Методичка по осциллятору, квантованию, матрице плотности (1129351), страница 4
Текст из файла (страница 4)
И соответственно представление Гайзенберга, когда изменяются во28времени базисные вектора представления, но само состояние остается неизменным: состояние |Ψ(t)i определяется набором чисел af (0), которые от времени не зависят.Как помним из линейной алгебры, преобразование базисных векторов и преобразование вектора (физической системы) взаимно обратны. Поэтому если мы определим представление Шредингера, как преобразование вектора состояния во времени с помощью оператора эволюции, то видвектора состояния в представлении Гайзенберга |ΨH (t)i получается в результате обратного преобразования:|ΨH (t)i =U + (t, 0)|Ψ(t)i ==U + (t, 0)U (t, 0)|Ψ(0)i = |Ψ(0)i,(5.7)т.е.
действительно, вектор состояния квантовой системы впредставления Гайзенберга не зависит от времени.При переходе от представления Шредингера к представлению Гайзенберга следует также проделать унитарное преобразование для всех операторов. Действительно,поскольку вид оператора определяется из условия соответствия его среднего значения физической величине, имеем:b =hΨ(t)|A|Ψ(t)ibhAi=b (t, 0)|Ψ(0)i = hAbH (t)i.=hΨ(0)|U + (t, 0)AU(5.8)bH (t) = U + (t, 0)AUb (t, 0) – оператор в представленииЗдесь AГайзенберга.Как видим, в представлении Гайзенберга оператор обязательно зависит от времени, даже если в представленииШредингера он от времени не зависел. Таким образом, поскольку в представлении Гайзенберга вектор состояния независит от времени, вся временная эволюция квантовой системы переносится на операторы.
Поэтому следует напи-29сать уравнение движения для операторов:µ¶d b∂ bAH (t) = U + (t, 0)A U (t, 0)+dt∂tµ¶µ¶∂ +∂+bb+U (t, 0) AU (t, 0) + U (t, 0)AU (t, 0) .∂t∂t(5.9)Легко видеть, что оператор эволюции подчиняется уравнению∂b (t, 0).i~ U (t, 0) = HU(5.10)∂tПоэтому получаем уравнение Гайзенберга, определяющееизменение операторов во времени и "заменяющее"уравнениеШредингера для вектора состояния:bH (t)bHdA∂Ai hb b iH, AH .=+dt∂t~(5.11)Упражнения.1.
Найти в представлении Гайзенберга операторы координаты и импульса свободной частицы.2. Найти оператор спина электрона в однородном магнитном поле B в представлении Гайзенберга. Считать, чтодругих взаимодействий, изменяющих спиновое состояниеэлектрона нет.1.6Представление взаимодействияПредставление взаимодействия широко используется прирешении нестационарных задач теории возмущений, когдагамильтониан системы имеет видb =Hb 0 + Vb (t)H30(6.1)Очевидно, стационарня задача, когда возмущение от времени не зависит Vb (t) = Vb (0) представляется частным случаем. Однако надо помнить, что в нестационарном случаерассматриваются совсем другие задачи. В отсутствие зависящего от времени оператора V (t) уравнение Шредингерасводилось к стационарному, а временная зависимость вектора состояния определялась с помощью "простого"оператораэволюци趵i b(6.2)U0 (t) = exp − H0 t .~В случае, когда гамильтониан зависит от времени, теряет смысл говорить об уровнях энергии, поскольку энергия системы E не сохраняется.
Поэтому в нестационарномслучае и задача формулируется об изменении состояний.Пусть возмущение мало, тогда видно, что в каждый момент времени основное поведение системы определяетсяневозмущенным гамильтонианом H0 , а V (t) слегка "подправляет"изменение во времени Ψ(0) (t). Исходя из этих соображений будем искать точную волновую функцию Ψ(t)в видеΨ(t) = U0 (t)ΨI (t),(6.3)где ΨI (t) = ΨI (0), если V (t) = 0.Поскольку оператор эволюции подчиняется уравнениюi~∂b 0 U0 (t, t0 )U0 (t, t0 ) = H∂t(6.4)уравнение Шредингера принимает видi~∂U0∂ΨI (t)b 0 U0 ΨI (t)+V (t)U0 ΨI (t). (6.5)ΨI (t)+i~U0=H∂t∂tВ силу уравнения (6.4) остается только два слагаемых.
