Методичка по осциллятору, квантованию, матрице плотности (1129351), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Действительно,´´³11 ³ĵ− |j, ji = √ĵ− |j, ji ,|j, j −1i = √2j2j · 1³³ ´2´11|j, j −2i = √ĵ− |j, j −1i = pĵ− |j, ji,2 2j −12! 2j(2j −1)Полученные результаты легко обобщить:s(j + m)! ³ ´j−mĵ−|j, ji.|j, mi =(2j)!(j − m)!(1.15)Итак, исходя только из коммутационных соотношений, получили вектора состояний и значения квантовых чисел,описывающих систему, обладающую определенным моментом количества движения.
Однако, вспоминая результаты,полученные при решении задачи о движении частицы вцентральном поле в координатном представлении, вспоминаем, что проекция орбитального момента по своему физическому смыслу может принимать только целые значения. Полученные нами полуцелые значения не могут бытьсвязаны с орбитальным моментом, а, значит, с вращением квантовой системы (частицы).
Вместе с тем мы видим,103что при преобразованиях поворота имеется две возможности преобразования вектора состояния системы: с помощью как целого, так и полуцелого значения момента.Если преобразование состояния системы с помощью целого момента может быть интерпретирована как вращениесистемы, то в другом случае ни о каком вращении речибыть не может, поскольку при вращении на угол 2π система должна была бы вернуться в исходное положение,а в нашем случае состояние отличается знаком.
Таким образом, для полуцелых значений j мы обязаны допустить,что система обладает внутренними степенями свободы, которые проявляются при преобразовании поворота в состоянии системы и по своим свойствам аналогичны моментуколичества движения. Такой момент называют собственным моментом или спином системы.
Очевидно, что с такой позиции собственный момент может принимать такжеи целые значения. Иными словами, спин системы можетбыть как целым, так и полуцелым, но орбитальный моментможет быть только целым. Поскольку спин системы описывает внутренние степени свободы квантовой системы, онимеет всегда определенное для данной системы значение,которое не может изменяться, поскольку в противном случае его изменение означало бы изменение внутренних степеней свободы, а значит и самой системы.
Таким образомспин – чисто квантовая характеристика системы.В отличие от спина, орбитальный момент может принимать самые разные значения, а поскольку размерная физическая величина есть M = ~l, в классическом пределе(~ → 0) должна соответствовать “обычному” моменту количества движения, значения квантового числа, описывающего орбитальный момент должны стремиться к бесконечности l → ∞ так, что величина M оставалась конечной.1045.2Углы Эйлера и матрица поворотаВновь вернемся к оператору конечных вращений.
Как следует из предыдущего параграфа, оператор поворота относительно некоторой оси n на угол φ для состояний с моментом j определяемый формулой (1.1), “не перемешивает” базисные вектора состояний с различными моментами(оператор jn коммутирует с со всеми проекциями оператора момента). Поэтому, можно записатьX (j)bn (φ)|j, mj i =(2.1)Dm0 m (n, φ)|j, m0 j i,Rm0где(j)bn (φ)|j, mj i−Dm0 m (n, φ) = hj, m0 j |R(2.2)матричные элементы соответствующего разложения “нового” вектора состояния, получившегося в результате преобразования поворота по “старым” состояниям (базису). Операцию поворота относительно некоторой оси n на угол φможно выразить через три угла Эйлера α, β, γ, совокупность которых обычно обозначают одной буквой o.
В этомслучае матричные элементы (2.2) называются функциямиВигнера (или просто D-функциями).Напомним (на всякий случай) определение углов Эйлера, которые позволяют совместить две произвольно ориентированные системы координат, имеющие общее начало.Обычно считают одну из систем координат неподвижной(лабораторной), а другую – подвижной (или связанной скакой-либо физической системой) (см рис.) Будем совмещать лабораторную систему с подвижной.1.
Сперва делают поворот на угол α относительно осиz, который описывается оператором Rz (α).2. Затем поворачивают на угол β относительно оси y 0 :Ry0 (β) = Rz (α)Ry (β)Rz−1 (α)105Рис. 2.1: Схема поворотов на углы Эйлера106илиRy0 (β)Rz (α) = Rz (α)Ry (β).(2.3)3. Последний поворот совершается на угол γ относительно оси z 00 :Rz 00 (γ) = (Rz (α)Ry (β)) Rz (γ) (Rz (α)Ry (β))−1 ,т.е.Rz 00 (γ)Rz (α)Ry (β) =Rz 00 (γ)Ry0 (β)Rz (α) ==Rz (α)Ry (β)Rz (γ).(2.4)Поскольку выше описан поворот системы координат, поворот физической системы для которой записан операторповорота (1.1), описывается оператором, обратным по отношению к оператору.
Получаем:bn (φ) = e−ijz γ e−ijy β e−ijz α .R(2.5)Таким образом для определения D-функции получаем формулу(j)Dm0 m (α, β, γ) = hj, m0 j |e−ijz γ e−ijy β e−ijz α |j, mj i == e−im γ hj, m0 |e−ijy β |j, mie−imα = e−im γ e−imα djm0 m (β).00(2.6)Как видим, основная сложность – получить выражения(j)для функции dm0 m (β). Мы здесь не будем приводить общее выражение для D-функций: его можно найти в любойкниге, в которой рассматривается группа вращений.
