Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 27
Текст из файла (страница 27)
тг-' ' га — =О, Вг Отсюда находим оценку среднего расстояния электрона от ядра; ла г = оъаа (6.49) Это совпадает с боровским радиусом, отвечающим низшей орбите электро- на. Подстановка (6.49) в (6.48) дает оценку энергии основного состояния атома водорода: ша' Епа„=— 2аа совпадающую с боровской энергией ен. Совпадение числового коэффициента связано с выбором соотношения неопределенностей в форме (6.46), как раз отвечающей структуре волновых функций электрона в лулоновском потенциале. Исследуем теперь более тщательно пространственное распределение вероятности нахождения элекзрона в атоме.
Как было установлено выше, Ф-функция электрона в атоме водорода представляется в виде Ф„(г) =- —.е М*"С~п(г). Я~п(г) =- ~~~ Ааг', А,а.г = — "-'---А,: г цачц о Ь а у аа ап ~6.50) Рассмотрим сначала основное состояние, в котором, естественно, и =- 1. Его нормированная функция, как уже указывалось выше, есть Ф1(г) = е ь", )З = —. а (6.51) Очевидно, что 91(г) имеет максимум при г = О, т. е. в ядре атома. Это то.
что осталось ог того вывода, который сделала бы классическая механика. По классике электрон должен упасть на ядро. Л мы это классическое утверждение заменяем другим: для электрона характерно некоторое пространственное распределение волновой функции, максимум которого б.З Просжравствеввыерасиредюевия олектрови в атаке водороди 133 находится в на иле координао Но нельзя делать вывод о том, где вероятнее всего находится электрон, рассматривая координатную зависимость только лишь его волновой функции. Надо рассматривать величину Ф~(г)~ Л' верояз ность того, что электрон находится в объеме г!7 .
Вследствие сферической симметрии задачи удобно перейти к сферическим координатам. Возьмем сферический слой радиуса г и толщины с1г. Его объем равен Лв — йг г ~гй. Тогда вероятность нахождения электрона в этом слое, согласно (6.51), составляет Л(з == го~(г)(Ь. == — с зув)кгзаг воз (6.52) (индекс "1" указывает, что мы рассматриваем состояние с п =- 1), Так как экспонента убьгвает быстрее, чем любая степенная функция нарастает, плотность вероятности юз (г) =- Л)'~ (йг где-то имеет максимум по г.
Положение этого максимума определяется из условия пад )с)г = 0 и дается выражением Ьз гтх и тев (653 а) На таком расстоянии от ядра вероятность обнаружить электрон максималь- на. Эта величина есть радиус первой боровской орбиты. Если бы мы рас- сматривали водородоподобный атом с У ) 1, то получили бы лз Гтав тйсз (6.53 б) Здесь используется старая, боровская терминология. На самом деле мы далеко ушли от боровских представлений. Во-первых, электрон не всегда обращается вокруг ядра в том смысле, что не всегда имеет момент импульса относительно ядра. Но мы как раз и искали состояния, в которых электрон нс вращается, и нашли таковые.
Во-вторых, в атоме нет орбит, а сеть пространственное распределение вероятности, на первый взгляд как бы даже имеющее максимум в нуле. Тем не менее боровский радиус — это очень полезный параметр, поскольку он определяет гю порядку величины расстояние от ядра, на котором с максимальной вероятностью можно встретить электрон. На расстояниях, заметно превышающих эту величину, электрон найти практически невозможно, так как соответствующая вероятность экспонснциально падает по мере роста г (рис. 6.3, а). в Численное значение величины а = 0020 Л вЂ” О, 620.
10 "см хорошо совпадает с тем, по дают газокинетические опьпы. Заметим, что это обстоятельство '"диаметр" атома водорода равен одному ангстрему поясняет, почему "столь внесистемная" единица длины, несмотря на все декреты и стандарты, до сих пор живет в повседневном лексиконе физиков, Обратимся зеперь к возбувкденным состояниям. Для следующего за основным состояния квантовое число и =. 2, и степенной ряд (6.50) для !34 Гк б.
Водо2эооолодообвый атом Ф-функпии обрывается на втором члене: ФэЯ = )А! + Азг)еГВ". 1'6.54) В соответствии с рекуррентным соотношением в !6.50) оказывается Аз =- = -)гза!, причем /сз = 1/2п. Тогда Фзггг) = А ! (1 — — ') ехр ( — — ') . !6.55) а*, !г) тз 1г) О, О, О, О, О, О, 2 4 б 8 !О !2 !4 ! 2 3 4 Рис. б,3. Распределение вероятностей нахождения электрона в атоме водорода для случаев основного !а) и первого возбужденного !о) состояний он определяется из условия нормировки ~Чзз гЛг =- ~Фз 4кг г)г' =- 1 о и равен А ! ъ'8каа Самым интересным в формуле 16.55) является наличие нуля Ф-функции при значении г = 11')сз — 2а, т.
