Методичка по осциллятору, квантованию, матрице плотности (1129351), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(3.14)j1 +j2j1 +j2Поскольку это состояние не относится к состоянию с полным моментом J = j1 + j2 , оно должно соответствоватьсостоянию с другим полным моментом. Поскольку максимальная проекция равна j1 +j2 −1, по определению следуетположить J˜ = j1 + j2 − 1.Действуя теперь понижающим оператором на состояf=ния |J = j1 + j2 , M = j1 + j2 − 1i и |J˜ = j1 + j2 − 1, Mj1 + j2 − 1i, получим два линейно независимых состояния,относящихся к соответствующим полным моментам.
Oднако, если J − 1 6= 0, наряду с получающимися векторами можно построить третий, линейно независимый, ортогональный к двум полученным вектор. Как и прежде, этотвектор должен быть отнесен к состоянию с полным моментом J = j1 + j2 − 2. Продолжая процедуру, видим, чтоновые линейно независимые вектора могут быть построены до тех пор, пока проекция не понизится до значенияM = |j1 −j2 |. Таким образом, получаем, что полный моментсистемы двух частиц с моментами j1 и j2 может приниматьзначения|j1 − j2 | ≤ J ≤ (j1 + j2 ).(3.15)111Это так называемое неравенство треугольника. Если j2 <j1 , получается всего 2j2 + 1 различных значений, которыеможет принимать полный момент системы двуx частиц.Полное же число состояний всей системы остается неизменным:J=j1 +j2X(2J + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1).(3.16)J=|j1 −j2 |Таким образом, пространство (2j1 +1)(2j2 +1) состоянийс базисными векторами |j1 , m1 i|j2 , m2 i разбилось на 2j2 + 1инвариантных подпространства независимых состояний сбазисными векторами соответственно:|J = j1 + j2 , j1 , j2 , M i, .
. . , |J = |j1 − j2 |, j1 , j2 , M i.Этот результат можно представить в видеX|j1 , j2 , J, M i =CjJ,M|j , m1 i|j2 , m2 i. (3.17)1 ,m1 ;j2 ,m2 1m1 +m2 =Mсоставляют матрицу, котораяКоэффициенты CjJ,M1 ,m1 ;j2 ,m2осуществляет необходимое разбиение пространства. Они называются коэффициентами Клебша-Гордана. Остановимсякратко на их свойствах.Согласно общему правилу, коэффициенты разложения(3.17) определяются при помощи скалярного произведенияна соответствующий сопряженный вектор:CjJ,M= hj1 , m1 |hj2 , m2 ||J, M i.1 ,m1 ;j2 ,m2(3.18)Обратный переход от описания состояний в базисе |j1 , j2 , J, M iк описанию состояний в базисе |j1 , m1 i|j2 , m2 i осуществля-112ется с помощью обратной матрицы=|j1 , m1 i|j2 , m2 i =X¡C −1M = m1 + m2 ;|j1 − j2 | ≤ J ≥ |j1 + j2 |¢J,Mj1 ,m1 ;j2 ,m2|j1 , j2 , J, M i,(3.19)которая также находится по определению¡C −1¢J,Mj1 ,m1 ;j2 ,m2=hj1 , j2 , J, M |j1 , m1 i|j2 , m2 i =³´∗= hj2 , m2 |hj1 , m1 |j1 , j2 , J, M i .(3.20)Можно показать, что коэффициенты Клебша-Горданамогут быть выбраны все действительными.
Имея обратную матрицу (3.20), сразу получаем соотношения ортогональности:hj1 j2 ; JM |j1 m1 i|j2 m2 ihj2 m2 |hj1 m1 |j1 j2 ; J 0 M 0 i == δJJ 00 δM M 0 ,(3.21)и наоборот:hj2 m2 |hj1 m1 |j1 j2 ; JM ihj1 j2 ; JM |j1 m01 i|j2 m02 i == δm1 m01 δm2 m02 .(3.22)Итак, CjJ,M– унимодулярная матрица ортогонально1 ,m1 ;j2 ,m2го преобразования базиса.Матрица коэффициентов Клебша-Гордана разбивает полное пространство (2j1 + 1)(2j2 + 1) на инвариантные подпространства меньшего ранга, соответствующие данномузначению полного момента.Пример. Построить состояния с определенным полным моментом |l1 , l2 , L, M i для случая l1 = l2 = 1.113В данном примере мы должны получить 9 состояний:5 состояний с L = 2; 3 – c L = 1 и 1 – с L = 0. Преждевсего следует построить состояния с максимальным значением L = 2.
