Методичка по осциллятору, квантованию, матрице плотности (1129351), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Однако такая простая процедура в данномслучае привела бы к ошибке, поскольку функция Вигнеразависит от q и p, следовательно прежде, чем дифференцировать, следует перейти от переменной x к собственнымпеременным. Согласно определению мы должны под интегралом сделать замену: x = q + (x − x0 )/2, после чеговыполнить дифференцирование по импульсу p. Итак, перепишем соотношение 2.12) c учетом замечания:µ¶µ¶Zx + x0x − x000xρ(x, x ) = W,pq+eip(x−x ) dp =22¶µZi ∂0eip(x−x ) dp.(2.13)= W (q, p) q −2 ∂pТеперь в формуле 2.13) можно выполнить интегрированиепо частям и получить искомое соотношение:µ¶i ∂0xρ(x, x ) −→ q +W (q, p).(2.14)2 ∂p85Совершенно аналогично выглядит соотношение для второйпеременной x0 :¶µi ∂W (q, p).(2.15)x0 ρ(x, x0 ) −→ q −2 ∂pВыполним теперь дифференцирование матрицы плотности по координатам:¶¸· µZ∂x + x0∂0ip(x−x0 )ρ(x, x ) =,p edp.(2.16)W∂x∂x2Вновь, учитывая связь переменной x с собственными переменными функции Вигнера q = (x + x0 )/2, получаем:· µ¶¸∂x + x01 ∂0ip(x−x0 )W,p e=W (q, p)eip(x−x ) +∂x22 ∂q¶µ1 ∂00+ ip W (q, p)eip(x−x ) .
(2.17)+ipW (q, p)eip(x−x ) =2 ∂qПодставляя полученное соотношение (2.17) в формулу (2.16),имеем:µ¶∂1 ∂ρ(x, x0 ) −→+ ip W (q, p).(2.18)∂x2 ∂qДифференцирование по “штрихованной” переменной даетаналогичное соответствие:µ¶∂1 ∂0ρ(x, x ) −→− ip W (q, p).(2.19)∂x02 ∂qТеперь можно получить уравнение Мойала для функции Вигнера. Очевидно, полученные соотношения (2.12)(2.19) остаются справедливыми в произвольный момент времени t, поэтому уравнение Лиувилля-фон Ноймана для матрицы плотности в координатном представлении (см.
формулу (5.9) глава 3) можно легко переписать для функцииВигнера.86Запишем уравнение (5.9), формально заменив соответствующие произведения и производные соотношениями (2.12)(2.19). При этом оператор потенциальной энергии, будучифункцией оператора координаты понимается, как обычнов квантовой механике, в смысле ряда Тейлора по степенямоператора. Имеем:"µ¶2 µ¶2 #1 ∂1 ∂1∂W (q, p, t)++ ip −− ipi W (q, p, t) =∂t22 ∂q2 ∂q· µ¶µ¶¸i ∂i ∂+ U q+−U q−W (q, p, t).(2.20)2 ∂p2 ∂pПервая квадратная скобка уравнения (2.20) сильно упрощается, и получаем:¶µ¶¸· µ∂i ∂∂i ∂i W = ip W + U q +−U q−W.
(2.21)∂t∂q2 ∂p2 ∂pЗдесь для простоты опущены аргументы функции Вигнера.Мы предполагаем, что функция потенциальной энергииможет быть разложена в ряд Тейлора, поэтому:¶ Xµ∞i ∂U (n) (q) in ∂ nU q+=.(2.22)2 ∂pn! 2n ∂pnn=0Разность потенциальных энергий дает чисто мнимую функцию: 2· µ¶µ¶¸i ∂i ∂U q+−U q−=2 ∂p2 ∂p∞XU (2n+1) (q) (−1)n ∂ 2n+1.(2.23)=i(2n + 1)! 4n ∂p2n+1n=02Ряд (2.22) по сути дела представляет собой разложение по степеням ~ (напомним, что в данном параграфе мы положили постояннуюПланка ~ = 1).87Таким образом, уравнение Мойала (2.21) действительно,что соответствует уравнению для наблюдаемой величины.4.3Томографическое распределениеРассмотрим простой пример: одномерный гармоническийосциллятор с массой m = 1, частотой ω = 1 и положимтакже постоянную Планка ~ = 1.
