Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ясно, что при больших значениях г) 1формально — при г1 — т ос.) разность 2эŠ— — Š— Ео будет пропорциональна с Далее обращает на себя внимание тот факт, что правая часть т5.62) явно содержит мнимую единицу. Это означает, что допустимые значения энергии, т. с. решения уравнения 15.62), суть комплсксные числа.
Вспоминая, что прозрачность барьера при т1 — ос пропорциональна с зд'", заключаем, что разность ЛЕ имеет мнимую часть 1ш т5Е )д. 15.63) Выясним смысл этой поправки. Переходя к стационарному уравнению Шредингера, мы записывали временную зависимость волновой функции в тест виде Ф ехр ( — — '). Положим й Е = Ет — —. 2 15.64) где Ет = Ео + Ке т5Е, Г = — 21ш ЬЕ. Тогда окажется. что Ф схр( — ) ехр( — — ) . 15.65) Следовательно, вероятность нахождения частицы в некоторой области пространства ~ Ф ~ ехр1 — Гт'!йт).
Теперь нетрудно понять смысл мнимой поправки к энергии: из 15.65) видно, что она определяет характерное время жизни данного состояния, причем л т — —. Г' 15.66) Величина Г называется ишртюй уровнл. ' Разумеется, имеется того жс порядка и поправка Вс гэГ. Однако эта поправка нс представляет для нас интереса, поскольку нс меняет качественно свойства спектра значений энергии. Исключив из первой пары уравнений коэффициент Ст, а из второй пары коэффициент С';„получим два различных выражения для отношения Ст,т Ся, приравнивая которые находим трансцендентное уравнение для определения возможных значений энергии: 122 Гл.
5. Поогоггчггагьлые ялы и коонгповагше Таким образом, в рассматриваемой задаче мы имеем дело с нестационарной системой, у которой каждый уровень имеет конечную ширину Г. 11ри Г « Ег уровни называют квазидлскрегггггыии, а соответствующие состояния — коггзислгаг(лонггрны.ггю В таких состояниях система живет относительно большое время (во всяком случае, много больше собственного периода? =- 2л)г,гЕ~).
Подчеркнем, что ширина Г возникает благодаря конечной проницаемости барьера Р, причем Г Р с Осталось пояснить смысл слова "ширина" в названии величины Г. Формула (5.66) непосредственно связана с соотношением неопределенностей "время — энергия' (ЬЕ гз( 2хбг), В соответствии с тем, что говорилось при обсуждении этого соотношения, величина Г = ЬЕ есть неопределенность энергии, т. е. ширина энергетического спектра системы. Теперь мы можем уточнить понятие ширины.!! оскольку система нестационарная, ее состояние есть суперпозиция состояний с разными значениями энергии. Найдем„какие иьгеино значения энергигл присутствуют в спектре.
Для этого разложим волновую функцию (5.65) в интеграл Фурье: кгх> = ) гггг «г ( — "") ггй -) ° г$-"(г — ь;: — — ')1 гг- ' . гг.ггг 0 Нормированное распределение вероятностей различных значений энергии частицы в системе ~ а(Е) ,'з при этом принимает вид а(Е) -' = —, , 'а(Е) г)Е = 1. (5.68) гя (Ь- — В,)' -. (Г1З)'-' ' В условии нормировки интегрирование цо энергии распространено от — ос до +гю, поскольку как правило рассмагриваются ситуации, когда Г « Ег, так что основной вклад в интеграл даст относительно неболыпая область в окрестности ссрелины линии Е = Ег. Распределение(5.68) определяет так называемую гго1генг(соскуго грорг(т спеклг1го (логши). Из него видно, что волновая функция (5.65) содержит непрерывный спектр значений энергии, причем кривая ~ о(Е) ~з имеет явно резонансный вид с шириной, равной Г. Именно это обстоятельство и дало величине Г название "ширина уровня", одновременно придав ей точный количественный смысл.
