Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Чтобы сформулировать более общее уравнение, описывающее также нестационарные состояния, воспользуемся алгеброй операторов. д Как мы уэке знаем, оператор энергии частицы имеет вид Е = ~«г —. о« Выше мы фактически заменяли Е Е, имея в виду, что рассматривается состояние, в котором энергия имеет определенное значение. Теперь же мы должны явно использовать оператор Е, если допускается, что энергия частицы может принимать не одно, а много различных значений. В классической механике мы имели равенство: Н(р. ~й «) = Е.
В кванювой механике это соотношение следует рассматривать как операторное равенство Е =- Н, что приводит к уравнению (3.66) изи, подробнее, к уравнению «) — — =- (р + Г(г. «)) Ф. д«2~о (3.67) Это уравнение называется уравнениеч Шредингера аля неси~он«чопорных состояний (или, кратко, пестадионарльгч уравнением Шредингера), Отметим одно принципиально важное обстоятельство, касающееся сформулированного уравнения.
Это дифференциальное уравнение, содержащее производную по времени первого порядка. В соответствии с георией дифферснпиальных уравнений для нахождения его решения дзя всех моментов «) О необходимо иметь единственное начальное условие: Ф(г, «) ~ = гРо (г). Тем самым данное уравнение удовлетворяет упохшнутому вьпце 74 Гк 3 Вояноеая функция, операгпоры, уравнение П!рединеера й ' = НФ(г. !). дс !3.68) где оператор Н не зависит явно от времени и действуег только на функ- пии от координат.
Это позволяет провести разделение переменных г и Е Представив Ф!г, !) в виде Ф(г, !) =- й!)ф(г), (3.69) и подставив это в (3.68), получаем !йф(г) ПП =. ЮНФ(г). !3.70) Разделив почленно это уравнение на Ф(г, !) из !3.69), получим !б П)= Н (). П!) щ ф!г) В этом равенстве левая и правая части зависят от разных независимых переменных --- времени и координат.
Поэтому для того, чтобы равенство требованию: состояние системы в произвольный момент ! ) 0 !т. е. водновая функция Ф (г, г)) полностью определяется ее состоянием в на )альиый момент !т. с. волновой функцией Ф(г, О)). Во многих руководствах и курсах ощущается стремление "вывести" это уравнение, Па самом деле оно ниоткуда не выводится, как не выводится и уравнение Ньютона. По сути своей, уравнение 1Прсдингсра является эмпирическим обобщением большого масштаба и, как таковое, оно долкно полностью охватывать все известные нам данные о физических процессах в микромире.
И ссди оно правильно, то доджио верно предсказывать новые явления. Это уравнение (его иногда еще называют волновым уравнением) было найдено Шредингером в ! 926 г, Оно полностью подтверждается всем огромным материалом атомной физики, физики микромира.
В разделе "Дополнение" дан вывод уравнения, принадлежащий самому Шредингеру и основанный на аналогии уравнений механики и оптики. Обратимся теперь к записи уравнения Шредингера в виде !3.66). Здесь надо подчеркнуть очень важное обстоятельство наличие мнимой единицы перед производной волновой функции по времени ВФ/сМ. В классической физике уравнения первого порядка по времени не имеют периодических, колебательных решений.
Они всегда описывак1т какие-то необратимые процессы релаксационного типа. Уравнение П!Редингера, благодаря мнимости коэффициента при производной по времени, может давать периодические решения, даже будучи уравнением первого порядка. По волновая функция при этом оказывается, вообще говоря, комплексной ведичиной. Этот факт мы уже обсуждаяи выше, изучая свойства волновой функции. Если внешнее поле Г ие зависит от времени, т.
с. в стационарных условиях, уравнение Шредингера (3.66) принимает вид 3. 7. Уравнение «2««>едаагера >й — ' =-Е, 1 4«Ш ,««>) щ (3.71) получаем постулированное выше уравнение Шредингера для стационарного случая (см. (З.бЗ)): )ТФ = ЕФ. (3.72) Решение уравнения (3. 71) хорошо известно: «(«) =. сопя«. е (3.73) Тогда Ф(г. «) = Ф(г)е"' ' '". (3.74) где Ф(г) есть решение стационарного уравнения (3.72). Следует подчеркнуть тот важный вывод, что Ф-функция стационарного состояния, т. е. состояния с опредеденным значением энергии Е, гар>аонически зависит от времени, осциллируя с частотой : .— Е««>. (3.75) Иными словами, здесь выполняется известное соотношение Е = йщ, что, конечно, не случайно.
Наконец, обратим внимание на следующее. Уравнение (3.72) для функ- цииФ(г) есгьуравнениесдейсгвитепьнымикоэффициентами. Онообычно "снабжается" граничными условиями, также не содержащими комплексных величин. Поэтому, если мы имеем дело с финнтным движением, т. е. движением в ограниченной области пространства, то функцию Ф(г) всегда можно счита>ь действительной. Это общее утверждение, которое можно сформулировать так: волновые функции стационарных состояний финит- ното движения можно выбрать в действительной форме.
