Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Поскольку боровская энергия ен — Е '"" 10эВ, а отношение массы электрона к массе атома гггг!!ЛХ 1О 4, то Еоаю 11] ! В Ео о 1В (7.59) Это означает, что энсргстическин спектр молекулы представляет собой набор электронных уровней, каждый из которых расщепляется на серию колебательных подуровней. В свою очередь последние расщепляются на серию вращательных подуровней. Эта схема качественно проиллюстрирована на рис. 7.4. ,('в !в 2 „! в! ,('л ! Рнс. 7.4. Качественный внд энсргсгнчсскнх уровней двухатомной молекулы где Т - - момент инерции. Учитывая квантование момента импульса, можно записать уровни энергии рогатора в виде 163 7.7.
Сложепве ззоненпзов кояпчсства о'виясенвя 7Л. Сложение моментов количества движения Расслютрим систему нз двух электронов. Пусть угловой момент одного электрона Ьы а другого Ьз. Требуется найти суммарный угловой момент системы. В классической механике вопрос решается просто: нужно воспользоваться обычным правилом сложения векторов; 1 =Ь1-' 12, (7.60) как это продемонстрировано на рис. 7.5,и. В квантовой механике задача несколько ус.южняется, поскольку как проекции, так н длины векторов угловых моментов могут принимать лишь дискретный набор значений. (Ьз) 1о Рнс. 7.5. Слоязсннс моментов Ьз н!.з по обычному правилу (а); сложение молюнтов в сумл1врный люмснт с нанбольшнл1 значением проекции (о)) то же.
но прн образовании момента с мсныцсй величиной (в) Будем предполагать, что частицы практически не взаимодействуют друг с другом, так что векторы Ьз и 1.з сохраняются порознь. Вследствие изотропни пространства сохраняться будет также суммарный момент системы Ь. Если жс "вклочить" слабое взаимодействие, то сохраняться будет только суммарный угловой момент Ь, а моменты Ь1 и Ьш вообще говоря, порознь сохраняться не будут. Вместе с тем, с удовлетворительной точностью можно считать, что сохраняться будут длины векторов Ьз и Ьз.
Па языке классической физики это допускает ту интсрпрстапию, что векторы 1.1 и 1.в прецессируют нокруг выделенной оси У, задаваемой вектором суммарного момента Ь, меняя непрерывно направление в пространстве, но оставляя неизменными свои длины н проекции на ось РЬ Фактически нам надо связать квантовые числа углового момента системы с квантовыми числами моментов каждого пз электронов. Пусть один из электронов имеет момент; характеризуемый числом )ы другой числом !з. Возникает вопрос: каковы возгиоягные квантовые числа суммарного вращения И В соответствии с общими правилами мы должны воспользоваться соотношением (7.60), имея в виду, что в квантовой механикс это равенство должно выполняться для операторов и средних значений.
Поэтому, в частности, имеем аналог ичнос равенство для проекций моьчен гон; (7.61) ш = шз+азз 164 Тд 7 1Парохо к модело омам». Миоент иоаильеа Мы знаем, что числа 1~ и !г определяют максимальные значения проекции соответствующих угловых моментов. Поэтому максимальное значение по составляет гп = (гп1); (1пг) 11 + 1г ° В свою очередь величина пйл „. определяет максимально возможное значение суммарного момента 1.
Следовательно, существует состояние с моментом 1 13 + 1г . 17.62) Рассмотренный случай, когда проекция (1 г)о — Иг, отвечает минимальному углу между вектором 1 г и осью У (в классической физике этому соответствовалабыситуация,когдаТч 71 Ьг Т! Ь). Этотслучайкачсствеыно проиллюстрирован на рис. 7.5, б. Аналогично минимальное значение полного момента реализуется, когда векторы Е~ и Ег ацтипараллельны. Тогда результирующее состояние имеет момент 1 = ~1г — 1г~. (7.63) Таким образом, все возможные значения суммарного момента заключены в интервале ~1, — 1 <1<1,~! .
(7.64) Найдем, какие именно значения из этого диапжзона могут реализоваться. Мы дол>хны учесть оглоеда тельное расположение складываемых векторов моментов. Примем для определенности, что )г > 1 . Выберем ось У так, чтобы проекция моментаЕг нанес имела значение лц = 1ь Тогда проекция момента Ег на эту ось может принимать значения гиг = — 4 — !г -, '1, ....