Состояния с максимальной и минимальнойпроекциями мы знаем:|1, 1, 2, ±2i = |1, ±1i|1, ±1i.Далее, согласно изложенной процедуре, получаем состояния с проекциями ±1:1|1, 1, 2, ±1i = √ (|1, 0i|1, ±1i + |1, ±1i|1, 0i) .2Вновь действуя понижающим оператором на состояние сM = +1, получим последнее из состояний с L = 2:´1 ³|1, 1, 2, 0i = √ |1, −1i|1, +1i + |1, +1i|1, −1i + 2|1, 0i|1, 0i .6Для построения состояний с моментом L = 1, воспользуемся соотношениями ортогональности для коэффициентовКлебша-Гордана (2.19) и (2.20). Вначале выпишем явныйвид уже известных коэффициентов:2,±2C1,±1,1,±1= 1,2,0C1,±1,1,∓112,±12,±1C1,±1,1,0= C1,0,1,±1=√ ,2r212,0.= √ , C1,0,1,0 =36Теперь запишем соотношение ортогональности для M 0 =M = +1, L0 = 2, L = 1:´1 ³ 1,+11,+1√ C1,+1,1,0= 0.+ C1,0,1,+12114Для значений M 0 = M = 1 и L0 = L = 1 соотношение ортогональности есть просто условие нормировки, и мы получаем´1 ³|1, 1, 1, +1i = √ |1, 0i|1, +1i − |1, +1i|1, 0i .2Вектор состояния |1, 1, 1, −1i получается отсюда тривиальb − к полученно.
Теперь применим понижающий оператор Lному состоянию:1|1, 1, 1, 0i = √ (|1, −1i|1, +1i − |1, −1i|1, +1i) .2Осталось построить последний вектор с L = 0. Вновь воспользуемся соотношениями ортогональности для состояний с M 0 = M = 0:´1 ³ 0,02 0,00,0+C1,−1,1,+1= 0;L0 = 2, L = 0 : √ C1,+1,1,−1+ √ C1,0,1,066´1 ³ 0,00,0L0 = 1, L = 0 : √ C1,+1,1,−1−C1,−1,1,+1= 0.(3.23)2Решая уравнения (3.17) и используя условия нормировки,получаем1|1, 1, 0, 0i = √ (|1, −1i|1, +1i + |1, −1i|1, +1i − |1, 0i|1, 0i) .3Очень часто вместо коэффициентов Клебша-Гордана удобно использовать их выражение через 3j-символы Вигнера,которые связаны соотношением:µ¶√j1 j2JJ,Mj1 −j2 +M2J + 1Cj1 ,m1 ;j2 ,m2 = (−1).
(3.24)m1 m2 −M3j-символы обладают свойствами симметрии, некоторые изкоторых мы перечислим.115Симметрия по отношению к перестановке столбцов:µ¶µ¶j1 j2 j3j2 j1 j3j1 +j2 +j3= (−1). (3.25)m1 m2 m3m2 m1 m3Симметрия по отношению к замене знака проекций:µ¶µ¶j1 j2 j3j1j2j3j1 +j2 +j3= (−1). (3.26)m1 m2 m3−m1 −m2 −m3Сумма проекций равна нулю:m1 + m2 + m3 = 0.(3.27)Кроме перечисленных важных свойств, приведем очевидную, но очень полезную формулу:µ¶1jj0.(3.28)= (−1)j−m √m −m 02j + 1Более подробное изложение свойств 3j-символов можно найти в учебниках по квантовой механике или в специальной литературе, посвященной представлениям группывращений.Упражнения.1.
Записать соотношения ортогональности для 3j-символов.2. Получить формулу (3.28).5.4Матрица поворота для j = 1/2 и 1Получим сперва матрицу конечных вращений – функциюdjm0 m (β) – для системы с моментом j = 1/2. Матричныеэлементы определяются для оператора поворота относительно оси y.
Воспользуемся результатами из курса квантовой механики для спина 1/2:e−iΩ(sn) = cosΩΩ− i(σn) sin .22116Для того, чтобы получить вид матричных элементов оператора поворота, достаточно записать в соответствующемпредставлении спиновые операторы. Поэтому для функции1/2dm0 m (β) получаем:µ¶cos β/2 − sin β/21/2dm0 m (β) =.(4.1)sin β/2 cos β/2Упражнение.Получить выражение для функции D 1/2 (α, β, γ).Для момента j = 1 выражение для d-функции можнополучить двумя способами. Поскольку они весьма поучительны, рассмотрим оба.Первый способ состоит в установлении соответствия между векторами и собственными функциями оператора момента.
