Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Но это уже лежит вне пределов нашего изложения. 194 1н. 9. ПриниинПвани. нериодинеекан еиел~еиа энеиентов Мендеаеева 9.4. Правила Хунда Помимо структуры электронной оболочки представляют интерес характеристики — орбитальный, спиновый и полный моменты — — всего атома. Прежде всего введем обозначение для тсрмов атомов. Обычно используется следуюгцая символика; ввез 1 (9 ) где корневая буква (А) отражает полный орбитальный момент в виде обычного символа момента, записываемого заглавной буквой: Я', Р, 11 и т, д. Левый верхний (числовой) индекс 2Ь' 1 1 отражает спиновый момент 9 атома и называется мультиплстностью тсрма (число различных ориентаций спина).
Поскольку наличие спина приводит к спин-орбитальному взаимодействию, при 9 < 1 мультиплстность терма определяет число компонент тонкой структуры. Однако название "чультиплстность" сохраняется и при 9 > А, хотя число компонент тонкой структуры в этом случае равно 2Е -г 1. Наконец, нижний (числовой) индекс .1 указывает полный угловой момент атома. Примером может служить символ ~1)з~з, означающий, что мы имеем дело с термам, у которого орбитальный момент А = 2, спин а' =. 112, а полный момент,1 = 3/2. Рассчогрич вопрос об определении герма основного состояния атома. Прежде всего нужно учесть, что полностью заполненные оболочки обладают нулевыми суммарными орбитальным и спиновыч моментами.
Это становится очевидным, если вспомнить, что емкость ооолочкн определяется числом различных ориентаций векторов орбитального момента и спина. В случае же целиком заполненной оболочки использованы вес возможныс ориентации этих векторов. Таким образом, спиновый и орбитальный моменты атома определяются оболочками, заполненными золько частично.
В !925 г. Фридрих Хунд эмпирически установил, что терм основного состояния атома может быть выделен среди всех возможных тсрчов с помопзью следующего правила. 1. Наименьшей энергией обладает терм с наибольшим возможным значением полного спина 9 и наибольшим (при выбранном В) значением полного орбитального ъюмснта А. Еще одно правило позволяет найти полный уг,юной момент, отвечающий основночу состоянию. 2.
Мультиплсты, образованные эквивалснтнычи электронами, являются правильными (т. е. энергия растет с ростом полного момента .1), сели заполнено не более половины оболочки, и обращеннгями (т. е. энергия убывает с ростом .1), если заполнено более половины оболочки. Это утверждение означает, что в случае, когда заполнено нс более половиньт оболочки !., минимальной энергии отвечает полный момент,1 =- — 1. — 9. Если жс заполнено более половины оболочки, то момент .1 определится формулой,1 =.- 1 4 Ь'.
В тяжелых атомах мокнут существовать две незаполнснныс оболочки. В этом случае сначала с помощью правил Хунда находят характеристики 9.5 тооедетнвеннме наетнньь четноеть отноонтевьно перестановок 195 каждой из этих оболочек, а затем по найденным характеристикам с помощью тех же правил определяют параметры всего атома. Пронллюстрнруем, как работают сформулированные правила.
Рассмотрим в качестве примера атом углерода вС. Вго электронная схема есть ,с: 1,д2 рз (9.4) Плевый нижний индекс "6" у символа элсъ1снта означает, что ядро атома имеет заряд е. =- 6). Видно, что оболочка 2р заполнена лишь частично: в ней имеется два электрона 1из шести возможных для данной оболочки). Оба электрона имеют орбитальный момент! =- 1 и спины в ==. 1/2. Поэтому орбитальный момент системы может принимагь значения Е .— — О, 1. 2, а спин — — значения 9 =- О. 1.
Таким образом, в принципе возможны б различных состояний. Определим параметры основного состояния. В соответствии с правилом Хунда ему отвечает терм с максимальным возможным спином, в нашем случае — со спином 9 =- 1. При этом проекции спина н1, =- вз» .—— == +1/2, т. с. спиновыс состояния одинаковы. Поэтому у электронов должны отличаться проекции орбитального момента, но таким образом.
чтобы обеспечить максимально возыохгное значение Е. Это возможно, сели ш1 = = 1, тэ .= О. Тогда суммарный орбитальный момент Е "-. 1 + Π—.—. 1. Поскольку оболочка заполнена менее, чем наполовину, то У =. Š— 5' =- О. Следовательно, терм основного состояния атома принимает вид зРо. Наряду с ним возможны состояния, термы которых записываются как зР1 и 1Рь (для которых соответственно 1 =- Š— Я+ 1 .=- 1 и.1 =-.
Š— 9+ 2 == 2), Это, однако, состояния с большей энергией (иначе говоря, возбужденныс состояния). В качестве другого примера рассмотрим атом кислорода с электронной конфигурацией ,О; 1я~2н22р4. 19.5) В этом случае все 4 электрона 2р-оболочки уже нс могут иметь одинаковыс проекции спина (так как всего возможны 3 различныс проекции орбитального момента). В ито1с максимальный спин атома окажется рав- 11 1, 11 ! ным .9 — ~ — 1 — .'.
