Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 15
Текст из файла (страница 15)
дв' сдв дв, елд Однако даже в нерелятивистской ситуации использование оператора Е может оказаться полезным, позволяя установить некоторые закономерноспь По ходу дальнейшего изложения нам понадобится оператор момента количества движения гмомента импульса или углового момента) 1 . Отталкиваемся, как и выше, от классического выражения для момента Е = г х р как векторного произведения.
Ы Компоненты этого вектора равны Ь =- РР, — зРю Лч — — зд, — к)з,, Х, =- кйв — РР,. 13.50) В соответствии со вторым постулатом, рассматривая это равенство как операторное, получаем 1 =-гхр= — й1гх'м'). 13.51) Компоненты этого символического 1операториого) вектора равны .
/ Э д1 Ел= — Й р— д дк) .)( д д) 13.52) Л, ---. — з)з ~з: — — у— l д В'1 [ др ' дз) При решении ряда задач бывает полезно перейти от декартовых координат 1х., р, л) к сферическим )г, „", д), где г — радиус-вектор, В— широтный угол 1угол места), а ~ — долготный угол 1азимут) — см. рис. 3.1: х -- гншдсов~, д ==- гншдаш х в = з сов0.
13.53) ЗВ зтом параграфе мы обозначаем векторное пронзвеленне символом "х'. Смысл введенного оператора энергии проявляется особенно ярко тогда, когда мы перейдем в релятивистскую область, в которой энергия и импульс рассматриваются единообразно как компоненты 4-мерного вектора 3.5. Собственные зноненая гг собственные функгггггг Во многих задачах выделенным направлением считают ось а. Соответственно важную роль приобретает я-компонента момента импульса Ес. Перепишем оператор, отвечающий этой компоненте углового момента, в сферических координатах, для чего произведем замену переменных в операторе Ас по формулам 13.53). Здесь, однако, удобнее провести вычисления в обратном направлении: д дг:д брд дед ди дкдг: дидл дкд д д 1 = — р — +.г — = — — Ес.
дк дк Шг Таким образом, получаем Рис. 3.1. Декартовы и сферигс3 54) ческие координаты Хс = — гб — ' дм Приведем еше без вывода оператор квадрата момента импульса: г'2+с'2+ гз дзс1 ° и" (3.55) 1 д Г. с11 1 21е Логи = — ~И)ггд — ) + Мп В дВ дВ Мпг В дмг гии згп 2гпг г 13.56) Перейдем здесь к операторам: 2гп 2пг '2тгв 13.57) В этом выражении мы разбили лапласиан на радиальную и угловую части: л — — — ( — )+ — ~ — (' 9 — )+ —,~. Эг.ггг Вернемся теперь снова к сушеству вопроса.
В квантовой механике физические величины связываются друг с другом операторными равенствами, Здесь уместно провести параллель с выражением для кинетической энерггги, которое может быть разбито на два слагаемых: одно огвечает радиальному движению частицы, а второе вращению вокруг центра с заданным значением момента импульса Е: 70 Гл. 3 Волновал функция, операторы, уравнеииеШреоинеера а не числовыми. Возьмем для примера гамильтониан Н = Т + Н(г), Т ==- рз,~2гп. Мы не можем, однако, записать числовое равенство для полной энергии, подобное тому, которое имеет место в классической механике: Е .— Н(р.
г), хотя бы потому что в квантовой механике невозмоясно одновременно точно измерить координату и импульс, определяющие величину этой энергии. 11о если мы вычислим среднее (Е) =-. ф ЕЧЛ'. (Н)=- ф Н~ал= ф "фй1+1Р.1:.(г)~7э =(")+(17). дни ~ ат ! то увидим, что из равенства операторов следует равенство средних численных значений: ~Е) =(Н) =-(Р )+1Н). Для классических объектов, когда неопределенности координат и импульсов несупгественны, пренебрежимо малы, распределения вероятностей очень узки, разброс значений пренебрежимо мал, мы можем средний квадрат заменить квадратом среднего, а среднее — — самим значением. Тогда ( — ") — — ". 1Н) —..— Н .. (Е); — Е.
3.6. Еше о соотношении неопределенностей Как уже неоднократно говорилось, некоторые физические величины не могут одновременно иметь определенныс значения. Например, границы точное ги одновременного измерения координаты и импульса определяются соотношением неопределенностей ахж ахрн, 1ь С другой стороны, кинетическая энергия и импульс частицы могут одновременно принимать определенные значения. Возникает вопрос: есть ли способ заранее, без сложных вычислений.
установить, могут ли какие-либо две физические величины иметь одновременно определенные значения или для них существуют некоторые соотношения неопределенностей? Чтобы ответить на этот вопрос, нам понадобится объект, называемый коммутатором операторов. Пусть имеются два оператора А и В. Тогда их коммутатором называется оператор и= л,в1 =лв — вл. (3.59) Операторы, коммутатор которых равен нулю, называются коммутирунь шими друг с другом. Заметим, что коммутатор К = ~А, В) двух эрмитовых операторов А и В является антиэрмитовым, т, с, Тг и —. — Ь; !Л.В =- (А — ЬА)" = В" А" — А"Ви =- Вл — АВ = — !А, В) 71 З.б. Еще о соотношение неонртзененностса (учтено, что Л+ = Л, Вь — В).
