Методичка по осциллятору, квантованию, матрице плотности (1129351), страница 17
Текст из файла (страница 17)
. i = |α1 , α2 , . . . i,где nα = 0, 1.(4.6)Операторы рождения и уничтожения для ферми-частицудовлетворяют антикоммутационным соотношениям:+{aα , aα0 } = {a+α , aα0 } = 0,0{aα , a+α0 } = δαα ,где{A, B} = AB + BA−149антикоммутатор.(4.7)Подействуем теперь операторами рождения и уничтожения на базисные состояния ферми-системы в представлении чисел заполнения: 0,если nα = 1,a+|n,n...i=|n , n . . . |{z}1 . . . i, если nα = 0,α 1 2 1 2α 0,если nα = 0,aα |n1 , n2 .
. . i = |n1 , n2 . . . 0 . . . i, если nα = 1.(4.8)|{z}αЛегко видеть, то операторы числа частиц в одночастичномсостоянии и полного числа частиц равны:XNα = a +a,N=a+(4.9)ααα aα ,αИз антикоммутационных соотношений (4.7) и определения(4.9) следуетaα a+α = 1 − Nα .До сих пор мы рассматривали дискретные квантовыечисла, между тем, с одной стороны, весьма часто базисныесостояния могут определяться непрерывным спектром, а, сдругой стороны, часто состояния удобно описывать непрерывными волновыми функциями. Заметим при этом, чтосостояния непрерывного спектра нормированы на δ-функцию.Например, пусть одночастичный базис определяет состояния с определенным значением импульса (свободные частицы) и hp0 |pi = δ(p0 − p), тогда коммутационные соотношения (3.10)перепишутся+0âp0 â+p − ζâp âp0 = δ(p − p).(4.10)Можно также определить операторы рождения и уничтожения частицы в точке пространства r.
В этом случае150принято вводить немного новое обозначение для полевогоψ-оператора, соответственно ψ̂ + (r) и ψ̂(r), тогдаψ̂(r0 )ψ̂ + (r) − ζ ψ̂ + (r)ψ̂(r0 ) = δ(r − r).(4.11)Вспомним, что операторы рождения и уничтожения в определенном смысле эквивалентны состояниям, поэтому совершенно аналогично можно переходить от одного представления операторов к другому с помощью соответствующих матриц перехода. Например, мы помним, что переходот координатного к импульсному представлению осуществляется с помощью матрицы перехода, которая есть по сутидела волна де-Бройля, поэтому можно записать связь: 2Zdp−1ei~ pr ap ,ψ̂(r) =3/2(2π~)Zdp−1ψ̂ + (r) =e−i~ pr a+(4.12)p.3/2(2π~)Обратное преобразование имеет вид:Zdr−1e−i~ pr ψ̂(r),ap =(2π~)3/2Zdr−1+ap =ei~ pr ψ̂ + (r).3/2(2π~)(4.13)Соотношения (4.12) можно обобщить и на любой другой,в частности дискретный, базис.
При этом легко видеть чтороль матрицы перехода будет играть соответствующая волновая функция дискретного одночастичного базиса ϕn (r):XXψ̂(r) =ϕn (r)an , ψ̂ + (r) =ϕ∗n (r)a+(4.14)n.nn2Иногда соотношение (4.12) опеределяют “несимметрично”, по отношению к обратному преобразованию, тогда знаменатель в подынтегральном выражении равен 1, а в формуле (4.13) равен (2π~)3 .151Соотношения (4.12) и (4.14) определяют операторы уничтожения и рождения рождения частицы в точке r, приописании ее состояний в соответствующих представлениях.С помощью ψ-операторов можно записать оператор плотности числа частицρ̂(r) = ψ̂ + (r)ψ̂(r)(4.15)и соответственно полное число частиц естьZZN = drρ̂(r) = drψ̂ + (r)ψ̂(r).7.5Представление основных операторовПолучим теперь выражение основных операторов в представлении вторичного квантования. Основы для данногоописания заложены в начале параграфа 5.3.
Покажем, чтолюбой одночастичный оператор fˆ можно записать в виде:Xfˆ =fnk |nihk|,(7.1)n,kгде |ni - одночастичный базис. Действительно, подействуемоператором (7.1) на произвольную одночастичную функцию:XXfˆ|ψi =fnk |nihk|ψi =fnk ck |nin,kn,kПолучили выражение, совпадающее с формулой (3.1).При описании любой многочастичной системы вводятсяоператоры, которые действуют только на состояние однойчастицы – одночастичные операторы; операторы, которыеописывают взаимодействие двух частиц – двухчастичныеоператоры и т.д.
Очевидно, запись этих операторов в представлении вторичного квантования будет различной.152Определим действие одночастичных операторов на N частичное состояние |ψiζ . Очевидно, что в линейной комбинации (2.6) одночастичный оператор может действоватьтолько на одну частицу. Поскольку в системе тождественных частиц она может находиться в любом состоянии, одночастичный оператор должен подействовать на все одночастичные состояния, в которых может находиться частица.Мы видели, что одночастичный оператор заменяет однобазисное состояние на другое с весом, равным соответствующему матричному элементу (7.1).
Поэтому мы должныобобщить такой подход на симметризованное многочастичное базисное состояние. Пусть |ϕi – одно из нормированныходночастичных базисных состояний. Определим действиеоператора a+ (ϕ1 )a(ϕ2 ) на N -частичное состояние |ψiζ :a+ (ϕ1 )a(ϕ2 )|ψiζ ==NXk=1ζ k−1 hϕ2 , ψk i|ϕ1 , ψ1 , . . . , ψk−1 , ψk+1 , . . . , ψN i.(7.2)Заметим далее, что в формуле (7.2) можно поставить состояние |ϕ1 i на место состояния |ψk i :ζ k−1 |ϕ1 , ψ1 , . . . , ψk−1 , ψk+1 , .