Нестрого сказанное можно суммировать так, что мнимость привозит к "уходу в сторону", к уширению резонанса. ГЛАВА б ВОДОРОДОПОДОБНЫЙ АТОМ Енсе, быть может, каждый атом Всеченная, где сто нвонеак Ган все, что эдесгч в обьеме сжатом, Но также то, чего здесь не~я. 1Валернй Брюсов, 1922 г.) Водородоподобный атом представляет собой систему двух частиц —— легкого отрицательно заряженного электрона с зарядом '1 — е, обращающегося вокруг тяжелого ядра с зарядом +г е.
Для водорода г =- 1. Выражение С для потенциальной энергии электрона в электростатическом поле ядра имеет вид У1г) =- — ' ' . 16.1) в где г -- радиус-вектор электрона, г =- ~г. График зависимости потенциальной энергии от г имеет вид гиперболической ямы 1рис. 6.1.) Соответственно уравнение Шредингера записывается как Рнс. 6.1. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия электрона н ядра в водородоподобном атоме от расстояния г мехсзу ними 2ХФ -Р— ' (Е б — '' ) Ф =- О. (6.2) лэ 6.1. Элементарная квантовая теория Н.
Бора ' Мы полагаем величину е положюельпой, записывая заряд электрона как -е. Исторически первой квантовой теорией атома водорода была теория, предложенная Н. Бором в 1913 г. Она была призвана объяснить структуру спектров излучения и поглощения атомов 1да и салюго существования атомов). Поскольку до настоящего времени эта теория широко используется для различных оценок, целесообразно остановиться на ней более подробно. В качестве фундаментальных принципов своей теории И, Бор выдвинул следующие два постулата.
1. Атомы могут длительное время находиться только в определенных, так называемых стицаола)эпых состояниях. Энергии стационарных состояний 1Е1 „Ез,... ) образуют дискретный спектр. Иньгми словами, электрон 124 за б. Вадородаподаблыб аман ъ1ожет находиться лишь на определенных орбитах, на которых он не излучает. 2. При переходе атома из начального состояния с энергией Е„в конечное состояние с энергией Е„, происходит аж~3 ление кванта света с энергией ń— Е„, и частотой щ„,а =. (Е„- Е,„)~)ь (6.3) Прн этом энергия атома уменьшается; Е, =- Е, — Ь >и,, Очевидно, при паьюп)енли кванта света с частотой гд энергия атома увеличивается: Е„= Е„+ )ка, (6.4) Вследствие дискретности атомных состояний атом может эффективно поглощать только такие кванты, частота которых удовлетворяет соотношению (6.3).
Это и определяет структуру спектров поглощения. Соотношение (6З ) часто называют ирака засч частот Бора. Хотя первый постулат явно противоречил классической элсктродинамике, Бор заявил: "Принимая теорию Планка, мы признаем открыто недостаточность обычной элекгродинамнки и решительно порываем с рядом положений, тесно связанных с этой теорией".
"Узаконив" посредством этих постулатов дискретный харакгер спектров излучения — поглощения атомов, Бор одновременно предложил конструктивный способ рассчитывать уровни энергии атомов н частоты спектральных линий. Для этого он предположил, что имеет место правило квантования момента импульса: Е == пй„п =-1.
2. (6. 5) Пебезынтерссно проследить, как Бор пришел к этому правилу. Исхолной идеей для него была гипотеза квантов М. Планка. Согласно Планку излучение испускаегся порциями, квантами с энергией Вы. Тогда полная энергия излучения с такой частотой равна еа =- пбш. и = 1, 2, (6.6) (значение и = О не представляет здесь интереса, поскольку отвечает полному отсутствию излучения).