1),, 1г — 1, 1г 17.65) (естественно, в единицах постоянной Планка). Максимальное значение проекции п~, и, следовательно, зна генис суммарного момента 1 определится условием щ =- 1г —." т г. (7.66) Имея в виду, что число тг пробегает значения (7.65), мы заключаем, что результирующий вектор момента может иметь лобов квантовое число 1 из списка 1 †. 1~ ч ! г, ! г 1 1г — 1; 1г ! 1г — 2 1~ — 1г (7.67) При этом для каждого из этих значений 1 имеется 21 -~ 1 состояний, отличающихся значением проекции гп суммарного вектора момента.
Заметим, что если бы изначально оказалось, что 1~ < 1г, то наименьшее значение суммарного момента составило бы 1г — 1ь 165 7. 7. Сложение эюиентов ноличеевва двииеенил Общее число состояний, которые может принимать вращательное движение двух частиц, есть йьб (2) -~. 1) —" (2)1 + 1) (21г д !). 1=~0 †,' (7.68) 11 + (г. Возводя это равенство в квадрат, получим (7.69) 1г — — (11 -, 1 ) ' — !г1 +!г . 2111г. откуда следует г ((г (г (г) г Это равенство представляет собой обычную теорему косинусов в тригонометрии, выражающую квадрат стороны треуг ольника (сг) через две другие стороны (а и б) и угол между ними а: с = а + 6 — 2абсова. Посмотрим, как видоизменяется формула (7.70) в квантовой механике.
Прежде всего, мы должны учесть, что равенства (7.69) и (7.70) должны выполняться для операторов, так что (7.71 а) (7.7! б) 1~(г = -(1 '11' )г). г Представляет интерес найти число состояний вращения системы двух электронов без процедуры предварительного сложения их моментов.
Оно равнялось бы произведению числа различных проекций одного углового момента (2(1 , '1) на число проекций другогомомента (2(г+1), т.е. величине (2)г г 1) (2)г —,- 1). Это, очевидно, совпадаег с результатом (768), поскольку сложение моментов не может изменить полного числа состояний; меняется только способ их перечисления. Следует еще раз подчеркнуть, что при рассмотрении слогкения моменюв мы предполагали отсутствие взаимодействия между элекгронами. Если же взаимодействие имеет место, то каждый нз моментов порознь нс сохраняется, а сохраняется лишь суммарный момент системы.
Однако процесс такого взаимодействия должен удовлетворять закону сохранения момента импульса. Поэтому результат сложения окажется таким же, как было установлено вьппе. Рассмотрим вопрос о том, какие значения могут принимать ока ирные произведения моментов. Пусть два момента 11 и 1г складываются в один: 16б Гл. 7. 1Пмгихи к модело амомо.
Мапент импульса Далее учтем, что согласно (7.71 а) в результате квантовомеханического сложения моментов 12 и 12. характеризуемых квантовыми числами 12 и Еж возникнут состояния с моментом 1, квантовое число Е которого может принимать значения ! ~12 Ег ~ ° °; (2 +Ег. (7.72) Имея это в виду и переходя в (7.7! б) к средним значениям, получим выра- жение (1212) —— — — (Е(Е+ 1) — Ег(12 + 1) — 12(Ег + Ц. (7 73) г Аналогичным образом нетрудно найти, например, среднее значение скалярного произведения (112). Исходя из тождества 12 = (1 — 12) =1 11 — 2111, находим (112) =. — (12 +122 — 12) = — (Е(Е + 1) ' Е2(12 + 1) — Ег(12 и 1)~.
(7.74) г) 'Таким образом, все скалярные произведения выражаются через квантовые числа соответствующих моментов. 7.8. Приложение. Вывод формулы (7.13) Для удобства чтения дадим вывод формулы (7. ! 3). Обозначим искомую сумму как '~, г (П7.! ) Рассмотрим разность ~(п, + 1)з шз~ (П7.2) С одной стороны, очевидно, что эта сумма равна д - (Е - 1)з - 1, (П7.3) поскольку в ней выпадают все слагаемые, кроме первого и последнего. С друзой стороны, перепишем эту же сумму, раскрыв (т + 1) з: (П7.4) 1б7 ВВ. Правожеоие.
Вывод форярлы ~7.!Зу Имея в виду, что (П7.5) т=1 2 т=з перепишем (П7.4) в виде (П7.6) С учетом (П7.3) находим искомую сумму: (П7.7) Это выражение и было использовано в основном тексте. ГЛАВА 8 МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ И СПИН ортов — устарев 1. каверзный, изошрсивый 2, придирчивый.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