Умножим получившееся уравнение слева на U0+ и получимi~∂ΨI (t) = U0+ Vb (t)U0 ΨI (t) ≡ VI (t)ΨI (t).∂t31(6.6)Это так называемое представление взаимодействия. Как иследовало ожидать, ΨI (t) изменяется только за счет возмущения VI (t), но на "собственное"изменение оператора VI (t)"накладывается"эволюция невозмущенной системы:1.7−1 b−1 bVI (t) = U0+ (t)Vb (t)U0 (t) = ei~ H0 t Vb (t)e−i~ H0 t(6.7)Представления основных операторовРассмотрим теперь некоторые основные физические величины и соответствующие им операторы.
Прежде всего заметим, что состояние частицы (квантовой системы) в точкеr по определению задается вектором состояния |ri, состояние частицы с импульсом p –вектором |pi.Поскольку координата – физическая величина, согласно введеным определениям, ей соответствует оператор r̂,для которого вектора |ri – собственные вектора с соответствующими собственными значениями:r̂|ri = r|ri.(7.1)Здесь r - собственное значение оператора координаты, ионо соответствует тому, что частица находится в точке cкоординатами r.Те же самые слова можно произнести и для импульсачастицы:p̂|pi = p|pi.(7.2)Здесь p - собственное значение оператора импульса, и оносоответствует тому, что частица обладает импульсом p.ОператорPbr = |rihr|(7.3)проектирует любой вектор на базисный вектор состоянияс координатой r:Pbr |ψi = |rihr|ψi = hr|ψi|ri32(7.4)Здесь проекция hr|ψi показывает, как выглядит состoяние|ψi в точке r.
Но это не что иное как по определению волновая функция. Таким образом(7.5)ψ(r) = hr|ψi.Соответственно мы рассматриваем состояние в координатном представлении. Полное разложение вектора |ψi представляется в виде интегралаZ|ψi = hr|ψi|ridr.(7.6)Пусть теперь |ψi ≡ |pi, тогдаPbr |pi = |rihr|pi = hr|pi|ri.(7.7)Но волновая функция hr|pi описывает состояние частицы сопределенным импульсом, т.е. свободную частицу, а потомуэто есть не что иное как волна де Бройля 3 :hr|pi = ψp (r) = Aei~−1 pr.(7.8)Теперь мы понимаем, что волновая функция непрерывногоспектра должна быть нормирована на δ-функцию:ZZ−10ψp∗ 0 (r)ψp (r)dr = |A|2 ei~ (p−p )r dr == |A|2 (2π~)3 δ(p − p0 ).(7.9)Таким образомψp (r) =1−1ei~ pr .(2π~)3/23(7.10)Это утверждение будет доказано строго ниже, исходя из коммутационных соотношений33Действие операторов на собственные вектора представляется тривиальным: получаются собственные значения.Вся проблема состоит в том, чтобы определить, как действуют операторы на произвольные вектора состояний.
Сперва определим, как действие операторов выглядит в собственном базисе (в "собственной системе отсчета"), а затем увидим, как они выглядят в "несобственной системеотсчета". Подействуем сперва на произвольный вектор состояния оператором координаты r̂:r̂|ψi = |ϕi,(7.11)где |ϕi неизвестный пока вектор. В базисе собственных состояний оператора координаты вид "неизвестного"состоянияполучается разложением его по базису соcтояний |ri. Проекции этого разложения по определению дают значения (вид)состояния |ϕi в точке с координатой r, т.е.
волновую функцию. Имеем:Zhr|ϕi = ϕ(r) = hr|r̂|ψi = hr|r̂1̂r |ψi = hr|r̂ dr0 |r0 ihr0 |ψi ==Z000dr hr|r̂|r ihr |ψi =Zdr0 rδ(r − r0 )ψ(r) = rψ(r). (7.12)Как видим, действие оператора координаты на произвольное состояние в собственном представлении сводится к умножению состояния на значение координаты. Причем мы видим, что при переходе от векторов состояний к волновымфункциям интегрирование по всем матричным элементами проекциям "уходит"и можно говорить о том, что оператор координаты есть простая операция умножения на самукоординату. Такое свойство связано с локальностью оператора. Тем не менее, строго говоря, мы всегда должныпомнить, что оператор в каком-либо представлении естьвполне определенная матрица.
Однако, как только что мы34видели, для волновых функций этот факт оказывается "спрятанным". Поэтому общепринято говорить, что действие оператора координаты ( а соответственно и любой функции отоператора координаты ) на волновую функцию сводится кпростому умножению.УпражнениеИспользуя свойство функции от оператора F (fˆ)ψn =F (fn )ψn , если fˆψn = fn ψn , показать, чтоhr|U (r̂)|r0 i = U (r)δ(r − r0 )(7.13)ПримерОпределим оператор трансляции Tba на расстояние a егодействием на вектора состояний с определенной координатой |ri следующим образом:Tba |ri = |r + ai.Посмотрим теперь, как действует этот оператор на произвольный вектор состояния |ψi.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