Вновь сошлемся на сведения из курса квантовой механики: при преобразовании поворота собственные функции оператора момента выражаются линейными комбинациями этих же функций, записанных в “новой” системекоординат. Собственно, это утверждение лежит в основеопределения матрицы конечных вращений. Посмотрим наданное утверждение с несколько иных позиций. Для момента j = 1 существуют всего три линейно независимых1 (θ, ϕ). Можно рассматривать этифункции: Y01 (θ, ϕ) и Y±1три функции как компоненты трехмерного вектора, законпреобразования компонентов которого определяется матрицей D 1 (θ, ϕ).Рассмотрим теперь компоненты обычного радиус-вектораr = (x, y, z), которые преобразуются в соответствии с матрицей поворота в декартовой системе координат.
Матрицаповорота на угол β относительно оси y имеет вид:cos β 0 sin β10 .Py (β) = 0(4.2)− sin β 0 cos β117Заметим, что матрица (4.2) определяет преобразование действительных компонент и поэтому действительна.Сферические функции комплексны, поскольку записаныне в действительных декартовых, а в комплексных “циркулярных” координатах. Поэтому следует перевести компоненты радиус-вектора в декартовых координатах в компоненты в циркулярных координатах:ρ0 = z,1ρ±1 = ∓ √ (x ± iy) .2(4.3)Переход к представлению (4.3) осуществляется с помощьюунитарной матрицы преобразования:√√√ √−1/ 2 i/ 2 0−1/√ 2 0 1/√ 210. (4.4)C = −i/ 2 0 i/ 2 , C + = 0√√1/ 2 i/ 2 0010Теперь легко получить искомое выражение для матрицыконечных вращений D (1) на угол β относительно оси y :d(1) (β) = C + Py (β)C.√√−1/ 2 i/ 2 010 ·d(1) (β) = 0√√1/ 2 i/ 2 0√√ −1/√ 2 0 1/√ 2cos β 0 sin β10 · −i/ 2 0 i/ 2 =· 0− sin β 0 cos β010√(1 + cos√β)/2 − sin β/ 2 (1 − cos β)/2√= sin β/ 2(4.5)cos β√− sin β/ 2 .(1 − cos β)/2 sin β/ 2 (1 + cos β)/2Результат (4.5) можно получить, использовав результатыпредыдущего параграфа, посвященного сложению моментов.
Мы знаем, что в результате сложения двух моментов1181/2 получаются состояние с моментом 0 и три состояния смоментом 1. Эти четыре состояния получилось в результате разбиения пространства четырех состояний, образованного прямым произведением подпространств двух состояний на два инвариантных подпространства. Следовательно, для получения матрицы d( 1) следует прямое произведение матриц (4.1) привести к квазидиагональному видудвух подматриц.
Запишем прямое произведение двух матриц (4.1):¶ µ¶µcos β2 − sin β2cos β2 − sin β21/21/2⊗=d (β) ⊗ d (β) =sin β2sin β2cos β2cos β2cos2 β2− cos β2 sin β2 − sin β2 cos β2sin2 β2ββcos2 β2− sin2 β2− sin β2 cos β2 cos 2 sin 2==sin β2 cos β2− sin2 β2cos2 β2− cos β2 sin β2 sin2 β2sin β2 cos β2cos β2 sin β2cos2 β21+cos β− sin β− sin β1−cos β1 sin β1+cos β−(1−cos β) − sin β .= sin β−(1−cos β)1+cos β− sin β 2(1−cos β)sin βsin β1+cos β(4.6)При сложении двух моментов 1/2 состояния с противоположными проекциями перемешиваютсяс одинаковыми “ве√совыми” множителями 1/ 2.
В матрице (4.6) состояниямс суммарной проекцией стоят во вторых и третьих строках и столбцах. Для того, чтобы привести нашу матрицу кквазидиагональному виду следует провести унитарное преобразование 1 1√√0 √12 00 − √12 0221 0 0 + 0 100 0C = √1,C=. (4.7)111− 2 0 √2 0 √2 0 √2 0 00 0 10 001119Искомая матрица представлена матрицей третьего ранга в получающемся разбиении, которое записывается в виде прямой суммы:³´C + d1/2 (β) ⊗ d1/2 (β) C = d(0) ⊕ d(1) =100 √00 (1 + cos β)/2 − sin β/ 2 (1 − cos β)/2√√ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