В дальнейшем будем придерживаться (если особо не оговорено) такой системы единиц. Как хорошо известно (см. Гл. 2), волновая функцияосновного состояния есть:ψ0 (x) =1π 1/4e−x2 /2.(3.1)Матрица плотности осциллятора в каком-либо (чистом) состоянии ψ равнаρψ (x, x0 ) = ψ(x)ψ ∗ (x0 ),или ρψ (x, x) = |ψ(x)|2 .(3.2)Формулу (3.2) можно “обратить”, выразив волновую функцию через матрицу плотности:ψ(x) =ρψ (x, x0 ) qρψ (0, 0).ρψ (0, x0 )(3.3)Заметим, что для чистого состояния, которое есть суперпозиция состояний, такой же простой формулы (3.3) не существует: для матрицы плотности принцип суперпозициине выполняется, поскольку она определяется квадратичной связью.
Действительно, пусть есть чистое состояние ввиде суперпозиции:ψ(x) = αψ1 (x) + βψ2 (x),88тогда такому чистому состоянию соответствует матрицаплотностиρψ (x, x0 ) =|α|2 ψ1 (x)ψ1∗ (x0 ) + |β|2 ψ2 (x)ψ2∗ (x0 )++αβ ∗ ψ1 (x)ψ2∗ (x0 ) + α∗ βψ2 (x)ψ1∗ (x0 ).Отсутствие принципа суперпозиции для матрицы плотности вовсе не означает, что матрица плотности не описывает квантовой интерференции чистых состояний: он можетбыть представлен в более сложном виде.Запишем теперь матрицу плотности основного осциллятора, находящегося в основном состоянии:120 2ρ0 (x, x0 ) = √ e−x /2−(x ) /2 .π(3.4)Запишем функцию Вигнера (1.7) одномерного гармонического осциллятора, находящегося в основном состоянии:Zuu22W0 (q, p) = due−ipu ρ0 (q + , q − ) = 2e−q −p . (3.5)22Функция Вигнера действительна и нормирована:ZdqdpW0 (q, p) = 12πФункция Вигнера позволяет также определить квадрат модуля волновой функции основного состояния как в координатном, так и импульсном представлении:Z1dp2W0 (q, p) = √ e−q = |ψ0 (q)|2 ,(3.6)2ππZ1dq2W0 (q, p) = √ e−p = |ψ0 (p)|2 .(3.7)2ππИными словами, интегрируя функцию Вигнера, можно получить функцию распределения по импульсу или координате.
Таким же свойством обладает совместная функция89распределения вероятностей в фазовом пространстве классического осциллятора. Поскольку Вигнер использовал преобразование Фурье, имеет место обратное преобразованиеот функции Вигнера к матрице плотности:µ¶Zx + x010dpW0, p eip(x−x ) = ρ0 (x, x0 ).(3.8)2π2Таким образом, информация, содержащаяся в функции Вигнера такая же, как и в матрице плотности, однако интерпретация ее не так проста и очевидна, как это могло быпоказаться из предыдущего примера.Рассмотрим первое возбужденное состояние осциллятораs22ψ1 (x) = √ xe−x /2 .(3.9)πМатрица плотности осциллятора в первом возбужденномсостоянии есть¶µ 22(x0 )2x00.(3.10)ρ1 (x, x ) = √ xx exp − −22πЛегко получить функцию Вигнера этого же состояния:W1 (q, p) = 2(2q 2 + 2p2 − 1) exp(−q 2 − p2 ).(3.11)Функция Вигнера по-прежнему нормирована на единицу иобладает свойством (3.6), однако при малых значениях q иp она становится отрицательной и поэтому не может бытьинтерпретирована как функция распределения вероятностей.
Это объясняется принципиальной невозможностьюописания квантовых систем в фазовом пространстве из-засоотношения неопределенностей для импульса и координаты. Таким образом параметры q и p в функции Вигнера неесть настоящие координата и импульс осциллятора.
