Методичка по осциллятору, квантованию, матрице плотности (1129351), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Свойство сепарабельных состояний переходить при131частичном транспонировании в другую допустимую матрицу плотности называют критерием сепарабельности Переса. Это свойство оказывается необходимым условием, однако не достаточно в общем случае.6.3Состояние ВернераРассмотрим в качестве примера состояние системы двухспинов 1/2, описываемых матрицей плотности вида (состояние Вернера): 1+pp 00421−p 0004.(2.1)ρW = 1−p 000 p24001+p4Здесь p – непрерывный параметр.Матрица плотности (2.1) соответствует оператору плотности ρ̂, матричные элементы которого вычислены в стандартном базисе независимых состояний двух спинов:|1i = |+i|+i, |2i = |+i|−i,|3i = |−i|+i, |4i = |−i|−i.(2.2)Собственные значения матрицы плотности ρW (2.2) равны:ρ1 =1 + 3p,4λ2,3,4 = λ1 − p4.(2.3)Для того, чтобы собственные значения матрицы плотности(2.3) были положительными, параметр p может приниматьзначения:1(2.4)− < p < 1.3Таким образом, интервал возможных значений параметраp (2.4) описывает состояния Вернера.132Можно убедиться, что операция частичного транспонирования переводит матрицу плотности состояния Вернерав матрицу 1+p4 0ρPW =00001−p4p2p21−p40000 .0 (2.5)1+p4Легко видеть, что так построенная матрицы эрмитова иимеет единичный след.Собственные значения матрицы (2.5) равны:λP1 =1 − 3p,4λP2,3,4 =1+p.4(2.6)Условие положительности матрицы ρPW выполняется дляинтервала значений параметра−1 < p <1.3(2.7)Таким образом приходим к выводу, что при значениях1<p<13(2.8)состояние Вернера оказывается перепутанным, посколькунеобходимое условие сепарабельности 2.7) для этих значений параметра p нарушено.В более общем виде матрица плотности такого типа может быть представлена в виде:R11 00 R12 0 ρ11 ρ120 , Trρ = 1, ρ+ = ρ.
(2.9)ρ= 0 ρ21 ρ220 R21 00 R22133Условие неотрицательности матрицы плотности ρ (2.9) дают неравенства:¶¶µµR11 R12ρ11 ρ12≥ 0.(2.10)≥ 0, detdetR21 R22ρ21 ρ22Условия эрмитовости и неотрицательности означают:ρ11 ≥ 0, ρ22 ≥ 0,R11 ≥ 0, R22 ≥ 0.(2.11)Преобразование частичного транспонирования дает эрмитову матрицу с единичным следом:R1100ρ12 0ρ11 R120 .ρP = (2.12) 0 R21 ρ220 ρ2100 R22Условие неотрицательности матрицы ρP задает неравенствам:R11 R22 ≥ |ρ12 |2 , ρ11 ρ22 ≥ |R12 |2 .(2.13)При нарушении неравенств (2.13) матрица плотности (2.9),удовлетворяющая условиям (2.10) и (2.11) описывает перепутанные состояния.
Как видим, состояние Вернера (2.1)представляет частный случай состояния (2.9).134Глава 7Системы многих частиц7.1Cистема связанных гармоническихосцилляторовПрежде чем перейти к изучению систем многих частиц,рассмотрим систему с большим числом степеней свободы:N связанных одномерных гармонических осцилляторов. Дляэтой системы гамильтониан можно записать в видеXX Pb2kbk Qbl ,b =+Vkl Q(1.1)H2mkk,lkb k и Pbk – операторы обобщенных координат и импульгде Qсов, которые удовлетворяют известным коммутационнымсоотношениям:hi hihibk , Qb l = Pbk , Pbl = 0,b k , Pbl = i~δkl ,QQ(1.2)а матрица связи действительна и симметрична: Vkl = Vlk .Приведем гамильтониан (1.1) к более симметричномувиду, сделав замену переменных√b k , p̂k = √1 Pbk(1.3)q̂k = mk Qmk135и введя переопределение2Vkl ,Ukl = √m k mlтогда коммутационные соотношения останутся прежними(1.2), а гамильтониан примет вид:X1Xb =1Hp̂2k +Ukl q̂k q̂l .(1.4)22kk,lБудем считать, что матрица Ukl невырождена и положительно определена, тогда ее можно диагонализовать.
