Методичка по осциллятору, квантованию, матрице плотности (1129351), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Действительно, при исследовании системы66мы получаем не просто собственные значения с определенными квантовыми вероятностями, но еще с вероятностями статистическими, определяющими вклад данной системы в ансамбль. Такие состояния называют смешанными, их можно описать матрицей плотности, которую всегдаможно представить в виде:ρ̂ =Xawa |χihχ|,(1.16)где |χi собственные состояния подсистем – суперпозиции(1.9).
Если все wa = 0 за исключением одного, приходим кпредставлению матрицы плотности для чистого состояния(1.5).Смешанные состояния возникают и при рассмотрениинезамкнутых систем, т.е. подсистем некоторых систем. Естественно, в общем случае рассматриваемая подсистема взаимодействует со всей системой, однако вектор состоянияполной системы можно всегда представить в виде суперпозиции состояний двух невзаимодействующих систем: интересующей нас подсистемы и остальной части полной системы.
Обозначим состояния подсистемы латинскими буквами |ni, а состояния остальной части системы – греческими|αi, тогда состояние всей системы можно записать в виде:X|Ψi =cnα |ni|αi.(1.17)n,αПусть теперь нам нужно определить значение какой-либовеличины f , описывающей подсистему, тогда этой величине соответствует оператор, действующий только на состояния подсистемы. Однако среднее значение данного67оператора мы должны взять по состоянию всей системы:Xf = hΨ|fˆ|Ψi =c∗n0 α0 cnα hα0 |hn0 |fˆ|ni|αi =n0 ,α0 ,n,α=Xn0 ,n|hn0 |fˆ|niXα0 ,αc∗n0 α0 cnα hα0 |αi.(1.18)Во второй сумме формулы (1.18) стоит скалярное произведение ортогональных векторов, поэтому ее можно рассматривать как усреднение коэффициентов суперпозиции(1.17) по состояниям части системы внешней, по отношению к подсистеме.
В результате такого усреднения остаетсяматрица, зависящая только от состояний подсистемы:Xc∗n0 α cnα ,(1.19)ρn,n0 =αкоторую теперь можно также рассматривать как матрицуоператора ρ̂ по состояниям подсистемы:ρn,n0 = hn|ρ̂|n0 i.Соответственно, перепишем выражение (1.18) с помощьютак введенной матрицы плотности подсистемы:Xf = hfˆi =hn|fˆ|n0 ihn0 |ρ̂|ni =n0 ,nXnhn|fˆÃXn0!|n ihn | ρ̂|ni ≡ T r(fˆρ̂).00(1.20)Здесь мы воспользовались свойством полноты системы состояний:Xˆ|n0 ihn0 | = I.n0Как из формулы (1.19), так и из определения (1.20) легкополучить, чтоXT rρ =|cnα |2 = 1,(1.21)n,α68и для fˆ = 1 :h1i = 1 = T rρ1̂ = T rρ.3.2Свойства матрицы плотностиСформулируем полученные результаты в виде общей сводки свойств матрицы плотности.1.
Матрица плотности эрмитова:ρ̂+ = ρ̂,т.е. ρn0 n = ρ∗nn0 .(2.1)Из эрмитовости матрицы плотности следует действительность диагональных матричных элементов ρnn .2. Cлед матрицы плотности равен единице:XT rρ̂ =ρnn = 1.(2.2)n3. Эрмитова матрица плотности всегда может быть приведена к диагональному виду с помощью некоторогоунитарного преобразования Sb :Xρn δnn0 ≡ wn δnn0 =Skn ρkk0 Sk+0 n0 .(2.3)kk0Следовательно, оператор ρ̂ всегда можно представитьв диагональной форме:Xρ̂ =ρν |νihν|.(2.4)ν4.
Матрица плотности положительно определена. Этоследует из требования неотрицательности среднегозначения оператора с неотрицательными собственными значениями. Действительно, рассмотрим среднее69значение оператора ρ̂ в произвольном состоянии системы |χi, выбрав диагональное представление (1.6):XXhχ|ρ̂|χi =ρν hχ|νihν|χi =ρν |hν|χi|2 ≥ 0, (2.5)ννв силу эрмитовости матрицы плотности.Из этого свойства следует физический смысл диагональных матричных элементов. Поскольку рассмотренный оператор выделяет определенное состояниесистемы (подсистемы), его среднее значение имеет смыслвероятности обнаружения системы в данном состоянии, следовательно, диагональные матричные элементы матрицы плотности имеют смысл вероятности нахождения системы в чистом состоянии |ki, т.е.ρkk = wk .(2.6)PСоответственно, T rρ = k wk = 1 – есть полная вероятность нахождения системы в каком-либо из всехвозможных ортогональных состояний.5.
