Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Как мы видим, в этом состоянии частица в потенциальной яме совершает некоторое движение, которос называется нбпееыин юлебаиияин. Соответствующая энергия называется знереией пулевых калебаггнй. Только в классической механике частица может покоиться на дне ямы. В квантовой же механике это невозможно: сели бы частица могла находиться в состоянии покоя, т. е. обладала бы определенным импульсом (Р .=. О), ю она одновременно имела бы и определенную координату. Ограничив движение частицы по координате областью а, в соответствии с призщипоьг неопределенности мы получили разброс по импульсам, а разброс по импульсам дает огличную от нуля среднюю кинетическую энергию. Оценка ее значения с помощью соотношения неопределенносгей приведена в (5.15)„где нужно положить и, =- 1.
Точное значение следует из (5.8) такзке при и = 1. Гп. 5. Поппэплипьпывяпы и квап~ппвппае Этот вывод носит очень общий характер. Уже говорилось о том, что от квантовой механики мол'но перейз и к классической тогда, когда характерныс расстояния, на которых существенно меняются характеристики системы Е, много больше де бройлевской длины волны, Ь )) Л. Теперь мы имеем и второй критерии: когда квантовое число и достаточно велико, система ведет себя как классическая. Кнассический предел можно проследить и в распределении вероятностей нахождения частицы в разных точках (см, рис. 5.2).
Часпща, следующая законам классической механики, имела бы с равной вероятностью люоую координату на интервале О < х < а (см. рис. 5.1): дл п)~ клпс— а (5. 17) к, Ья дИ'п,пп == — Ф(Х~ ) ~ дж, йт = и а э г и й х-' пп'а в)цэ(" х1) г(х Дх .- " (5 18) и 1 и а Я что, естественно, совпадает с (5.17). В заключение этого параграфа подчеркнем, что выводы. которые были сделаны прн анализе модельной и, казжзось бы, очень частной задачи о квантовании энергии частицы в прямоугольной поте|щиальной яме, являются весьма общими.
Кроме того, очень часто потенциальная энергия микросистем имеет подобный ямообразный характер. 5.2. Квантование энергии гаргцоничеекого оециллятора Гармоническим осциллятором является система, описываемая в классической механике уравнением тх = -йх., (5.19) где (в случае пружинного маятника) ш — - масса, а 1 — — жесткость Как сказано выше, переход от квантовон механики к классической должен происходить при н хх Но из рис. 5.2 видно, что точки, в которых плотность вероятности ш(х) максимальна, сгущаются с россом квантового числа и. Это н озна шец что при болыпих значениях пп ограничивая точность измерения координаты малой величиной Ьх =- а/и « п„мы найдем частицу в любой точке отрезка.
Сделанная оговорка формально означает, что мы должны произвести усреднение распределения вероятности по отрезку длиной Ьх: 5.2 Кеоптоеонне энергои горгноннческого оеяи~ллтора 111 12 = Пс + -1цт (5.20) о Поэтому в квантовой области задача о гармоническом осцилляторе это задача о поведении частицы в потенциальной яме параболической формы (рис. 5.5). Как известно, частота колебаний маятника ш — г)с)пь Используя эту величину, перепишем выражение (5.20) в более общей форме, не конкретизирующей устройство системы: П = паост'-, 1 (5.21) .'0 Рис.
5.4, Пружинный маятник Рнс, 5.5. Параболическая по- тенциальная яма В классической физике многие задачи из разных ес разделов сводятся к залачс о гармоническом осцилляторе. В квантовой области задача об осцилляторе также очень важна и прежде всего потому, что такая зависимость возвращающей силы (Г = — йл) и потенциальной энергии 15.20) обычно имеет место при малых отклонениях от положения равновесия. Устойчивое равновесие отвечает минимуму потенциальной энергии, а около гладкого минимума любая кривая может быть аппроксимирована параболой.
Решение задачи оо осцилляторс применимо, например, при анализе малых колебаний атомов в двухатомной молекуле. Действуя стандартно, выпишем уравнение Шредингера для рассматриваемого случая: (5.22) Мы должны найти ограниченное и гладкое решение этого уравнения. Математические выкладки при решснии этого уравнения несколько громоздки, и мы не будем их здесь приводить. Оказывается, решение с требуемыми свойствами существует, но не при всех значениях энергии, а только при тех, которые удовлетворяют соотношению Е„= (и + — ) А:, и =- О, 1, 2,. 1т 2 (5.25) (упругость) пружины (рис.
5.4). Потенциальная энергия деформированной пружины равна 112 Гх 5. Потелщикп аые авы и каавтоаааие Это выражение будет получено ниже с помощью классического приближения, Рассмотрим внимательно это выражение. Мы видим, что, во-псрвых, энергия квантуется и что, во-вторых, она линейно растет по мере увеличения квантового числа и.
Поэтому расстояния между уровнями энергии одинаковы: уровни эквидистантны. Кроме того, при и = О в параболической потенциальной яме, как и в прямоугольной, существуют нулсвые колеоания с энергисй Е= 6;/2~0. (5.24) С тем весьма ввкным обстоятельством, что в параболической потенциальной яме уровни энергии эквиднстантны, часто приходится иметь дело в разных разделах физики, в частности молекулярной спектроскопии и физике полупроводников, При воздействии на осциллятор периодической силы в нем возникают вынужденные колебания. Хорошо известно, что зависимость амплитуды этих колеоаний от частоты силы имеет резко выраженный резонансный характер, когда частота вынуждающей силы близка к собственной частоте осциллятора.
Прн этом для случая нулевого затухания, которое мы предпола аем, резонанс является бесконечно острым. Так обстоят дела в ючассике. А как в квантовой физике'? Что значит раскачагь систему с точки зрения квантовой механикиу Это значит перебросить ес с более низкого уровня энергии на более высокий.