е. при двойном боровском радиусе. Вероятность найти электрон в интервале г1г, удаленном на расстояние г от ядра, есть г)14сз!г) = !оз!г)г)л =- о,,(1 — — ) ехр ( — — 1 4лг г)г. !6.56) График плотности вероятности из 1г) приведен на рис. 6 3, 6. Функция шз!г) имеет четыре экстремума: два минимума и двд максимума.
Один Хотя коэффициент А! и не представляет для нас интереса, отметим, что б.З. Простривсввевныерислредюевия олектрови в итоне водороди 135 минимум, как и в случае и =- 1, находится в центре атома при г — (). Второй минимум реализуется при г = 2а,, когда при удалении на двойной боровский радиус Ф-функция первого возбужденного состояния обращается в нуль. Максимальные значения плотности вероятности достигаются при г! = ~3 — ъ~б)и. 7'2 = 13+ ъ' ~)и. 16.57) Таким образом, в распределении вероятностей появился узел при г > О, т, с, точка, где электрон найти нельзя.
Частица может быть расположена в двух областях; О<г<йн и г)2а. 16.58) Как видно из рис. 6.3, б, более вероятно ее найти во второй области, т, е. на расстоянии, превышающем 2а. В этом состоит сткгистический смысл понятия более высокой 1в нашем случае — второй) боровской орбиты. Тем не менее электрон в первом возбужденном состоянии может с конечной вероятностью находиться и на более низкой орбите 10 < г < 2а). Итак, волновая функция основного состояния Ф~(г) не имеет узлов нигде в области О < г < эс.
В случае первого возбужденного состояния у функции 4 я Я появляется один узел. По мере дальнейшего роста квантового числа и волновая функция 6 в(г) каждый раз дополнительно пересекает нулевую линию. Число узлов функции и-го состояния равно и — 1: один узел при и = 2, два узла при и = 3 и т.
д. Сказанное отражает содержание осцилляционной теоремы, которая упоминалась в гл. 5. Приведем для справок нормированную волновую функцию состояния с квантовым числом и = 3; Флаг) = (1 —: — + ) ехр ( — — ) . 16.59) исследование которой подтверждает все сделанные утверждения. Очевидно, что более высоким уровням энергии соответствуют еще более сложные пространственные распределения вероятности обнаружить электрон.
То обстоятельство, что пространственная ширина максимумов распределений рис. 6.3, и и 6.3, б по порядку величиньг совпадает с тем расстоянием,на котором этот максимум наблюдается, подчеркивает всю условность понятия орбиты. Если и говорить о наглядном зрительном образе, то приходится признать, что представление об электронном облаке или о должным образом послойно стратифицированной по высоте электронной оболочке более точно передает суть дела.
Развитые нами сейчас соображения качественно могут быть применены к анализу более тяжелых атомов, если интересоваться их внутренними электронами. Хотя термины "внутренний" и "внешний" по отношению к электронам многоэлектронного атома не нужно гюнимать слишком буквально и прямо, пользоваться ими все-таки можно. Если у одного электрона функция распределения такова, какой она показана на рис. 6,3, и. а у другого как на рис. 6.3, б, то естественно считать, что первый электрон находизся 136 Гл.
б. Водородолодобяый атом обычно ближе к ядру, чем второй. Поэюму можно говорить, что первый из них по отношению ко второму является внутренним, по крайней мере качественно. Такое представление оказывается полезньгм при оценочном рассмотрении вопроса.
Остановимся кратко на случае тяжелого атома с большим числом разных электронов. Среди этих электронов есть внузренние. Волновые функции этих внутренних электронов "прижаты" к началу координат, т, е, к ядру, и максимально просты. Поле внешних электронов на внутренние действует относительно слабо. Для качественных оценок можно считать, что каждый из внутренних электронов находится только в поле ядра. Тогда для этих электронов тяжелых атомов справедливы как оценочные те же формулы, которые были получены для атома водорода, если только произвести в них замену е Уе-. з,з Существенными характеристиками электрона являются энергия его основного состояния и расстояние от ядра.
В соответствии с (6.39) и (6.41) для самого глубоко располо>конного электрона ( и = 1) за шхвз Л С возрастанием заряда ядра 1номера элемента) энергия внутреннего электрона, все сильнее и сильнее поджимаюшегося к центру, растет пропорционально квадрату заряда ядра ( 7 з). С внутренними элелтронами связаны так называемые характеристические рентгеновские лучи, энергия квантов которых возрастает при переходе от элемента к элементу пропорционально Л. Но об этом речь пойдет позднее. 6.4. Сериальные закономерности в линейчатых спектрах атомов Четкий результат теории, выраженный формулой (6.45) для уровней энергии электрона в атоме водорода, позволяет проводить количественное сравнение с экспериментом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
