Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В самом деле, согласно этому закону магнитное поле обьемного элемента тока у!)' 1!2 г,' равно г!В = — ч' ' Л'. Перейдем здесь к ючечному заряду, имея в виду, что г гз объемная плотность тока) = р н, где ч — — скорость заряда, а р — объемная плотность заряда. Заменяя рг!1х —. г1, получим г(В . В = '! ~к, — 1 =- -'(ч, Е), к Г гз~ с яг где Е =- — напряженность электрического поле точечного заряда д. Потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента с магнит- 1 ным полем равна (! = — )зВ = — — )з)~', Е). Возвращаясь в лабораторную в 178 Вл. й Магнитный.волгина и сшщ систему отсчета, где полоится ядро, а электрон вращается вокруг него со скоростью ( — у), получим 12 —.— -р(у, Е~ —.=- — ~и.
у~Š— —. — -)зэг Е. 18.32) Здесь появился знак "— ", поскольку (р, У1 ",т Е при р. ) О (рис. 8.4). Наконец, учитывая, что рл — -171Б, получаем Г =- +-ВБ11Е, так что благодаря на- С личию спина' каждое состояние расщепляется на два подуровня, расстояние между которыми составляет =о =- — ВБЕ. (8.33) с ЬЕ = йес, еэбл еь е кс,, — =- епа, с ланс (аз11гиелэг (8. 34) т,кэ где ББ = ' боровская знергэп1, а ялэ е2 сг =- яс 137 (8.35) постоянная тонкой структуры. Этой оценке можно придать несколько иной вид, если заметить, что св о .=- с (8.36) Тогда окажется, что (8.37) Последняя оценка подчеркивает тот факт, что возникновение тонкой структуры есть чисто релятивистский эффект.
н Оценим величину =о на основе боровРис. 8.4. Относительное расло- ской теории. ложсниевехтсровскоростиэлек- Э"зектрическос поле в атоме оценим тронаклнапряженностилтоино- как Š— '. В качестве оценки расгл го электРического полл Е. Указа- стояния г электрона до центра примем на одна из двух возможных ориентаций сливового магинпкно боровскийрадиусг а =,адлявеныез' личины и возьмем значение скорости элеки ел трона на первой боровской орбите: и ББ =-. = —.
Имея в виду, чго иыи и ея ВБ —, получим 20ьс 179 8. 6 Сввээято акая тяруктура Таким образом, расщепление уровней тонкой структуры имеет масштаб порядка (ЛЕ)та 10 'вп 10 з эВ. 18.38) 8.6. Сверхтонкая структура р,и . 2.7!)р.л = 2,70 Зтя .
Энергия взаимодействия двух парашельных магнитных моментов дается формулой П = р э рз,ага, где г' расстояние между ними. р Спиновые магнитные моменты электрона и протона могут оказаться либо параллельными (рис. 8.5), либо антипараллельнымн. Соответственно разность энергий этих двух состояний будет равна эхЕ =- 2"" ". (8.40) Считая, что электрон находится от ядра на расстоянии первой боровской оРбиты, т. е. г а = Рэ-~'эээяе-, и подставляяя в (8.40) выражения для магнитных моментов:электрона 1р, = рн = = еЬ/2пэ,с) и протона (8.39), получим после несложных преобразований Рис. 8.5.
СЭдиа из двух возможных относительных ориентаций магнит- ных моментов ядра 1п ротс на) а элект- ронаа эа (ЛЕ)..яя, = 2 2.70 ив — ' = 2.70 — 'озвг,. и, тт 3 тв (8.41) Имея в виду„что масса протона примерно в 2000 раз больше массы электрона, заключаем, что масштаб сверхтонкой структуры составляет (ЛЕ)я.. 10 з(ЬЕ),я 10 г эВ. (8.42) Более точные спектроскопические исследования показали, что помимо тонкой структуры, существует еще более тонкое расщепление спектральных линий и, следовательно, энергетических уровней.
Это расщепление получило название сверл атакой сэээрукпррьь Ее происхождение связано со взаимодействием магнитного момента ядра с магнитным полем, создаваемым электронами атома. Проведем оценку сверхтонкого расщепления на примере основного состояния атома водорода. В этом случае мы имеем взаимодействие спинового магнитного момента электрона с магнитным моментом протона. Последний по порядку величины дается ядерным магнетоном (8.16).
Более точно его значение есть )80 Гл. а,уигввтный эвамввт и гтт Приведенная оценка удовлетворительно описывает экспериментально наблюдаемое расщепление уровней. 8.7. Спин-орбитальное взаимодействие электронов в атоме Е = — 8гаг! )г = — — 'и. и = —. (8.43) ! — и) в 4Г Г (Здесь считается г ) О.) Электрон, обладая магнитным моментом ва )з — 8, 2тгг (8.44) движется в этом электрическом поле. Энергию взаимодействия магнитно- го момента с полем можно найти разными приемами.