Промежуточных значений энергии в квантовой системе быть не может. А скачок энергии между соседними уровнями равен ЛЕ = — Е„1 — Е„=- Ьщ. (5.25) Слеповательно, частота кванта, „„которым гаы воздействуем на систему с тем, чтобы перевести ее с нижнего уровня на верхний, ~„„, —. ЬЕ/6 .—. ш, (5.26) 5.3. Нулевые колебания и соотношение неопределенностей Энергию нулевых колебаний осциллятора нетрудно оценить с помощью соотношения неопределенностей. Для этого запишем выракение для полной энергии частицы; з л л = — + зт з 15.27) равна собственной частоте осцишштора ш. Таким образом, квантовый гармонический осциллятор реагирует только на кванты резонансной частоты. Это прекрасное согласие выводов из классического и квантового рассмсчрений лишний раз свидетельствует в пользу боровского принципа соответствия.
113 5.4. Права ~о квантования Бора — Зозаавр1реньда Лл Ьр > 6~2. (5.28) 2хр ) 6/2Ь.г. Подстановка это1 о выражения Отсюда следует: в (5.27) даст 12 (5.29) Вп~(Ьа)а 2 Мы получили оценку полной энергии в зависимости от неопределенности координаты. Правая часть этого выражения имеет минимум, который можно найти по обычным правилам. Найдем положение минимума (Ьл)а, нз условия равенства нулю произволной: лр(да') ь 2 = О, или — 4- пва .Лт = О.
(5.30) 4(дг) ' вт(си)в Отсюда следует, что 2 вам (5.31) Кроме того, согласно (5.28) отсюда следует выражение для неопределенности импульса; 1ЬР =- Подставляя найденное значение Ьг в (5.29), найдем (5.32) 1 Ешга -— — -рва. 2 (5.33) что совпадает с энергией нулевых колебаний, получающейся из ючной формулы (5 23) при и = О. Правильное значение числового множителя (1!2) не случайно и связано с использованием соотношения неопределенностей в специальной форме Всйля. Оказывается, именно в случае гармонического осциллятора и реализуется эта форма.
Заметим, что формула (5.31) дает оценку среднеквадратичного значения координаты частицы в основном состоянии, т. е. дает характерный размер области, занимаемой осцил~пггором. 5.4. Правило квантования Бора — Зоммерфельда Как правило точно рсшить задачу о нахождении уровней энергии частицы в яме произвольной формы невозможно, имеются лишь отдельные точно решаемые случаи. Однако в квазиклассическом пределе можно существенно упростить задачу, сведя ес к некоторому определенному алгоритму.
Учтем, что в симметричной яме средние значения координаты и импульса равны нулю: (и) = О, (р) =- О. Поэтому Ьр =' р — (р) =- р, ат.|. '= л— — (,г) = .г. Неопределенности координаты и импульса Ь,г и Ьр связаны соотношением Гейзенберга, которое мы запишем сейчас в форме Вейля: 114 Гп 5. Поеле>ляаа>ылые хны и кеааелоеание Рассмотрим случай одномерной потенциальной ямы Г(,г), удовлетворяющей условию квазиклассичности (4.62); — «1, Л =- ' еа ' '2 'Š— и(х)) е Ф(г) — —.
С> схр — р(к) л)т, + Ся схр — — р(,г) л(г . (5.34) Я) ь) 0 0 Па границах области нужно положить Ф(0) = О. Ф(а) = О. (5.35) Первое из этих условий дает Ся =- — Сл, а второе, по аналогии со случаем прямоугольной ямы, приводит к условию е р(.») лел> = я йи, и =-. 1, 2, с (5.36 а) 'Это условие часто записывают в ином виде. Учитывая, что один полный цикл дви>ксния частицы в яме включает две части: "вперед" и "назад", левую часть равенства (5.36 а) заглисываюг как интеграл по замкнутому циклу (Π— о — О) — полному псриоду классического движения частицы: р(ж) дк =- 2кйп = Ьп. и = 1, '2, (5.36 б) Здесь учтено, что обе части цикла вносят одинаковый вклад в интеграл: р(,г) е(к =- 2 р(к) йк.
Уравнение (5.366) называют услоьаеи кеантоеа- 0 или Бора. Более сложным является случай, когда границы классически разрелценной области (а < ж < 6) зависят от энергии частицы. Например, в случае гармонического осли>пятера с потенцллальной энергией (5.21) юлассичсские точки поворота опрелсля>отея из уравнения П(л) =- Е и имеют коор- динаты а= . 6=— (5.37) При этом квантовомсханическая частица может заходит.ь в 'запрсшснные" области, где ее волновая функция экспонснпиально убывает.
Для подобных Пусть частица может находиться в области 0 <,г < а при всех разре- шенных значениях энергии. Иными словами, доступная частице область движения ограничена слева и справа бесконечно высокими стенками. Для этого случая волновая функция дается формулой (4.55): 115 5 4. Прокола коонкчонання Бора — Зовнорг(гегьдо задач следует произвести сшивку квазиклассических волновых функций по разные стороны от классических точек поворота. Мы не будем проводить здесь эту процедуру, ограничившись только тем, что приведем конечный результат. Вместо (5.36 б) теперь должно выполняться равенство р(к) с(г: =- 2ггй (и 4 — ), и = О, 1. 2.. -) 1т 2 (538) и, = .= ~ )г~!х. (5.39) В качестве примера применения правила квантования Бора — Зоммерфельда (5.38) найдем уровни энергии частицы, находящейся в параболической потенциальной яме вида (5.21) (см, рис, 5.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