Диагонализация по сути дела означает переход к нормальнымкоординатам q̂α . Пусть переход к нормальным координатам осуществляется с помощью ортогональной матрицы:XXq̂α =Cαk q̂k , q̂k =Ckα q̂α(1.5)αkгдеXCαk Cβk = δαβ ,XCαk Cαl = δkl .αkПоскольку матрица Cαk диагонализует матрицу связи, можно записать1 :XCkα Vkl Clβ = ωα2 δαβ .(1.6)k,lСледовательноXXXXXUkl q̂k q̂l =UklCkα q̂αClβ q̂β =ωα2 q̂α2 .k,lk,lααβПоскольку операторы координаты и импульса канонически сопряжены, нормальные компоненты импульса также определяются матрицей Cαk :XXp̂α =Cαk p̂k , p̂k =Ckα p̂α ,(1.7)αk1Матрица связи положительно определена!136причем(1.8)[q̂α , p̂β ] = i~δαβ .Подставляя все введенные обозначения и определения вформулу (1.4), получаем гамильтониан в виде суммы гамильтонианов несвязанных осцилляторов:X¡¢b =1p̂2α + ωα2 q̂α2 .H2 α(1.9)Таким образом можно сделать вывод, что состояние системы осцилляторов можно представить в виде прямогопроизведения состояний одномерных осцилляторов, соответствующих нормальным степеням свободы.
Посколькусостояние одномерного осциллятора определяется толькоодним квантовым числом n, имеем:|Ψi = |n1 i ⊗ |n2 i ⊗ · · · ⊗ |nN i ≡NYα=1⊗|nα i.(1.10)Здесь мы явно написали знак прямого произведения, поскольку пространство состояний N осцилляторов имеет размерность произведения размерностей пространств состояний одномерных осцилляторов. Очень часто знак прямогопроизведения ⊗ опускают для простоты, или считая этосамо собой разумеющимся, однако по крайней мере одинраз все нужно написать в явном виде.
Энергия системыосцилляторов равна сумме энергий. Соответственно, как идля одного одномерного осциллятора удобно ввести повы-137шающий и понижающий операторы:µr¶ωαi1q̂α + √âα = √p̂α ,~~ωα2µr¶iωα1+q̂α − √p̂α ,âα = √~~ωα2rr¢¢~ ¡ +~ωα ¡ +âα + âα , p̂α = iâα − âα .q̂α =2ωα2(1.11)(1.12)Так введенные нами операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям:iihh+(1.13)âα , â+[âα , âβ ] = â+α , âβ = 0,β = δαβ .Учитывая определения операторов и их коммутационныесоотношения (1.13), запишем гамильтониан (1.1) в виде:¶µX1b =.(1.14)H~ωα â+â+α α2αСоответственно, собственные состояния задаются совокупностью N чисел nα и их можно записать как"#Y (a+ )nαα√|Ψi ≡ |n1 n2 , . . . nN i =|00 .
. . 0i,(1.15)nα !αа уровни энергии равны:En1 ,n2 ,...nN =X(nα + 1/2) ~ωα .(1.16)αPЭнергия основного состояния |00 . . . 0i равнаα ~ωα /2 идля системы с бесконечным числом степеней свободы обращается в бесконечность. Поэтому обычно энергию системы переопределяют, отсчитывая от энергии основного состояния.
