Методичка по осциллятору, квантованию, матрице плотности (1129351), страница 5
Текст из файла (страница 5)
По определениюTba |ψi = |φi.Теперь надо найти связь двух состояний |ψi и |φi в координатном представлении, т.е. волновых функций. Вновьбудем действовать по определению. Спроектируем полученные состoяния на состояние |ri:hr|Tba |ψi = hr|φi = φ(r).Выражение слева "расщепим"единичным оператором 1̂r :ZZhr|Tba 1̂r |ψi = dr0 hr|Tba |r0 ihr0 |ψi = dr0 hr|r0 + aiψ(r0 ) =Zdr0 δ(r − r0 − a)ψ(r0 ) = ψ(r − a).35Или окончательно в координатном представленииTba ψ(r) = ψ(r − a).Заметим, что полученный результат отличается от "привычного". Все дело в том, что привычное определение оператора трансляции его действием на волновую функциюобратно нашему определению. Как видно, мы здесь определили оператор трансляции его действием на базисные вектора, что в линейной алгебре означает преобразование системы координат.
Определяя же оператор трансляции егодействием на волновую функцию, мы не изменяем базисные вектора, но смещаем саму физическую систему, что влинейной алгебре означает преобразование пространства.Как хорошо известно, это обратные друг по отношению кдругу преобразования. Такая ситуация часто встречаетсяне только в квантовой механике, но и вообще в физике, поэтому следует быть очень внимательным при выполнениикаких-либо преобразований. Ясно, что окончательный (физический) результат не зависит от того, что преобразуется,но ни в коем случае нельзя смешивать различные преобразования в одной задаче! Поэтому лучше всего придерживаться всегда какого-либо одного типа преобразований:либо преобразовывать базисные вектора (систему координат, отсчета), либо преобразовывать физическую систему(пространство).Упражнения1.
Найти эрмитовски сопряженный оператор трансляции Tba+ .2. Найти вектор кет:3. Найти бра-векторы:Tba+ |ri.hr|Tba36hr|Tba+ .Подействуем теперь оператором импульса на произвольный вектор:p̂|ψi = |χi.(7.14)В базисе собственных состояний |pi вид "неизвестного"состоянияполучается разложением его по данному базису. Проекцииэтого разложения по определению дают значения (вид) состояния |χi в точке с импульсом p.
Имеем:Xhp|χi = χp = hp|p̂|ψi = hp|p̂1̂p |ψi = hp|p̂|p0 ihp0 |ψi =p0Xp0hp|p̂|p0 ihp0 |ψi =Xpδp,p0 ψp0 = pψp .(7.15)p0Таким образом, получаем, что, как и для оператора координаты в координатном представлении, действие оператора импульса в собственном представлении сводится к простому умножению функции в импульсном представлениина значение импульса.1.8Матрица перехода, волновая функция свободной частицы.Посмотрим теперь, какой вид имеет состояние |χi в координатном представлении. Для этого спроектируем его напроизвольный базисный вектор |ri:Zhr|χi = χ(r) = hr|p̂|ψi = hr|p̂1̂r |ψi = hr|p̂ dr0 |r0 ihr0 |ψi ==Zdr0 hr|p̂|r0 ihr0 |ψi =37Zdr0 hr|p̂|r0 iψ(r).(8.1)Как видим, для дальнейшего продвижения вперед следует понять, что представляет собой матрица оператора импульса в координатном представлении hr|p̂|r0 i.
Для ответа на этот вопрос нужно воспользоваться уже известными соотношениями, а именно: нам известен вид матрицыоператора импульса в собственном представлении и видсобственных состояний оператора импульса в координатном представлении. Поэтому "расщепим"матричный элемент оператора импульса в координатном представлениидвумя единичными операторами:ZZ00hr|p̂|r i = hr|1̂p p̂1̂p0 |r i = hr| dp|pihp|p̂ dp0 |p0 ihp0 |r0 i ==ZZdpdp0 hr|pihp|p̂|p0 ihp0 |r0 i.(8.2)В последней формуле осталось неизвестным только выражение hr|pi, которое с формальной стороны есть матрица перехода от координатного к импульсному представлению. С другой стороны, если рассматривать вектор |piкак состояние системы с определенным импульсом, данный матричный элемент есть не что иное, как волноваяфункция частицы с определенным импульсом.