Таким образом, энергия электромагнитного поля квантуется, Но согласно электродинамике поле излучения может быть представлено как совокупность осцилляторов. Поэтому квантуется энергия осциллятора. Эту идею — квантование энергии осцнллятора †. Бор перенес на электрон, введя в рассмотрение поле, в котором электрону отвечает некоторый осциллятор. Это позволило записать энергию электрона в следующем виде: (6.7) Зги 2 где (В, 1~) --. координата и импульс электрона. При заданных значениях 125 б.! Эяесненгнврнея квишновая гяеорья Н. Бора квантового числа и и частоты . уравнение (6.7) на фазовой плоскости (9. р) задает эллипс с полуосями пнее у вн ~ (6.8) Площадь этого эллипса равна Б =- -» иЬ =- 2п а!ь (6.9) С другой стороны, эту же площадь можно записать в виде Б = р ~19 = 2хпб. (6.10) Б = тнгйнв — — 2 Б = 2яиБ. (6.1 1) Здесь величина Г, = тн г есть момент импульса электрона относительно ядра. Очевидно, что полученное соотношение совпадает с гипотезой (6.5).
Развивая далее свою, как сейчас говорят, "полуквантовую" теорию, Бор рассматривал движение электрона в атоме, отталкиваясь от законов классической механики, дополненных правилом квантования (6.5). Рассмотрим электрон, движущийся по круговой орбите вокруг ядра с зарялом Яе. Приравнивая цснтробсжнунэ силу силе кулоновского притяжения, получим Д 2 з — или (тсг) =- т7е г. в (6.12) Используя условие (6.5), заменим вглражсние в круглых скобках величиной пб.
Это приводит нас к дискретному набору радиусов орбит: г„= ' —, н = 1, 2. 3. ~пез и (6.13) называемых боровскичи орбияшша. Величина !з о и = =0,520А гнея (6.! 4) Отсюда видно, что вся фазовая плоскость делится на ячейки с одинаковой площадью, так что минимальная площадь фазовой плоскости, отражающая состояние осциллятора (в нашем случае — электрона), равна 2хб =. !ь Равенство (6.10) совпадает с правилом квантования Бора (5.36 б), полученным вылив на основе приближенного решения уравнения Й!рсдингера. Пусть электрон равномерно вращается по круговой орбите радиуса г. Тогда р — — т с, й~ —.— г г)нв, где,с — - угловая координа г а.
Соотношение (6.10) при этом примет вид 126 Гл. б. Вадарадападабпыб атаи 17717 иеа ига т д Ва Е„=- 2г„ 26' 71' (6.15) Величину ан = 11,60 ЭВ (6.16) шр называют бароаскгт энергией, а иногда — энергетической постоянной Ридберга. Часто используется внесистемная единица энергии, называемая "Ридбсрг" и численно равная боровской энергии; 1Ю =- 13,60 эВ =- 2.1790 10 ' эрг. (6.17) Представляет интерес оценить величину скорости электрона, находяШспгся на и-й боровской орбите. Поскольку согласно правилу квантования (6.5) пгцпгп .= 11А, имеем 716 а / па— 1п7' 6 71 (6.18) Таким образом, наиболыпей скоростью обладают электроны, находящиеся на самых низких орбитах.
Соотношению 16.18) можно придать несколько иной вид, если ввести так называемую посгггоянпуго топкой спгрукт)угы и=— аа 1 16.19) 1к 137,036 Тогда 1'„= 77 С вЂ”. .В 16.20) Эта формула удобна для численных оценок. Например, скорость электрона в низшем состоянии атома водорода 1т. е. при Е = 1, и = 1) составляет г = ос = с/187 = 2200 км,гс.
Для электрона же на первой боровской орбите вокруг ядра урана (т. е. прн Е = 92, 71, =- 1) она равна г =- а и с = = 200 000 кы/с. Эта величина сравнима со скоростью света, так что заметную роль могут играть релятивистские эффекты. Наконец, представляет интерес оценить характерные значения напряженности алек грического поля в атомах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
