Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Поглелвла алые барьеры В этом приближении из (4.52) следует У~ = рз(х), или эо(х) = — р(х) ааь (4.54) Этому соответствует приближенное выражение для волновой функции: Ф(х) = Сз ехр — ' р(х) й'~ + Сз ехр ~ — — р(х) ~1х . (4.55) ,Ь, (,( Фо + 5з)" =- —. [Фо+ ~~)' — р'(х)] или л оо — —.оо6~. (4.56) йт Здесь учтено, что )Я~з << Я, ~Я( ~ << и9с~, а также использовано равенство о'а .— — рз(х) для действия в низшем приближении.
Решение уравнения (4.56) имеет вид Я~ = — 1и Я~ —— И1 тур(х). 2 Отсюда получается уточненное выражение для действия; (4.57) 9(х) =: — р(х) '(х'+ 1п 1п Ир(х) (4.58) Приближенное же решение уравнения Шредингера принимает вид Ф(х) =- ' схр (г — ' ~р(х) г)х ~ + '~ ехр ( — — ' ~р(х) дх . (4.59) — (д~ 1 ух, (,~ Остановимся на условиях применимости решений (4.55) и (4.59). Мы считали Ь си « Я".
Используя здесь для оценки низшее приближение У(х) = р(х), получаем А р (х) « рз(;г). (4.60) Введем часто используемую величину Л(х) = г(х) (4.6 1) Здесь учтены оба линейно независимых решения, отвечающих знакам "+' и — в (4.54). Числа Сз и Ся --- произвольные константы, в общем случае комплексныс. Данного приближения обычно достаточно для решения большинства задач. Покажем, однако, как получается следующее приближение. Для мого запишем о = Яс + Яы ~Я~~ << ~Яс~.
Подставляя это выражение в (4.52), получим уравнение для поправки Я~ . 4.4. Квазикзассическое нраоляжвяиа пропорциональную длине волны де Бройля. Тогда неравенство (4.60) может быль переписано в следующей форме: ,г'» . ЛЛ«,«, рз(я) лк (4.62) Это неравенство означает, что длина волны де Ьройля должна меняться в пространстве достаточно медленно. Может быть, более наглядным это условие окажется, если ввести изменение импульса частицы на расстоянии порядка длины волны де Ьройля; сьр 2к Лр'(ж).
Тогда неравенство (4 62) примет вид (4.63) ря(к) Гя 2к Л Зк Г Отсюда видно, что квазиклассическое приближение справедливо тогда, когда изменение импульса на расстояниях порядка длины волны де Бройля мало по сравнению с величиной самого импульса. Строго говоря, приближение (4.59) очевидным образом неприменимо в малой окрестности особых точек, в которых р(к) =- О, поскольку здесь нарушается кригерий (4.62). Однако точная волновая функция непрерывна и диффсренцируема всегда, когда потенциальная энергия нс имеет какихто бесконечных скачков.
Поэтому мы можем исключить из рассмотрения малые окрестности особых точек, имея в виду, по основная координатная зависимость будет передаваться только экспоненциальными множителями. Обратим внимание на структуру приближенного выражения (4.58). Чисто формально его можно рассматривать как первые члены разложения действия В(к) по степеням постоянной Планка б. Это отвечает тому факту, что постоянная Планка огра>каст наличие квантовомсханических закономерностей и в уравнения классической физики не входит.
Решение (4.55) справедливо для классически разрешенной области, когда рз(ж) > О. Пусть теперь рз(ж) ( О. Обозначим дз(ж) .=- — рз(к) = йгл(Г(к) — Ц. (4.64) Получить решение уравнения Шредингера для этого случая можно, почти дословно повторив вывод форл1улы (4.55). Очевидно, что все сведется к замене в (4.55) функции р(ж) на функцию (9(л:), что приводит к следующему выражению для квазиклассической волновой функции в подбарьерной области; 'чч(к) = В1 охр ( — ~ 9(к) г)х( Вз ехр (х — — ~ 9(к) Из:, (4.65) (а~,) (, г~ где В1 и В -- некоторые константы.
Заметнм, что в уточненном решении эти величины константами уже не являются, но они меняются много медленнее, чем экспоненцишльные множители. Классическая частица может двигаться только в области, где рз(ж) > > О. Точки, в которых импульс обращается в нуль, рз(к) = О, называются Пя 4.
Потеггцгггггыгые барьеры кяасгическигиг точкаигг поворогца, поскольку класси ческая час тица, достигая этих точек, меняет направление движения на противоположное. Иными словами, эти точки отделяют классически разрешенную область от классически запрещенной. Используя приближение (4.65), нетрудно получить выражение для коэффициента прохождения через барьер произвольной формы (рис. 4.3), лишь бы только выполнялось условие квазиклассичности (4.62). Пусть классически запрещенная область движения заключена между классическими точками поворота х —. а, и х —. Ь. Эти точки определянзтся из уравнения р(х) —. О или (.г(лг) .= Е.
(4.66) Рис. 4.3. Потенциальный барьер произвольной формы. Энергия частицы Е меньше максимальной высоты барьера, а и б классические точки поворота. Штриховая стрелка указывает направление лвиашния частиц Считая барьер широким, мы можем пренебречь волной, отраькснной от правого края (т. е. от точки х = (г). Тогда, согласно (4.65), волновую функцию в подбарьерной (классически запрещенной) области можно записать в виде Ф(л) Ф(О) ех)э — — г)(х) грх Гг ) а (4.67) Вне барьера амплитуда волновой функции меняется относительно слабо (поскольку отсутствует ее экспоненциально быстрое убывание).