но определенным импульсом обладает свободная частица, следовательно это – волновая функция свободной частицы. Можнопостулировать вид этой волновой функции, тем более, чтоисторически это и был один из первых постулатов квантовой механики: волна де-Бройля, однако мы останемся наболее общих позициях и останемся в рамках принятых постулатов, а именно: коммутационных соотношений (4.11),исходя из которых получим выражение для искомой матрицы перехода-плоской волны.Решение задачи носит формальный характер и получается с помощью некоторого искусственного приема. Введем38оператор¡¢bQ(a)= exp −i~−1 ap̂ ,(8.3)где a – пока некоторый произвольный параметр.Вычислим коммутатор, используя соотношение (4.12):hib∂Qbbr̂, Q = i~= aQ.∂ p̂(8.4)Подействуем теперь на собственный вектор оператора координаты произведением операторов:³´b 0 i = Qr̂b + aQb |r0 i = (r0 + a)Q|rb 0ir̂Q|rb 0 i есть собственныйТаким образом видим, что вектор Q|rвектор оператора координаты с собственным значением (r0 +a).
Из эрмитовости оператора координаты сразу вытекает требование действительности параметра a. Таким образом оператор (8.3) оказывается унитарным, а, следовательно, обратный совпадает с эрмитовски сопряженным.Никаких других ограничений на параметр a нет, поэтомуспектр оператора координаты оказывается непрерывным инеограниченным. Соответственно получаем:b + Q|rb 0 i = hr0 |r0 i.hr0 + a|r0 + ai = hr0 |Q(8.5)Собственные векторы с непрерывным спектром нормированы на δ-функцию, а из последнего соотношения видно,что нормировка не зависит от собственного значения оператора координаты.Выберем в качестве параметра какое-либо собственноезначение оператора координаты (радиус-вектор) и подействуем оператором (8.3) на собственный вектор операторакоординаты с собственным значением, равным нулю:¡¢−1bQ(r)|0i(8.6)r = exp −i~ rp̂ |0ir = |ri.39Таким образом любой собственный вектор оператора координаты может быть получен действием оператора сдвига(8.3) на “основной” собственный вектор оператора координаты.Упражнение.b + (a)r̂ Q(a)?bЧему равен оператор QПроделаем теперь аналогичные выкладки для собственных векторов оператора импульса.
Введем оператор сдвигав импульсном пространстве:¡¢Pb(k) = exp i~−1 kr̂ .(8.7)Легко показать, чтои, соответственно,hip̂, Pb(k = kPb(kPb(k)|p0 i = |k + p0 i.(8.8)Pb(p)|0ip = |pi.(8.9)Как и для собственных векторов оператора координаты,любой собственный вектор оператора импульса (состояниес определенным импульсом) можно получить, подействовав оператором сдвига (8.7) на “основной” собственный вектор оператора импульса:Теперь мы готовы вычислить матричный элемент искомой матрицы перехода:hr|pi = hr|e(i~−1 pr̂) |0i .pДалее вспомним, что если fˆ|f i = f |f i, то F (fˆ)|f i = F (f )|f i,поэтому−1−1hr|e(i~ pr̂) = e(i~ pr) hr|.40Таким образом получаем:hr|pi = e(i~−1 pr) hr|0i .pВыразим в полученной формуле вектор бра через “основной” и получимhr|pi = e(i~−1 pr) h0|e(i~−1 rp̂) |0i = e(i~−1 pr) h0|0i . (8.10)rprpОсталось найти константу r h0|0ip .
Для этого воспользуемся условием нормировки и полноты системы собственныхвекторов:Z00δ(p − p ) = hp|p i = drhp|rihr|p0 i.Подставляя полученное выражение для матрицы перехода(8.10), получаем:Z−10|r h0|0ip |2 dre(i~ (p −p)r) = δ(p − p0 ).Подставляя известное значение интеграла, получаем искомый нормировочный множитель:|r h0|0ip |2 = (2π~)−3 .(8.11)Теперь можем записать окончательное выражение для матрицы перехода или нормированной на δ-функцию волновую функцию свободной частицы:hr|pi = ψp (r) =1−1ei~ pr .(2π~)3/2(8.12)Подставим теперь в формулу (8.5) полученное выражениедля матрицы перехода (8.12).
Поскольку матрица оператора импульса в собственном представлении есть δ-функция,один интеграл по p0 сразу "снимается"и получаем:Z1−100hr|p̂|r i =dppei~ p(r −r) =3(2π~)41∂= i~ 0∂rµ1(2π~)3Zdpei~−1 p(r0 −r)¶= i~∂δ(r − r0 ). (8.13)∂r0Итак, матрица оператора импульса в координатном представлении есть производная от δ-функции.УпражнениеПоказать, чтоhp|r̂|p0 i = −i~∂δ(p − p0 ).∂p0(8.14)Теперь можно вернуться к определению вида неизвестной функции χ(r).
Подставляя формулу (3.12) в подынтегральное выражение (3.17), получае쵶Z∂∂00χ(r) = dr i~ 0 δ(r − r ) ψ(r0 ) = −i~ ψ(r). (8.15)∂r∂rТаким образом действие оператора импульса на волновуюфункцию сводится к ее дифференцированию.УпражнениеПоказать, чтоhr|p̂2 |r0 i = −~2∂2δ(r − r0 ).∂r0 2(8.16)Запишем теперь уравнение Шредингера в координатном представлении.