Мыпокажем, как ее можно относительно легко получить самостоятельно в некоторых частных случаях на двух примерах.1075.3Сложение моментов. Коэффициенты Клебша-ГорданаРассмотрим две невзаимодействующие системы (частицы)с моментами j1 и j2 . Тогда состояние первой системы определяется вектором |n1 , j1 , m1 i, а состояние второй – |n2 , j2 , m2 i.Здесь n1 и n2 обозначают остальные квантовые числа изполного набора физических величин. Состояние системыдвух невзаимодействующих частиц определяется вектором|n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i =|n1 , j1 , m1 i|n2 , j2 , m2 i ≡≡|j1 , m1 i|j2 , m2 i.(3.1)Очевидно, операторы, действующие на первую систему, недействуют на вторую и наоборот (соответственно они между собой коммутируют)fˆ1 |n1 , j1 , m1 i =|Φ1 i ≡Xhn01 , j10 , m01 |fˆ1 |n1 , j1 , m1 i|n01 , j10 , m01 i.≡n01 ,j10 ,m01(3.2)Аналогично и для второй системы:ноfˆ2 |n2 , j2 , m2 i = |Φ2 i,(3.3)fˆ1 |n2 , j2 , m2 i = |n2 , j2 , m2 ifˆ1 .(3.4)Поэтому имеем:fˆ1 |n1 j1 m1 ; n2 j2 m2 i = |Φ1 ; n2 j2 m2 i ≡ |Φ1i|n2 , j2 , m2 i, (3.5)fˆ2 |n1 j1 m1 ; n2 j2 m2 i = |n1 j1 m1 ; Φ2 i ≡ |n1 , j1 , m1 i|Φ2 i.
(3.6)108Соответственно, если оператор fˆ12 = fˆ1 fˆ2 , то согласно формуле (3.4)fˆ1 fˆ2 |n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i = fˆ1 |n1 , j1 , m1 ifˆ2 |n2 , j2 , m2 i == |Φ1 i|Φ2 i ≡ |Φ1 ; Φ2 i.(3.7)Как видим, действие оператора fˆ1 fˆ2 на вектор состояния|n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i = |n1 , j1 , m1 i|n2 , j2 , m2 i определяетсясогласно правилу прямого произведения. Действительно,пространство состояний всей системы имеет ранг, равныйпроизведению рангов пространств состояний каждой системы.
Количество базисных векторов равно произведениюсоответствующих чисел для каждой системы. Таким образом, вектор состояния всей системы есть прямое произведение векторов состояний каждой подсистемы. Соответственно и произведение операторов отличается от обычного (внутреннего) матричного произведения, поскольку этоопять прямое произведение операторов. Обычно знак прямого произведения (или суммы) не выделяют особо, считаяэтот факт очевидным, однако об этом всегда нужно помнить. Иными словами, строже было бы записать определение (s2) так:|n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i = |n1 , j1 , m1 i ⊗ |n2 , j2 , m2 i.(3.8)То же самое уточнение следует сделать и для произведения операторов.
Итак, будем сейчас рассматривать только состояния с определенным моментом и для простотыопустим набор остальных квантовых чисел (но они всегдаесть!). Для изолированной замкнутой системы, каковой ипредставляется наша система двух невзаимодействующихчастиц, E, P, M – интегралы движения. Поэтому в нашемслучае должен сохраняться полный (суммарный) моментколичества движенияM = M 1 + M2 ;bM → ~J;109M1,2 → ~bj1,2 .(3.9)Состояния системы описываются линейными комбинациями (2j1 + 1) · (2j2 + 1) независимых векторов |j1 , m1 i|j2 , m2 i.Это есть размерность пространства состояний системы двухчастиц с моментами j1 и j2 . Наша задача состоит в том,чтобы описать состояния всей системы с полным моментом J, образованным двумя независимыми моментами j1 иj2 , которые в свою очередь сами по себе в отдельности сохраняются, поскольку частицы между собой не взаимодействуют.
Иными словами, мы здеcь имеем интегралы движения j21 , j22 , J2 , Jz , которые и должны быть включены вполный набор физических величин. Или, как принято говорить, задать представление, в котором описывается нашасистема.Легко показать, что операторыJbz = ĵ1z + ĵ2z ;J2 = j21 + j22 + 2(j1 j2 )между собой коммутируют, а остальные компоненты удовлетворяют известным коммутационным соотношениям длямомента:[J2 , Jˆz ] = 0, [Jˆα , Jˆβ ] = ieαβγ Jˆγ .(3.10)СоответственноĴ2 |j1 , j2 , J, M i = J(J + 1)|j1 , j2 , J, M i,Jˆz |j1 , j2 , J, M i = M |j1 , jl2 , J, M i¾.(3.11)Прежде всего заметим, что, по определению J = max{M } =j1 + j2 .
Такое состояние одно:¾|J, Ji = |j1 +j2 , j1 +j2 i = |j1 , j1 i|j2 , j2 i,. (3.12)|J, J −1i = |j1 +j2 , j1 +j2 − 1i ∝ Jˆ− |J, JiПодействуем оператором J− на состояние с максимальнойпроекцией√Jb− |J, Ji = 2J|J, J − 1i =pp= 2j1 |j1 , j1 − 1i|j2 , j2 i + 2j2 |j1 , j1 i|j2 , j2 − 1i.110Получаем состояние с проекцией на 1 меньше:|J, J − 1i =ssj1j2|j1 , j1 −1i|j2 , j2 i +|j1 , j1 i|j2 , j2 −1i. (3.13)=j1 +j2j1 +j2Легко видеть, что существует вторая линейно независимая(ортогональная к первой) линейная комбинация˜ j1 + j2 − 1i =|J,ssj2j1=|j1 , j1 −1i|j2 , j2 i −|j1 , j1 i|j2 , j2 −1i.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