В таком случае в формулах (1.14) и (1.16) 1/2 вскобках исчезает.138Подводя итог параграфа, можно сказать, что системасвязанных осцилляторов может быть представлена как ансамбль независимых осцилляторов, а энергия системы равна сумме энергий всех независимых подсистем. При этомзаметим, что если рассматривать только энергию системы(1.16), ее можно представить как сумму энергийXN =nααосцилляторов, из которых nα описываются одинаковой частотой ωα и находятся на первом возбужденном уровне.Теперь в нашем описании получили, что все nα осцилля√торов неразличимы, что выражается множителем nα ! взнаменателе.
Заметим, что nα ! – число перестановок одинаковых (тождественных) осцилляторов.7.2Cистемы тождественных частицПерейдем к рассмотрению систем тождественных частиц.Как известно, есть два принципиально разных “сорта"частиц,которые отличаются своими свойствами относительно перестановки их в системе. Поскольку тождественные частицы физически неразличимы, отличие в описании этих двухсортов частиц может быть выражено только лишь в различном поведении состояний (волновых функций) относительно перестановки частиц местами.
Мы видели в предыдущем параграфе, что состояние системы независимых частиц может быть записано в виде прямого произведенияодночастичных состояний. Если мы условно пронумеруемвсе эти независимые различные частицы и в произведенииместо каждого сомножителя в прямом произведении будетсоответствовать частице с данным номером, тогда такое139N -частичное состояние будет записано в виде:|ψi = |ψ1 i|ψ2 i .
. . |ψN i.(2.1)Поскольку все одночастичные состояния определены в своих одночастичных пространствах, скалярное произведение двух N -частичных состояний естьhϕ|ψi =(hϕ1 |hϕ2 | . . . hϕN |)(|ψ1 i|ψ2 i| . . . |ψN i) ==hϕ1 |ψ1 ihϕ2 |ψ2 i . . . hϕN |ψN i.(2.2)Волновая функция N -частичного состояния (2.1) может быть записана какψ(r1 , r2 , . . .
rN) = hr1 |hr2 |. . .hrN ||ψi = ψ(r1)ψ(r2) · · · ψ(rN). (2.3)Волновая функция (2.3) не обладает никакой симметриейотносительно перестановки частиц, поскольку они в данном случае все различимы.Систему N независимых тождественных частиц такжеможно описать на языке одночастичных состояний, однаков силу неразличимости частиц мы теперь не можем пронумеровать их. Поэтому мы можем только констатироватьфакт, что в данном N -частичном состоянии представленыN , вообще говоря различных, одночастичных состояния.Сохраняя теперь вместо нумерации частиц нумерацию состояний, мы должны полностью симметризовать или антисимметризовать N -частичное состояние тождественныхчастиц.
Как известно, симметричными состояниями описываются бозе-частицы, а антисимметричными – фермичастицы. Введем параметр ζ, который принимает значения½+1 для бозе-частиц,ζ=(2.4)−1 для ферми-частиц.Для тождественных частиц имеет место свойство:|ψ1 i. . .|ψi i. . .|ψk i. . .|ψNi = ζ|ψ1 i. . .|ψk i. . .|ψi i. . .|ψNi. (2.5)140Теперь состояние (2.5) можно выразить через одночастичные состояние, проведя все возможные перестановки:1 X Pζ |ψP (1) i|ψP (2) i. . .|ψP (N )i, (2.6)|ψ1 , ψ2 , . . .
, ψNiζ = √N! Pгде символ P означает все перестановки N аргументов.Нам нужно уметь переходить от векторного представления(2.6) к волновым функциям. Для этого следует определитьскалярное произведение таких (анти)симметризованных выражений. Запишем вектор бра:Xζ Q hϕQ(1) |hϕQ(2) | · · · hϕQ(N ) |ζ hϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕN | =Qи найдем скалярное произведение его с вектором (2.6):ζ hϕ1 , ϕ2 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