Для этого спроектируем уравнение (2.2)на произвольный базисный вектор оператора координаты.Получаем∂bi~ hr|Ψi = hr|H|Ψi.(8.17)∂t42Оператор, стоящий справа, следует преобразовать по ужезнакомой схеме. "Расщепим"его единичным операторомZZ000bbbhr|H|Ψi = hr|H 1̂r |Ψi = dr hr|H|r ihr |Ψi = dr0 H(r, r0 )Ψ(r0 ).Как и следовало ожидать, уравнение формально имеет интегральный вид, однако подставляя результаты, полученные в упражнениях, легко видеть, что уравнение Шредингера в координатном представлении имеет "привычный"дифференциальный видi~~2∂Ψ(r, t) = −∆Ψ(r, t) + U (r)Ψ(r, t).∂t2m(8.18)Рассмотрим теперь уравнение Шредингера в импульсном представлении.
Как мы видели только что, необходимопросто получить вид стационарного уравнения Шредингера, поскольку оператор дифференцирования по времениникаких проблем не вызывает. Итак, по известной схемепроводим преобразования:Zbbb 0 ihp0 |Ψi =hp|H|Ψi = hp|H 1̂p |Ψi = dp0 hp|H|p=Z³´b |p0 i Ψ0p .dp0 hp|Tb|p0 i + hp|UС оператором кинетической энергии разобраться также просто, как и с оператором потенциальной в координатном представлении:Zdp hp|Tb|p0 iΨ0p =0Zdp0p2p0 2δ(p − p0 )Ψ0p =Ψp . (8.19)2m2mНемного сложнее обстоит дело с оператором потенциальb (r̂)|p0 i намной энергии, поскольку матричный элемент hp|U43пока неизвестен.
Вновь поступим в соответствии со знакомой схемой: "расщепим"его единичными операторамиZZ00bbb (r̂)|r0 ihr0 |p0 i.0hp|U (r̂)|p i = hp|1̂r U (r̂)1̂r |p i =drdr0 hp|rihr|UВновь появился знакомый матричный элемент операторапотенциальной энергии в координатном представлении исоответствующие волновые функции. После одного интегрирования по координате r0 получаемZ1−100bhp|U (r̂)|p i = dre−i~ (p−p )r U (r) =3(2π~)1Up−p0 .(8.20)=(2π~)3Итак, матричный элемент оператора потенциальной энергии в импульсном представлении есть образ Фурье.
Уравнение Шредингера становится интегральным. Сделаем замену переменной: p − p0 = q, тогда p0 = p − q и dp0 = dq.ПолучаемZdqp2Ψp +Uq Ψp−q = EΨp .(8.21)2m(2π~)3Как видно из структуры уравнения, в потенциале частица получает или передает импульс, но так, чтобы полныйимпульс сохранился.ПримерНайти уровень энергии и волновую функцию связанного состояния частицы в поле одномерной δ-ямы:V (x) = −~2κ0 δ(x)m44Решим задачу в p-представлении. Для этого прежде всегозаметим, что образ Фурье от потенциала есть просто const:Z~2Vq = e−iqx/~ V (x)dx = − κ0 .mТаким образом, уравнение Шредингера в импульсном представлении принимает простой видp2~κ0ψp −2m2πmОбозначим+∞Zdqψp−q = Eψp .−∞+∞+∞ZZdpψp = C.dqψp−q =−∞−∞Поскольку E < 0, получаем выражение для функцииψp =~κ0 C.2πm(p2 /2m + |E|)Согласно определению константы C, получаем уравнение,из которого находится уровень энергии:C=+∞Z−∞~κ0 Cdp.2πm(p2 /2m + |E|)Вводя безразмерную переменную p/~κp 0π 2m|E|+∞Z−∞p2m|E| = z, получаемdz= 1.+1z2Поскольку интеграл равен π, получаем уровень энергии:E=−~2 κ02.2m45Волновая функция равнаψp =~κ0 C.+ ~2 κ02 )π(p2Неизвестная константа C определяется из условий нормировки:+∞Z|ψp |2 dp = 1,−∞или |C|−2=µ~κπ+∞¶2 Z−∞dp.(p2 + ~2 κ02 )2Интеграл легко вычисляется с помощью методов ТФКП:следует взять вычет в полюсе второго порядка, напримерв верхней полуплоскостив точке z = i~κ0 , после чего полу√чаем C = 2π~κ0 , и, соответственно, нормированная волновая функция в p-представлении имеет видr21.· 2 2 2ψp =π~κ0 p /~ κ0 + 11.9Уравнение Шредингера в произвольном представленииМы получили вид основных операторов в координатном(x-представлении) и в импульсном (p-представлении).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
