Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Организуется цепь обратной связи, которая поддерживает туннельный ток неизменным, соответствуюшим образом изменяя расстояние к от иглы до образца. Запись сигншга обратной связи дает рельеф поверхности образца. Разрешение микроскопа составляет доли ангстрсма вглубь вещества и единицы ангстремов вдоль поверхности. Это величины порядка межатомных расстояний в жидкости и твердом теле. Таким образом, туннсльный микроскоп позволяет явно наблюдать атомно-молекулярную структуру вещества. С его помошью удалось реконструировать атомную структуру поверхности ряда кристаллов: углерода, 1ОО ' л 4. Псяелнла7ьлые Ойрькры кремния и т.
д. Он используется при изучении адсорбции, для исследова- ния полупроводниковых и сверхпроводящих структур и т, д. 4.6. Надбарьерное отражение Вернемся к задаче о потенциальном барьере вида (4.27) см. рис. 4.2. Пусть теперь частица имеет энергию, превьцлаюшую высоту барьера: Е ) ) (гс. Найдем коэффициент отрав<ения от такого барьера. Как и в случае (4.28), запишем уравнение Шредингера для грех различных областей: х < О; 1р'1'+ Ь 1г'1 =- О, О < х < а: Ф~,' + )с~зФз = О., х > О: Ф'1' + ЬзФз =- О. (4.73) Здесь введены обозначения — 'ЫВ, ь = — 'Бчт ~Я. 6 ' 6 (4.74) Решение уравнений (4.73) имеет вид $1(х) — — е' ' + ге Фз(х) =- Ье "+ сг '""-' 'Ьз(х) = )е™': х<О, (4.75) О<х<и, х > О.
1+г=-Ь+с, й(1- г) =. (Ьз(Ь вЂ” с), Ьеш" + сг ом' = йс", (йз(Ье "' — сс ьз ) = (Ы!с™. (4.76) Несложные вычисления дают ,) ейь ь)а 4ьаз (Ь ' Ьг)з — (Ь вЂ” Ьэ)аез'""' (Ьз Ьз) ( зн.а г) (Ь Е Ьз)з — ез'1"-' (Ь вЂ” Ьз)з (4.77) Здесь, как и раньше, мы оставили в выражении для Фз (х) только волну, распространяюн1уюся в положительном направлении. Кроме того, мы приняли, что амплитуда исходной волны равна единице. Тогда коэффициент при отраженной волне совпадает с амплитудным коэффициентом отражения г, а коэффициент при прошедшей волне — — с амплитудным коэффициентом прохождения г). Сшивая различные части волновой функции в точках х — О и х .—. а, получим систему четырех уравнений для коэффициентов г, Ь, с, г1: 101 4.6. Найбарьерное отражение а2яг ., 2Ь2 2т 2гнаг (4.79) не отражаются от препятствия, двигаясь как в свободном пространстве.
Однако амплитудный коэффициент прохождения, вообще говоря, не равен единице: д=ец -' (4.80) хотя 77 =- ~д~ = 1. Ситуация здесь аналогична той, что игиеет место в 2 оптике: благодаря наличию показателя преломления Гг=гс2 и (4.81) на участке 0 < к < а волна, пройдя через среду, приобретает дополнительную фазу тлгр = ( А г -. 18 ) а = ( и — 1) А:а,.
На рис. 4.5 показан вид зависимости пропускания барьера .0 от энергии частицы. Как видно из рисунка, имеет место резонансный характер пропускания. Но Е Е. Ез Е Рис. 4.5. Типичная зависиьюсть коэффициента прохождения через прямоугольный барьер от энергии частицы при Е > Но Из первого выражения видно, что всегда часть частиц проходит иад барьером: коэффициент д не обращается в нуль ни при каких значениях энергии, удовлетворяющих условию Е > Но, Более интересным является вопрос об отражении.
Легко увидеть, что если выполняется равенство е2нма 1 или 12 =, 1 = 1, 2г Зг,.,, 14.78) то оказывается г = — О. Это значит, что частицы с энергией 1ог Гл. 4. Потоолоольлыо бирыры ,ь я йо 2 — па 2 — ~яо (4. 82) Справедливость закона сохранения ~г~ + д = 1 для выражений (4.77) и 2 2 (4.82) проверяется без труда.
Здесь уместно заметить, что аналогичное явление — . резонансное пропускание оптического излучения — наблюдается в интерферометре Фабри — 11еро: если на расстоянии а между пластинами укладывается целое числополуволн,Л = 2а/1, ! = 1., 2, 3, ...,тонезависимооткоэффициента отражения пластин Й пропускание интерферогметра оказывается равным единице. Для полноты изложения следует отметить, что случай 1 .†-- О в (4.78), (4.79) исключается.
Этот случай соответствует тому, что число 1я — О2 ЧЛ вЂ” О )/й — О. Тщц у аЛ7) рО ь 1 рход 1з — ~ О, получим ГЛАВА 5 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ И КВАНТОВАНИЕ За дерзость стгоов ож вдиг а Хайяма У тоха в л врете елуоояги гога. Слави Веевытвего! слава дтлзьям От г:часта азой гтт гпйавл ее Хайягл. !Омар Хайям. Рубаи 531) В предыдущей главе мы подробно обсудили такис простсйшис квантовоыеханическис явления, как надбарьерное отрав!ение и туннельный эффекс В этой главе мы посмотрим, какие новые явлении возникают голда, когда потенциальная энергия имеет форму ямы 1а не барьера, как было выше).
