредингера для стационарного одномерного движения: (4.47) аз где классический импульс частицы р(я) введен соотношением Пт 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