Соответственно ъгы приходим к следующему выражению для пропускания барьера: 'г ь В-', ~/ = г — Эцггг г егг ) . я.бгг а Часто вывод этой формулы иллюстрируют следующим образом. Разобьем весь барьер на последовательность прямоугольных барьеров, как показано на рис. 4.3. Тогда число частиц, падающих на г',-й барьер, равно 4..1т Скппирупирй тзппюьпый.иикроскпп числу частиц, прогпедших через (~, ') )-й барьер. Соответственно коэффициент прохождения через весь барьер а < я < б будет равен произведению коэффициентов прохождения через элементарные барьеры: В В10з...
Оп. Если элементарные барьеры выбрагь достаточно широкими, то для нахождения их пропускания можно использовать формулу (4.35). В результате получим: я »-П ., (-,' кьтгэ'>:~")- = )эоехр — — 2т((.г(х,) -- Е) Ик а Это совпадает с формулой (4.68), полученной выше более формальным способом. 4.5. Сканирующий туннсльный микроскоп В качестве одного из приложений изложенной теории рассмотрим принцип работы туннельного микроскопа, позволяющего с высокой точностью измерять расстояния.
Как известно, чтобы удалить электрон из металла, нужно затратить определенную энергию, называемую работой выхода. Пусть имеется металлический (проводящий) образец с относительно ровной поверхностью. Ооозначим работу выхода из него Лз. Для точного определения формы поверхности поместим вблизи поверхности (на расстоянии 4 от нее) металлическую иглу (рис. 4.4, а).
Обозначим работу выхода электрона из ищы Л ь В образце и игле электроны заполняют все низколсжащие состояния вплоть до энергии, называемой уровнем Ферми. Расстояние от уровня Ферми до верхнего края ямы и представляет собой работу выхода. На рис. 4.4, б показаны потенциальные ямы, создаваемые для электрона образцом и иглой. Всюду вне образца и иглы электроны могут двигаться свободно. Это означаеь что их энергия должна быть выше края ям для иглы и образца, причем края обеих ям лежат на одном уровне. Переход электрона из образца в иглу возможен только благодаря туннельному эффекту, Для увеличения туннельного тока на иглу подают положительный потенциал К относительно образца (рис. 4.4,п), При этом уровни электронов в игле понижаются на е)т (е < 0), а работа выхода А1 не меняется, поскольку она определяется только связью электрона с ядрами и другими электронами.
Рассмотрим качественно работу микроскопа. Для упрощения будем считать задачу стационарной и одномерной, Выберем ось к в направлении от Гл 4. Погленилцгьные барьеры образца к игле (рис. 4.4). Туннельный переход электронов из образца в иглу возможен (т. е. происходит в свободные состояния), если их энергия на уровне Ферми т) в образце превышает энергию уровня Ферми в игле.
В частности, если Аг > Лз, то туннелирование возможно без приложения дополнительных внешних полей. уровни свободного движения электрона А, образец игла ер игла Рис. 4 4. п.-. качественная схема туннельного микроскопа; б -"- проводящий образец и игла как потенциальные ямы для электрона; а--то эке после приложения к игле положительного потенциала. Штриховая стрелка, идущая от кружка, иллюстрирует туннелированнс электрона из образца в иглу.
Уровень Ферми образца выбран за начюю отсчета энергии электрона (Е = О) Будем отсчитывать энергию от уровня Ферми образца. Тогда полная энергия электрона Е = О. Пусть между образцом и иглой действует однородное электрическое поле с напряженностью Е, направленной от иглы к ~ В теории металлов устанавливается, что в основном состоянии электроны занимаютт все энергетические уровни в диапазоне энергий О < Е < Ег,, где величина Ек носит название уровня Ферми. При добавлении сщс одного электрона он попадает только в состояния с Е > Гк 45. Сканирующий тунпшнный.никроскоп образцу. Тогда потенциал иглы относительно образца равен 1» = "Егй При этом потенциальная энергия электрона в образце равна П(л)~, о — — О, а в промежутке от образца до входа в иглу 0 < я < д П(л) = А - еЕл.
(4.69) Туннелироваиие электронов приводит к появлению электрического тока у(г(), по величине которого можно судить о расстоянии ~1 между иглой и образцом. Величина тока пропорциональна пропусканию барьера: 17 = 7)о ехр — — 2гп (Аз — еЕз:1 пл о и. н ( — ~г"ш!сп -рл,-.18п/) . ~~то) В частном случае, когда ,'сЦ « Аз, эта формула упрощается; ,'8тЛя ~ (4.71) Пусть расстояние между иглой и поверхностью уменыпилось на )ь Тогда возрос туннельный ток, причем ~~~А Ь = схр у(4) — - ~, л (4.72) Пусть, например, А1 = 4,5 эВ, Аз =- 4 эВ 1" = 0.,5 эВ.
Если в процессе а сканирования иглы ес расстояние до образца меняется на 5 =- 1 А, то по формуле (4.72) найдем, что туннсльный ток изменяется примерно в 8 раз. Сказанное демонстрирует огромную разрешающую способность туннельного микроскопа. На практике туннсльный микроскоп работает следующим образом. Игла о устанавливается на расстоянии я (3 —: 10) А от поверхности образца, так что туннелирование электронов уже вполне возможно. Соответствующие значения туннельного тока составляют У (1 кэ10) нЛ при разности потенциалов между иглой и образцом от нескольких милливолы до нескольких вольт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