Предварительно заметим. что такая форма потенциальной энергии означает наличие притяжения. При этом в классической физике любое сколь угодно слабое притяжение между частицами приводит к тому, что может возникнуть связаннос состояние этих частиц: в системс центра инерции они совершают финитное движение относительно обгцего центра инерции или вообще покоится. Как правило, связанное сос юяние не единственно: существует целый набор таких состояний, отличаннцихся по энергии, причем их спектр значений энергии непрерывен. Посмотрим, что в этих условиях происходит с частицами, следующими законам квантовой механики, 5.1.
Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма Начнем анализ с простейшего случая, когда мы имеем одномерную бесконечно глубокую потенциальную яму с плоским дном, показанную на рис. 5.1. Аналитически выражение для такой ямы записывается слсдукзщим образом: -г-хь х < О. 1л'1х) = О, О < х < аз !5.1) -г<яя х > гя Мы выбра,ги начало отсчета энергии таким образом, что уровню дна ямы отвечаег значение энергииЕ = 0.Запись П = хаю прях < О их > > а означает, что частица не может проникнуть в эти области ни при каких значениях энергии.
В самом деле, если энергия частицы меньше высоты барьера, то в этой классически запрещенной области волновая функция экспоненцнально убывает по мере удаления от классической и т Рнс. 5.!. Ьссконсчяо глубокая прямоугольная потенциальная яма. Разрсшснная область движения 0 < зг < а 104 Гл. 5. Потеггянивнггнге ямы и нвантованне Ф(0) = О, Ф(а) =- О. 15.2 а) (5.2 б) Волновая функция частицы в яме (5.1) удовлетворяет уравнению Шредингера '"' 'Ф = О, 0 < т, < а.
15.3) лхз Ггз Решение этого уравнения имеет вид Ф(х) .— Ле'"'+ Ве '""', 15.4) где Л и )З вЂ” константы интегрирования, а число й определено соотноше- нием 2тд (5.5) Исгюльзуем граничное условие (5.2 а). Оно дает В = — Л, так что волновая функция (5.4) примет вид Ф(х) =.= 2гЛаш ()гх). 15.6) Используем теперь граничноеусловие(5.2б): Ф(а) = 2гЛгйп()во) = О. Коэффициент Л не может быть равным нулю, поскольку это отвечало бы отсутствию частиц в яме, Ф г—в .
О. Поэтому мы необходимо должны принять а)гг (йа) = 0 или А=)З,= — 'и, и=!г2,3, а (5.7) Значение гг = О здесь недопустимо, поскольку оно приводит к тривиальному решению Ф ==. О, отвечающему отсутствинг частиц в яме. Используя (5.5), получим зтз Егг =- ' и'. и = 1г '2г 3, ... 15.8) 2таз Величина и называется квантовым числом. Волновые функции в рассматриваемой задаче нме>от вид (5.6). Коэффициент Л у этих функций может быть найден из условия нормировки.
Поскольку частица находится в конечной области пространства, >добно точки поворота. При этом скорость убывания тем болыпе, чем больше разность С вЂ” Е. В пределе 17 — г -~-ж волновая ф> нкция обратится в нуль сразу на границе, отделяющей разрешенную и запрещенную области. Вследствие свойства непрерывности мы можем сразу сформулировать граничное условие, которому должна удовлетворять волновая функция в точках стенок такой ямы; 5. й Бескокеиио шуоокал оряиоугозлиая оогоеиииаяыиы яиа 105 выбрать нормировку ~Ф! и в =. 1. В результате приходим к следующему О выражению для нормированных волновых функций: Вне ямы следует всюду полагать Фо =- О.
Заметим, что основному состоянию (к е. состоянию с наименьшей энергией, п = !) отвечает волновая функция. симметричная относительно середины к = а/2 и представляющая собой половину волны синусоиды. Первое возоужденное состояние (и —. 2) описывается волновой функцией, антисимметричной относительно середины ямы.
Далее с ростом и симметричные и антисимметричные волновые функции чередуются. Итак, мы установили, что частица в яме может иметь не произвольные значения энергии, а только дискретный набор (5,8). Важно подчеркнуть, что в нашей задаче квантование возникло из-за того, что нам пришлось сшивать решения для Ф-функций на границах разных физических областей. В одной из них полная энергия больше потенциальной, в двух других . меньше потенциальной. Все дело именно в том, что в эти две последние области частица глубоко заходить не может. Ее движение ограничено стенками ямы.
Если бы яма имела конечную глубину, а энергия (Е) превышала !а', то частица могла бы двигаться от бесконечности до бесконечности, не было оы разнородных решений и шикакого квантования энергии не было бы вовсе. Сказанное есть следствие общей теоремы, состоящей в том, что энергия всегда квантуется у систем, которые не могут уходзить на бесконечность (совершают финитнос движение) п нс квантустся у систем, способных уходить на бесконечность (движение которых инфинитно). Заметим, что вывод о дискретности спектра значений энерз ии не слишком удивителен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