Подчеркнем, однако, что это относится только к координатной части Ф(г) водной волновой функции Ф(г, «) в (3.74). Если же движение инфинитно, то в общем случае функцию Ф(г) нельзя считать действительной; пример тому — плоская волна де Бройля. Пусть потенциальные поля отсутствуют, а частица имеет энергию Е. Для этого случая мь> ма>кем воспользоваться представзением волновой функции в виде (3.74), в коюром функция Ф(г) удовлетворяет стационарному уравнению Шродингера ЛФ ' Ф=О.
6> (3.7б) Полагая, что импульс частицы имеет определенное значение, запишем Ф(г) = Фое" « '. (3.77) выполнялось тождественно, необходимо, чтобы левая и правая части были постоянными. Обозначая 7б Ея. 3. Вояноеая функция, онерао>орь>, ур»енеяаеШре>>ангара Такая функция удовлетворяет уравнению (3.7б). Подстановка (3.77) в (3.7б) дает связь энергии и импульса: Е =- —, или р =- ъ>2гпЕ. 2 (3.78) 11икаких других ограничений на допустимые значения вектора импульса р нет.
Соответственно в пространстве, свободном от полей, стационарное решение уравнения Шредингера можно представить как суперпозицию состояний с определенными значениями импульсов, отличающихся лишь направлением, но не величиной: и> .1> = н ( — ') (>>н> «( — ') —,— '-;. (3.79) где Д(р) = р(р)б(р —. ЛгпЕ). В частности, в случае волны распространяющейся вдоль оси к в положительном направлении, >Р(>г, 1) —.- >РО схр ~ Р— — '' ~, р = у 2п>Е.
(3.80) г> л Частицы с такой же энергией, но распространяющиеся в обратном направ- лении, описываются волновой функцией >Р(>г, 1) — — >РО»хр ~ — ~ — — 1, р — — х>2п>Е. (3.8!) а а 2 Суперпозипия э 2 их двух состояний имеет вид стоячей волны: >Р(>г, 1) = 2Ф» (-- — — 'л ) соа ( Р— ' ), р = ь'2г2>Е. Г>l 'а2 (3. 82) (ян>'р( — ', )и О =н,) Б>н '>хе>л. р('— ') нр--и,: р( — ')> а а >я — -азти О Приведем также более сложный случай, когда все направления импульса в суперпозиции равновероятны. Это означает, что в формуле (3.79) нужно положить не(р) = сопз1 =,рп.
Учтем таклпе, что в сферических координатах аРВ =- рэг)рд1). Интегрирование по г)1> в (3.79) выполняется следующим образом; 77 3.8. Ставаонарвые гссглоялия В результате мы получаем Элемент телесного угла в аксиально-симметричнохг случае можно представить в виде ВП = '2г аш В ВВ, если выбрать в качестве оси направление радиус-векгора г. Тогда, произведя замену рг = рг соа В, нетрудно вьгчислить оставшийся интеграл по направлениям векгора импульса: Ф(г. ~) =,воскр (- — '") схр ) — гозВ) 2пашВВВ = Д 82кЬ)а ~ а О ) Здесь для краткости обозначено Фо = Ээо . Это решение представляет Р 2ка Лз собой сферически-симметричную волну, амплитуда которой убывает с расстоянием как г ', причем во всех точках (включая начало координат г =- О) волновая функция остается конечной. Подчеркнем, что ни соотношение г3.83), ни соотношение (3.83) не описываюг состояния с определенным импульсом: таковым является глолько состояние, описываемое плоской волной де Бройля, сохранякзщей неизменный вид во всеи пространстве и во все моменты времени.
3.8. Стационарные состояния Уточним теперь понятие стационарности, которое выше мы использовали, опираясь иа интуицию. В физике стационарным называется сос гояние, которое в определенном смысле неизменно во времени. Например, не меняется положение частицы, не меняется поток жидкости в каждой точке и т. д. По аналогии с классической физикой в квантовой механике стационарным называется такое состояние системы, в котором все вероятности не зависят от времени. ,2 Иными словами, от времени нс должна зависеть величина ~ Ф ~ . Если волновая функция отвечает состоянию с определенной энергией, то она зависит ог времени цо закон~ (3.74).
При этом, очевидно, условие стационарности выполнено: г) Ф..'.!М = О, хотя, подчеркнем еше раз, сама волновая функция Ф от времени зависит явно. Очевидно, что стационарные состояния могут возникать только в том случае, если внешние условия неизменны во времени, т. е. от времени не зависит, в частности, потенциальная энергия. Этого, однако, не достаточно. Имеет место утверждение: если состояние системы есть суперпозиция 78 Гл. 3 Волновал функоод опероторьо ураепепне Шредннгера з Ф(г г) = %(г)е ' Фз(г)е = Ф1(г) + ~Фз(г)/ + 2/Фо(г)~ /Фз(г) сов ~ ' о) оъ] . (3.84) л ЗдесьмызаписалиФ1(г) — ~Фг(г) еон иФз(г) —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