Однако оператор С = ~,'~А, В] уже является эрмитовым (Сн = Г), поскольку операция эрмитова сопряжения включает в себя и комплексное сопряжение: и~((~Л, В)из))г'.= ( — (~А.В) иг)*нас(К = — (~„"Л. В)и!)*изс))г. одновременно иметь определенные значения, то коммутатор их операторов равен нулю. Доказательство этой теоремы достаточно простое. В самом деле, пусть величины Л и В одновременно измеримы.
Рассмотрим какое-либо состояние, в котором эти величины нмекзт определенные значения. Пусть этому состоянию отвечает волновая функция Ф. Как бьшо показано выше, для этой функции и операторов Л и В справедливы соотношения Тогда коммутатор определится из следующих равенств: ~Л, В)Ф = Л(ВФ) - В(ЛФ) = А(ВФ) - В(ЛФ) =- = ВЛФ вЂ” АВФ = (ВЛ - ЛВ)Ф =- О.
откуда и следует, что 1Л. В) == О. Если коммутатор отличен от нуля, то такие величины не могут иметь одноврегиенно определенные значения. В задаче 12 в разделе 'Семинар" показано, как установить вид соотношений неопределенно с1 ей, если известен коммутатор операторов. Найдем коммутаторы некоторых операторов. Предварительно заметим, что любой оператор Л коммутирует сам с собой, а такхге с оператором Л", равнгам и;й степени самого оператора А. Получим коммутатор операторов координаты и импульса; 1ж, Р„]Ф = ж(РнФ) — Рн(кФ) = з ( — 171 ' Ф1 — ( — нй ) (аФ) = ИФ. д. ~ ~ онГ Следовательно, ,', г. р. ) =- тй.
(3.60) Мы уже знаем, координата и импульс одновременно не измеримы, что и проявляется в сушествовании их ненулевого коммутатора. Коммужпор операторов импульса и кинетической энергии равен нулю: т,р)Ф= ' (рФ) — р)'' Ф).=0, ат ~ ан~ поскольку оператор импульса есть (с точностью до постоянного коэффициента) просто оператор дифференцирования, оператор кинетической 72 Гь 3 Волновая функция, операгпоры, ураяконцеШредцтера энергии пропорционален квадрату оператора импульса, а результат дифференцирования не зависит от порядка, в котором производится дифференцирование по различным переменным. Нулевой коммутатор означает, что импульс и энергия могут быть иметь одновременно определенные значения, что, впрочем, было очевидно заранее из формул, связывающих эти величины.
Приведем без вывода коммутаторы для вектора момента импульса: ~Ан. Т,„,) = ~~л., ~Ац. А.) = ~ВТ„. ~Ая, Т.„) =:ВТ,о. Кроме того, все компоненты момента кохьмутируюг с оператором квадрата полного момента: ~Т,з,Ак) — ~Т,з, А,~ = )Т,з, А,1 = О. (3.62) Равенства (3.61) и (3.62) означают, что определенные значения одновременно могут иметь полный момент и олна и проекций; две же другие проекции осгаются при этом неопределенными. 3.7. Уравнение Шредингера Перейдем теперь к построению уравнения для Ф-функции. Мы будем исходить из уравнения (3.39), являющеюся, так сказать, "рецептурно' значимой сердцевиной всей системы постулатов. Важность этого уравнения подчеркивается еше и тем обстоятельством, что оно позволяет найти Ф-функцию при определенном значении физической величины. В реальной практике такой определенной, постоянной физической величиной часто является полная энергия системы.
Как известно, замкнутая, ни с чем ие взаимодействующая система сохраняет свою энергию. Класс систем с постоянной энергией очень важен, и их Ф-функции можно найти с помошью уравнения (3.39), переписав его соответствующим образом: НФ = ЕФ. (3.63) Уравнение (3.63), которое мы получили из более обшего уравнения (3.39) заменой оператора произвольной функции ~ гамильтониаиом Н, называется ураопенцец Шредцнеери.
Оно играет в квантовой механике ту же роль, что и уравнение Ньютона в классической механике. Найденная при решении этого уравнения Ф-функция даст ответ на вопрос о возможных состояниях системы с заданным значением полной энергии Е'. Уравнение (3.63) имеет простую аналогию в классической механике.
Пусть (р, 9) --- совокупность обобщенных координат и импульсов, описывающих состояние системы. Тогда если потенциальная энергия не зависит от времени, го на траектории системы )г)(1), р(1)) функция Гаиилшона должна принимать постоянное значение, равное энергии этой системы: Н(р. 9) =- Е. 73 3. 7. уравнение Шрединеера что представляет собой классический аналог уравнения (3.63). В явном виде уравнение Шредингера записывается как ( — + «г(г)) Е = ЕгР, (3.64) или, что»квивалентно, сто+ — (Š— Н(г))гР = О.
«Р «3.65) д2 де де где à — полная энергия, а Л = — + — 4 — . запласиан. дкэ дие дхз В отличие от уравнения Ньютона, уравнение Шредингера является не просто дифференциальным уравнением, а уравнением в частных производных. Такие уравнения, к сожалению, в большинстве случаев не решаются аналитически. Здесь необходимо подчеркнуть, что уравнение Шредингера (3.65) решает так называемую стационарную проблему, когда силовое поле от времени не зависит. Поэтому его часто назыаакгг уравнением Шрси)ингера для стаю«чопорных состояний нлн стонионарны и уравненная Шредилгера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