Мы остановимся на одном, полностью аналогичном использованному выше, в параграфе, посвященном тонкой структуре. Пусть электрон движется со скоростьк> зг =- — — -. Перейдем в систему т, отсчета, связанную с элекгроном. Тогда вокруг него будут двигаться заряды атома со скоростью ( — к) = — —, создавая магнитное поле т,, Н =- — — !ъ, К) = — )р, Е). (8.45) вы< Соответственно энергия взаимодействия магнитного момента электрона с этим полем окажется равной Бья =- —,иН = )з!р, Е,' .=. 8в !К, р| в.
(8.4б) Итак, мы установили, что при двюкении эщекгрона в атоме возникает взаимодействие его собсгвенно~ о, спинового магнитного момента с электрическим полем. Это утверждение обычно формулируют таким образом, что имеет место впип-орбктвмьное ваагн одвйвтвпв. Разумеется, было бы грубой и недопустимой ошибкой говорить, что спин взаимодействует с орбнюй. )!а самом деле имеется в виду взаимодействие спинового магнитного момента электрона с атомным электрическим полем (создаваемым ядром и другими электронами), причем это взаимодействие возникает благодаря орбитальнокг движению.
Выбранные из этой фразы два слова "спин" и "орбита" и дали название данному взаимодействию. Наметим путь приближенного количественного учета спин-орбитального взаимодействия электронов в атоме. Предположим, что среднее (эффективное) поле, действующее на электрон, является центрально-симметричным, так что потенциальная энерпгя зависит только от радиальной координаты: )г .—. )г(г). Тогда электрическое поле можно предсгавить в виде 181 8.8 О постоянной тонной стдитпры Мы учли равенство (8.44).
Подставляя сюда выраясение для напряженно- сти электрического поля (8.43) и учитывая определение орбитального мо- мента (г„р! = 61, получим выражение дзя энергии спин-орбитального взаимодействия: (гья=я, — ~-,р~ в=Л вЂ” — !в, Ь 41' Гг 1 з1а' (8.47 а) 'щн1сз пп г' с Ж (.'ья = Л- — — 1в. 11дс"- г г!с (8.47 б) Таким образом, энергия спин-орбитального взаимодействия определяется градиентом потенциальной энергии электрона в атоме. Кроме того, энергия окажется различной в зависимости от ориентации спина и орбитального момента. В салюм деле, поскольку спин электрона а = 1,'2, то при ! > 1 его полный угловой момент )' молсет принимать значения 7'=1 — 1/2 и 1=1+1/2 (8.48) (случай 1 = 0 не представляет интереса, поскольку при этом спин-орби- тальное взаимодействие вообще отсутствует).
Тогда собственные значения оператора 18 можно найти по известному правилу (7.74): 1 =1+я, (1а) .= -Ц() +1) — 7(! 41) — а1н+1)1. (849) Имея в виду (8.48), получим п ри 1' =-(+1/2. (1в) .— — (1 н. 1) при ! =.— / — 112. (8.50) Мы нашли, что энергия спин-орбитального взаимодействия зависит как от орбитального, так и от полного углового момента электрона. Таким образом, последовательный учет эффектов спин-орбитального взаимодействия может быть проведен с помощью обычного уравнения Шредингера, где учтена дополнительная потенциальная энергия (8.47 б), (8.50).
В.З. О постоянной тонкой структуры Для водородоподобного атома энергетический спектр, учитывающий тонкун1 структуру, можно получить из релятивистской квантовой теории, базируюшей на так называемом уравнении Дирака. Точность формулы и где введена комптоновская длина волны электрона Л =. и учтено, что т,,с 8н = 2. Заменяя в (8.47 а) векторы! и я операторами, приходим к искомой добавка в гамильтониан: 182 С> 8. Дглгллл>нь>йэьамеяш и стел огромна. Она дает следующие значения энергии водородоподобных термов; 3' ;,3> ~ > 3 и>=-, м „з ~„,+ 7 +.„ т,с' л где Л = " ' постоянная Ридберга, и главное квантовое число, а ) — полный угловой момент электрона.
Мы видим, что точный расчет дает тот же лзасштаб тонкой структуры ( г>зег ), что был установлен выше на основе оценок. Тонкое расщепление уровней возникает, как это обсуждалось выше, из-за спин-орбитального взаимодействия. Слабость этого взаимодействия приводит к относительной малости, т, е, тонкости расщепления. Величина поправочного члена в (8.42) определяется малостью коэффициента оз б.
10-5 Формула (8.51) хороню описывает нс только оптические спектры П, Пе, (л и т. д., но и рентгеновские спектры. Здесь следует, однако, сказать несколько слов о принципиальной значимости константы тонкой структуры о = 1>>137. Ваягно, конечно, что величина тонкой структуры в оптических спектрах многих атомов пропорпиональна о . По этики дело не ограничивается. Конечно, спектроскопия — наука увлекательная и точная. Из всех фундаментальных естественных наук в ней наиболее полно реализуется Конфуцианское мудрое высказывание: "Правильная классификация есть высшая ступень познания". Однако сколько-нибудь серьезно претендующий на полноту рассказ о спектроскопии лежит вне рамок нашего изложения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
