Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Для частицы с энергией Е классическис точки поворота определяются условием или .г = йкг,о. ко, =- ~( ' . (5.40) Г7я и ко ,а' го 'хг ,гг,г 'г Соответственно условие (5.38) дги данного случая записывается в виде Н:,.г йн,. г ) 1(г„(Г -'" ' ~~,6.,: .. г Н 1л +-'~~.
ОТО -'" "*) . ( Последнее соотношение носит название условия квантования Бори-. -Зпзмгерфе льда. Оно отличается лишь наличием поправки 112 в правой части равенства. Кроме того, в диапазон изменения квантового числа включено значение и —" 0 (в (5.36 6) этому значению отвечала бы тривиальная волновая функция Ф = 0).
Очевидно, что для больших квантовых чисел (и )> 1), когда обычно и работает квазиклассическое приближение, данная поправка нс играет существенной роли. Тем нс менее иногда она позволяет уточнить те или иные формулы. Остановимся на одной важной интерпретации формулы (5.36 б). Интеграл в ее левой части рг)г: сеть площадь на фазовой плоскости, ограничиваемая фазовой траекторией частицы за период колебаний о -о 6 —, и.
Этот интеграл можно записать также в виде г(рйгк Величина и есть число квантовых состояний с энергиями, не прсвыпшкгшнми данного значения Г. Поэтому на одно квантовое состояние приходится клетка (ячейка) в фазовом пространстве 11х .г) плошадью 2к6. Таким образом, если мы выберем в фазовом пространстве некоторую замкнутую траекторию, то число квантовых состояний (элементарных ячеек), ограннчиваемых ею будет равно 116 Ги 5.
Пожеещииэьаые и вы и кеааоюеалае Входящий сюда интеграл вычисляется достаточно просто: 2.2т Е (Ъ ' ) Ес=у — '. Соответственно условие (5.41) немедленно дает Ео = (и+ — ) Й,, з) что, очевидно, совпадает с вырамссннсм для уровней энергии гармониче- ского осциллятора (5.23). 5.5. уровни энергии в яме Г Цо П =. — й(,г, (5.42) о Считаем здесь и > О. Такая зависимость потенциальной энергии от смешения имеет место в том случае, когда сила меняется с координатой по закону Г = — й( а; ( . Частный случай гармонического осциллятора имеет место прин = '2.
Нас будет интересовать зависимость энергии от квантового числа и. Подставляя выражение (5.42) в формулу (5.38), получим ги (Е--й ') а — ~-.Ь(„., ). (5.43) Входящий сюда интеграл преобразуется совершенно аналогично тому, как это было проделано в случае гармонического осциллятора. Введя ючасси- ческие точки поворота ('ои1 1 'о / (5 44) перепишем левую часть (5.43) в виде 1 2ът2ячЕ 1 — — йл = 2 е'2тЕл„„~~Т вЂ” ео Ия.
(5.45) е» -'1 В получившемся выражении интограл представляет собой некоторое число, которое не зависит от энергии Е. В соответствии с (5.44) ж,о Ез~о, Рассмотрим модельную задачу, в которой потенциальная энергия передается выражением 117 5, б Кеазидиенретные уровни еииргии и мы видим, что левая часть в 15.43) зависит от энергии как КЗ, где 15.46) Поэтому из условия квантования 15.43) находим 17л К вЂ”..Е„( 1-) з 15.47) где коэффициент ео есть некотоРое число, зависЯщее от массы частицы и показателя степени сс Обратим внимание на следующее. Если в выражении для потенциальной энергии 15.42) показатель степени 11 = 2, то согласно 15.4б) величина ,5 равна 1.
При этом уровни энергии оказываются эквидистантными. 'Это отвечает случаю гармонического осциллятора, рассмотренного выше. Если о > 2, то,З < 1. Нри этом, согласно 15.47), расстояние между уровнями энергии растет с ростом номера и,. Очевидно, что при о ) 2 потенциальная энергия возрастает по мере удаления от центра быстрее, чем в случае параболической ямы. Аналогичная ситуация реализуется в случае прямоугольной ямы, где скорость возрастания Г(.г) на границах ямы бесконечна. В обратном случае (а < 2) имеем 3 ) 1, так что расстояние между уровнями уменьшается с ростом номера и: уровни сгущаются.
Как мы увидим далыпе, подобная ситуация реализуется в случае кулоновского притяжения между частицами. Таким образом, квадратичная зависимость Г жг раздсзчяет случаи, в которых расстояние между уровнями энергии уменьшается и возрастает. 5.6. Кввэидиекретные уровни энергии , и- — )г> — 1?(л))Ф = О. ни и Гг 15.48) Будем отсчитывать энергию Е частицы от дна ямы. Справа от барьера считаем также Г .=- О.