— ~ — — = 1 1три электрона имеют в = +1/2, а у 2 2 2 2 четвертого вв =- -1,12). Значение орбитального момента при этом составит Е = )(+1) + (О) + ~ — 1), '+ (+1) =- 1. Поскольку заполнено более половины оболочки, то У .=- Е + 9 =- 2. Таким образом, терм основного состояния кислорода записывается как 1Р2. 9.5. Тождественные частицы. Четность относительно перестановок Качественные рассуждения относительно принпипа Паули позволяют уже сделать целый ряд выводов о свойствах атомов. Однако во многих случаях должны использоваться более определсннью, количественные утверждения. Для их формулировки мы уточним нскоторыс представления, 196 гд 9. ПриняяаПоулц ~хвраодияескаясжсвмча злеиантов 'гьмделесва приводит к некоторому измснснию состояния систсмы (хотя бы за счет измснсния положсния "моток"): состояния до и после перестановки в принпипс различимы.
В случае жс тождественных частиц такой обмои местами 1с, г) -' 1а. в) ни к каким измснсниям нс приводит, т. с. состояния систсмы до н послс псрсстановки идентичны, нсразличичы. Рассмотрим систсму двух тождественных частиц. Их волновая функциа Ф зависит как от кооРдинат1гы гз), таки от спинов (аы аз) этих частиц. Ооозначим 9 = (г. а) — — совокупность координат и спиновых псрсмснных для одной частицы. Тогда Ф =- Ф(йы 9з). При псрсстановках тождественных частиц физическое (наблюдасмос) состоянис снстсмы не можст измениться. Это означаст, что волновая функция в рсзультатс псрсстановки мщкст приобрссти только фазовый множитель: Ф(йз.
9г) = с'~ФЦ~ 9я). гдс!е"' з — -- 1. В рсзультатс повторной псрсстановки получаем Ф19 Ф) - сягяФ19 9з) Отсюда следуст ез'"' = 1, так что егв .== ~1. (9.6) (9.7) (9.8) Этим значсниям фазового множителя отвечают волновыс функции, удовлетворяющие, согласно (9.6), условиям Ф(да. дг) .—. +Ф(ды дз) при е" —.—. Ф1 (9.9) или Ф(9з. 9г) = — Ф(9ы йз) при е'" = — 1.
(9.1 О) Если волновыс функции слсдуют условию (9.9)„то соотвстствующис частицы называются бозонггяю В случас жс, когда выполнястся условис 19.10), частицы называются фериигэнаид. В релятивистской квантовой теории поля доказывается тсорсма, согласно которой частицы, спин которых есть цслос число (или нуль), являются одним из которых являстся понятно о тождсствснных частицах.
Интуитивно это понятис вполне ясно: элсктроны одинаковы, протоны одинаковы, атомы натрия в основном состоянии одинаковы и т. д. Это нужно понимать так, что две люждесглвенные частицы мы нс мо ком различить ни в каком экспсримснтс: любая копия идснгична оригиналу. Вмссгс с тем сущсствуют объекты ос)инаковые, но нс тождсствснныс. Послсднсс означает, что мы моэксм, хотя бы мысленно, пронумсровать их, а затем выбирать в нужной послсдоватсльности. Таковы, напримср, практичсски любыс макроскопичсскис объекты.
В частности, на любую пссчинку можно (мысленно) нанссти мстку с помором. Псрсьюна мостами двух одинаковых частиц (а, 6) — ~ (Ь. а) 197 9.б. Волновая функция арн учете енино бозонами, а частицы с полуцслым олином --. фсрмионами. Это утверждение было установлено в 1940 г. В. Паули и называется л~еореиой о связи енино со етатнстнкой (имеется в виду, что ансамбль бозонов подчиняется статистике Бозе — Эйнштейна, а ансамбль фсрмионов — статистике Ферми — Дирака).
Нетрудно понять, что составная частица, включающая четное число фсрмнонов, всегда является бозоном, тогда как нз бозонов невозможно сделать фсрмион. Как мы уже знаем, злсктроны являются фсрмионами. К тгому жс классу относятся протоны и нейтроны, спин которых также равен н — — 1/2.
Бозонами жс являются известные нам фотоны, а также мсзоны. 9.6. Волновая функция при учете спина Здесь уместно остановиться кратко на струкгуре волновых функций, учитывающих наличие спина частипьь Как мы видели, имеется принципиальное различие между орбитальным моментом и спинам. Если первый связан с непрерывными поворотами вокруг координатных осей и представляется операторами дифференцирования по координатам (или углам), то второй (т. с. спин), будучи внутренней квантовой характеристикой, задается дискретным набором чисел (в частности, своей проекцией на ось).
Соответственно волновая функция частицы со спином зависит как от координат, так и от спиновой переменной не: т =- О(т, д. а: в ). (9.11) о =- д (,г. у, -. 91,12). Ь = щ(г, д. -", — 1(2). (9.12) Полную же волновую функцию при атом можно записывать в виде столбца 1е а(к.
у, з) и'(к, д. ж не)— Ь(ак д, з) ) (9.13) Компоненты а и Ь есть амплитуды вероятности нахождения частицы в спиновых состояниях ве =. +1/2 и в, .= — 1/2 соответственно. Полная вероятность обнаружить частицу в окрестности точки г сеть ВК .—. ('а(~)~з 1- Ь(~)~з)~Л' .---. сгн(~., ве) ф(г.
не)Л'. (9.14) Здесь введена операция зрмитова сопряжения для столбца (9.13); д~ =- (а, Ь"), (9.15) Поскольку величина н, является дискретной переменной, пробегающей 2н + 1 значений, то функция (9.11) сеть по существу совокупность 2в ч 1 функций координат. В частном случае спина н —.— 1/2 переменная я- пробегает всего два значения, и вместо одной функции ф удобно рассматривать две функции: 19о Гл. 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