Сама90же функция Вигнера не имеет смысла распределения вероятностей, однако ее часто называют квазивероятностью иона широко используется в квантовой оптике.Тем не менее, распределение вероятностей ввести можно. Рассмотрим гауссово распределение для координаты,зависящее от двух параметров µ и ν :¶µx21,(3.12)exp − 2w0 (x, µ, ν) = pµ + ν2π(µ2 + ν 2 )связанное с функцией Вигнера основного состояния осциллятора обратимым преобразованием Фурье:Zdkdqdpw0 (x, µ, ν) =W0 (q, p)e−ik(x−µq−νp) .(3.13)(2π)2Обратное преобразование формулы (3.13) дает функцию Вигнера:Zdxdµdνw0 (x, µ, ν)ei(x−µq−νp) .(3.14)W0 (q, p) =2πМожно непосредственным вычислением убедиться, чтодля первого возбужденного состояния также существуетраспределениеw1 (x, µ, ν) = w0 (x, µ, ν)2x2,µ2 + ν 2(3.15)связанное с функцией Вигнера W1 (q, p) такими же формулами (3.13) и (3.14):ZdkdqdpW1 (q, p)e−ik(x−µq−νp) .(3.16)w1 (x, µ, ν) =(2π)2иW1 (q, p) =Zdxdµdνw1 (x, µ, ν)ei(x−µq−νp) .2π91(3.17)Заметим, что эмпирически найденная связь функцийВигнера с распределениями для основного (3.13) и (3.14)и первого возбужденного состояний осциллятора (3.16) и(3.17) совершенно не зависит от состояния осциллятора,поэтому она может быть распространена как на другие состояния, так и на другие системы.
Таким образом можнозаписать для произвольной функции Вигнера произвольнойсистемы связь с томографическим распределением:W (q, p) =Z1dxdµdν w(x, µ, ν) exp (−i(µq + νp − x)) .=2π(3.18)w(x, µ, ν) =Z1=dkdqdp W (q, p) exp (−ik(x − µq − νp)) .(2π)2(3.19)Обратное преобразование есть:Учитывая связь функции Вигнера с матрицей плотности, запишем также связь матрицы плотности с томографическим распределением:ρ(x, x0 ) =· µ¶¸Zx + x010dµdy w(y, µ, x − x ) exp i y − µ. (3.20)=2π2Упражнение Получить формулу (3.20), подставив ввыражение матрицы плотности через функцию Вигнера(3.8) определение (3.18).Определение функции Вигнера через матрицу плотности (1.7) можно записать в несколько иной форме. Запишем его через матрицу плотности в координатном представлении в одномерном случае, убрав явную зависимостьаргументов от параметра интегрирования u :Z³u´u´ ³ 0δ z − q + e−ipu .W (q, p) = dzdz 0 duρ(z, z 0 )δ z − q −2292Выполняя интегрирование по параметру u, получаем интеграл только по аргументам матрицы плотности:ZW (q, p) = 2 dzdz 0 ρ(z, z 0 )e−i2p(z−q) δ(z + z 0 − 2q).
(3.21)Теперь можно получить обратное преобразование для (3.20),выразив томографическое распределение через матрицу плотности:w(x, µ, ν) =·µ¶¸Zz−z 0z+z 0100dzdz ρ(z, z )exp −ix− µ.=2π|ν|ν2(3.22)Упражнение Получить формулу (3.22), подставив ввыражение томографического распределения (3.19) определение функции Вигнера в форме (3.21).Сравнивая формулы (3.21) и (3.22), можно заметить,что функция квазираспределения Вигнера W (q, p) и классическое (томографическое) распределение вероятностей w(X, µ, ν),причем последнее есть положительная нормированная функция, получены путем похожих интегральных преобразований матрицы плотности.Разница между двумя рассматриваемыми функциямиопределяется разницей ядер интегральных преобразований.Как видно из формулы (3.21) ядро интегрального преобразования для функции Вигнера естьKW (z, z 0 ; q, p) = 2e−i2p(z−q) δ(z + z 0 − 2q).(3.23)В случае преобразования симплектической томографии (3.22)ядро имеет вид:·µ¶¸1z−z 0z+z 00Kw (z, z ; x, µ, ν) =exp −ix−µ.(3.24)2π|ν|ν293Ключ к решению задачи о построении распределениявероятностей, задающего квантовое состояние, дает анализдиагональных элементов матрицы плотности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