Чтобы задача в сформулированном виде имела какой-то До сих пор мы считали, что частица в яме может находиться неограниченно долго. Такая ситуация имеет место всякий раз, когда эта частица не мо1кст перейти в какую-либо другую область пространства или в другис энергетические состояния. Однако иногда оказывается, что частица в яме находится лишь конечное время. Например, пусть имеется область, ограниченная слева бесконсчно высокой потенциальной стенкой, а справа —. потенциальным барьером конечной ширины (рис. 5.б). Легко понять, что в таком "мешке'* частица может находиться лишь некоторое время, которое ограничивается пропусканием барьера. Но, в свою очередь, это означает, что система оказывается нестационарной.
Остановимся на этой задаче подробнсе. 1'1опробуем найти уровни энергии частицы в "мешке", исходя из стапионарного уравнения 1Вредингера 118 Гь 5. Потенлнатьвьэе лээьэ и квавяовоэше эР = С, с™Я + Сяе 'ь', й = . 1 "' ая (5.49) Рнс. 5.Ь. Потенциальная яма, огрвннчснная слева бссконсчно высокой стенкой, а справа — потенциальным барьером конечной ширины Учтем, что левая стенка ямы непроницаема.
Это знаэит, что эР10) =- О. Поэтому получаем соотногцсние между коэффициентами Сэ и Сз. (5.50) Поскольку мы предполагаем барьер широким и рассматриваем случай Е < Цэ, можно пренебречь волной, отраженной от правой стенки барьера гот точки,г = Ь). Тогда волновую функцинт в подбарьерной области гл < < а < 6 можно записать в виде эР— Сзе '. Рэ = — 1гэо — а). (5.51) Сэпивка решений (5.49), 15.50) и (5.51) в точке л = а дает 21С~ вшйа —. Сзе "'", 2ЙС1 созйа =- —;3Сзе '". (5.52) смысл, предполагаем, что барьер является достаточно широким и высоким, для того чтобы в "мешке" могли возникать уровни энергии, а частила находилась на этих уровнях достаточно долго. Кроме того нас будут интересовать состояния частицы именно в "мешке", т.
е. состояния с энергией Е< гэо Для решения уравнения Шредингера (5.48) с потенциальной энергией вида, показанного на рис. 5.б, учтем, что имеются три характерные области, в которых потенциальная энергия постоянна. В области 0 < .т: < а, где Г = О, решение уравнения Шредингера, как мы уже знаем, имсет вид 120 Гл.
5. Потеляииз яме аяы и каанглоаслие для частоты столкновений получаем оценку 0.= кй/2таз. 15. 56) — =- — г) т)Х. ЙЪ' ш (5.57) Таким образом, число частиц в "мешке" убывает по закону Х Лое-г"", (5.58) причем характерное время убывания есть 1 зшаз зза 1о =— л тэ я лгзл 15.59) Обратим теперь внимание на парадоксальность результата.
Мы исследовали стационарное уравнение Шредингера и пришли к тому, чю вероятность нахождения <астиды в некоторой области пространства меняется со временем (убывает). Однако по смыслу в стационарном состоянии вероятности вовсе не долзкны зависеть ог времени. Это противоречие возникло, во-первых, из-за неправомерного применения стационарного уравнения 1Предингера, а во-вторых, из-за использования некоторых приближений. Оказывается, мы тем нс менее имеем право использовать уравнение (5.48), но с определенными оговорками.
Чтобы прояснить ситуацию, мы должны более точно решать задачу. Выпишем в этой связи точныс решсния уравнсния П!рсдингсра во всех трех областях: Ф =- С,е."'+ Сзе '""'., 0 < к < а. Ф = Сзе' з'+ Слез", п < л < 6, Ф =- Слезь „,г ) 6. 15.60) В последней области мы, как обычно, оставили только волну, распростра- няюшуюся в положительном направлении.
Из условия непроницаемости левой стенки л = 0 следует Сз = — С~ . Остальные условия сшивки приве- денных решений на с генках барьера л = а и к = 6 дают 21Сз вш йа .—. Сзе л" 1 Сзед 2йСз созйо = — о(Сзе л" — След ): (5.61) Се д 1Се ь=--Се' зе ле =-- зе — 31Сзе — Сле ) =1ЙС;е' '.
В результате кюкдого столкновения частица с некоторой вероятностью может покинуть "мешок". Пусть в некоторый момент в 'мешке" находи- лось К частиц. По своему смыслу величина )7 опрсделяст скорость убыва- ния числа частиц в "мешке", что позволяет записать уравнение 121 5. б Квазидискревтттьтс;ровтттт эинтгтттт дтяй йй тэ й зли е ,,3 т йа — й,,'3 — тй 15.62) где т1 .= 6 — и, — ширина барьера. Очевидно, что при тт' — эс правая часть уравнения обращается в нуль, и мы приходим к найденному ранее условию (5.53). Обозначим его решение как Е = Ео. Соответствующие значения чисел й и В обозначим через йо и,.3о. При конечных значениях ширины барьера правая часть уравнения 15.62) отлична от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