Свойство 3) с учетом свойств 2) и 4) приводит к важному следствию:Ã!2XXX22=ρnn =wn ≤wnnn=ÃXρnnn!2n= (T rρ)2 = 1.(2.7)Понимая, что левую часть соотношения (7.14) можнозаписать в представлении, когда матрица плотностинедиагональна, получаем обобщение:XT r(ρ̂)2 =|ρnn0 |2 ≤ 1.(2.8)nn070Равенство выполняется только в единственном случае, когда система находится в чистом состоянии.Величина (2.8) таким образом имеет очень важное значения для характеристики системы, поэтому имеет своеобозначение:T r(ρ̂)2 = µ−параметр чистоты.(2.9)В квантовой механике большую роль играют амплитуды перехода между различными состояниями. Например,пусть система находится в состоянии |ψi, тогда амплитуда перехода в состояние |ϕi есть скалярное произведениеэтих двух состояний, соответственно, вероятность перехода из исходного состояния в другое есть квадрат модуляамплитуды перехода:wψ→ϕ = |hψ|ϕi|2 .Как помним, матрица плотности чистого состояния определяется простой формулой (1.5), поэтому для вероятностиперехода можно записать:wψ→ϕ =hψ|ϕi(hψ|ϕi)∗ = hψ|(|ϕihϕ|)|ψi =³´=T r|ϕihϕ||ψihψ| = T r ρϕ ρ+ψ .(2.10)Для определения вероятности перехода (2.10) есть свой термин fidelity.3.3Эволюция во времени.
Уравнение ЛиувилляУравнение, определяющее временную эволюцию матрицыплотности получим, выбрав для определенности вид матрицы плотности для ансамбля подсистем (некогерентной71смеси) (1.13), указав явную зависимость состояний от времени:Xρ̂(t) =wa |ψa (t)ihψa (t)|.(3.1)aВспомним, что изменение состояния во времени определяется оператором эволюции, и перепишем выражение (3.1)в виде:Xρ̂(t) =wa U (t)|ψa (t0 )ihψa (t0 )|U + (t) =(3.2)a=U (t)ÃXa!wa |ψa (t0 )ihψa (t0 )| U + (t) = U (t)ρ̂(t0 )U + (t).Продифференцируем уравнение (3.2) по времени, подставим определение производных по времени для оператора эволюции и получим:ii hb∂ ρ̂(t)= − H,ρ̂(t) .(3.3)∂t~Уравнение (3.3) называется уравнением Лиувилля и оно эквивалентно уравнению Шредингера для состояния.Запишем теперь определение среднего значения какойлибо величины:³´³´bb (t)ρ̂(t0 )U + (t) .hAi = T r Aρ̂(t)≡ T r AUВспоминая, что под знаком T r операторы можно циклически переставлять, получим:³´³´b (t)ρ̂(t0 ) = T r AbH (t)ρ̂(t0 ) , (3.4)hAi = T r U + (t)AUbH (t) – оператор в представлении Гайзенберга.где AДля консервативной системы, когда гамильтониан явноот времени не зависит, оператор эволюции имеет простойвид, и можно записать:ρ̂(t) = e−i~−1 Htb72ρ̂(t0 )ei~−1 Htb.(3.5)Если состояния, представляющие матрицу плотностиобладают определенной энергией (собственные состояниягамильтониана – решения стационарного уравнения Шредингера), получаем, что диагональные матричные элементы не зависят от времени, а недиагональные осциллируютс частотами перехода между соответствующими уровнямиэнергии:ρnk (t) = ρnk (t0 )ei~−1 (Ek −En )t= ρnk (t0 )eiωkn t .(3.6)Среднее значение величины (3.4) теперь можно записатькак:XhAi =Akn ρnk (t0 )eiωkn t .(3.7)k,nВ заключение этого параграфа полезно записать операторное уравнение (3.3) в виде системы уравнений в каком-либоопределенном дискретном базисе:i~3.4X∂ρnk=(Hnm ρmk − ρnm Hmk ) .∂tm(3.8)Равновесная матрица плотностиИтак, мы видели, что матрица плотности позволяет описывать свойства ансамбля систем и, таким образом, имеет тоже значение, что и вектор состояния в квантовой механикепри описании замкнутых систем.
Следовательно, матрицаплотности должна содержать всю необходимую информацию с точки зрения статистической механики. Статистические свойства систем характеризуются такой важнейшейхарактеристикой как энтропия, которая определяется какXS=−wk lnwk ,(4.1)k73где wk – вероятность нахождения системы в состоянии k.Естественно, поэтому выполняются условияXwk = 1, 0 ≤ wk ≤ 1,(4.2)kгде суммирование ведется по всем состояниям.Смысл энтропии состоит в том, что ее можно интерпретировать как некоторую меру недостатка информациио системе. В частности, если система находится в чистомсостоянии |ν0 i, отлично от нуля только wν0 = 1.
В этомслучае энтропия равна нулю: информация максимальна,т.е. полная с точки зрения (квантовой) механики.Представим себе теперь ансамбль систем, которые с равными вероятностями находятся во всех возможных состояниях. В таком случае энтропия максимальна, поскольку мы обладаем минимальной информацией. Убедимся вэтом, воспользовавшись методом неопределенных множителей Лагранжа, проварьировав выражение (4.1) при условии (4.2):X(1 + lnwk + λ) δwk = 0,(4.3)kгде λ – неопределенный множитель.Поскольку каждая из вариаций δwk независима, уравнение (4.3) удовлетворяется, еслиlnwk = −(1 + λ).Как видим, вероятность не зависит от состояния, мы неможем различить состояния систем в ансамбле, а поэтомуне обладаем никакой информацией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