. . , ψN i ==|ψ1 , . . . , ψk−1 , ϕ1 , ψk+1 , . . . , ψN i.Таким образом, любой одночастичный оператор можно представить в виде:Xfˆ(1) =fmn a+(7.3)m an ,m,nгде an ≡ a(ϕn ).Пример.Пусть в качестве одночастичного базиса выбраны собствен153ные состояния гамильтониана одной (невзаимодействующей с другими частицами) частицы:bH|ni= En |ni,тогда в представлении вторичного квантованияXb =HEn a +n an .(7.4)nУпражнения.1. Записать оператор импульса в импульсном представлении.2. Выразить оператор импульса через полевые операторыи записать его в координатном представлении.3. Записать гамильтониан в импульсном представлении.4.
Выразить гамильтониан через полевые операторы и записать его в координатном представлении.Рассмотрим теперь представление операторов, описывающих взаимодействие двух частиц – двухчастичное взаимодействие: V (r1 − r2 ) = V (r2 − r1 ). Легко видеть, чтосказанное об одночастичном операторе аналогичным образом обобщается и на двухчастичный случай: здесь одновременно должны измениться два одночастичных состояния вN -частичном состоянии |ψiζ . Пусть в качестве одночастичного базиса выбраны состояния с дискретным спектром также как и в формуле (7.3), тогда можно записать:1Vb (2) =2!X+Vmn,m0 n0 a+m a n a n 0 a m0 ,m,m0 ,n,n0где матричный элемент³´Vmn,m0 n0 = hm, n|V |m0 , n0 i ≡ hm| hn|Vb |n0 i |m0 i,154(7.5)а коэффициент перед знаком суммирования учитывает число перестановок одинаковых частиц.Совершенно аналогично можно записать в представлении вторичного квантования любой оператор n-частичноговзаимодействия, не забывая при этом число перестановокn!.Упражнения.1.
Записать оператор парного взаимодействия через полевые операторы.2. Записать оператор парного взаимодействия в импульсном представлении.3. Записать оператор n-частичного взаимодействия в представлении вторичного квантования.7.6Матрица плотности в представлениичисел заполненияМы получили выражение для матрицы плотности (статистического оператора) для ансамбля систем с определенной полной энергией (канонический ансамбль), при этоммы считали, что в каждой подсистеме ансамбля число частиц (состояний) не может измениться. Матрица плотностиимела видbρ = Z −1 e−β H ,(6.1)где статистическая сумма определена какbZ = T re−β H ,(6.2)а β > 0 – некоторый параметр.
Очевидно, вычислять следоператора удобно в представлении, когда операторная экспонента диагональна, т.е. в базисе собственных состоянийгамильтониана. Такая возможность реально представляется в случае, когда можно рассматривать невзаимодействующие подсистемы. То же самое можно сказать и о самой155подсистеме, состоящей из многих тождественных частиц:корректно определить состояния можно только в приближении невзаимодействующих частиц, когда хорошо определены одночастичные состояния. Поскольку в дальнейшем для нас важное значение будет играть тип частиц,выделим в одночастичных наборах величин в явном видепроекцию спина частицы и определим полный набор величин для одночастичных состояний как |ν, σi.
Тогда гамильb 0 системы невзаимодействующих тождественныхтониан Hчастиц имеет вид:XXb0 =Hεν a +(6.3)ν,σ aν,σ .νσНапомним, что энергия одночастичного состояния εν не зависит от спинового состояния.Запишем теперь матрицу плотности с гамильтонианом(6.3):!ÃXX−1+(6.4)ρ = Z exp −βεν aν,σ aν,σνσи, соответственно, статистическую сумму:Ã!XXXXXexp −βεν nν,σ ,Z=nν,σ = N. (6.5)νnν,σσνσЗдесь мы учли, что+ζ hψ|aν,σ aν,σ |ψiζ= nν,σ .Суммирование в формуле (6.5) при дополнительном условии фиксированного числа частиц не позволяет продвинуться далее этой записи, поскольку многочастичные состоянияимеют определенную перестановочную симметрию, что делает невозможным факторизацию выражения и, соответственно, сведение его к вычислению одночастичных статистических сумм. Действительно, для бозе-частиц числа156nν,σ могут принимать любые целые неотрицательные значения, тогда как для ферми-частиц nν,σ = 0, 1.Для сравнения рассмотрим ансамбль N различимых частиц, которые тем не менее описываются совершенно одинаковыми наборами квантовых чисел и обладают одинаковым энергетическим спектром (в этом случае квантовоечисло σ = 0).
Пусть в состоянии с набором чисел ν находится nν частиц, тогда число состояний в ансамбле длятакой одночастичной конфигурации равноΓν =N!,nν1 !nν2 ! . . .(6.6)а статистическая сумма такого канонического ансамбля равнаZ=XΓν e−βPεν n ννP {nν };nν = N=XP {nν };nν = NN ! Y −βεν nνQe.nν ! νОбратим теперь внимание на то, что числа состояний (6.6)есть полиномиальные коэффициенты, поэтому можем окончательно записать:!NÃXZ=e−βεν= Z1N .(6.7)νДля ферми и бозе статистик полиномиальный коэффициент в результате суммирования не возникает, поэтому статистическая сумма не факторизуется, т.е.
не содится к одночастичной статсумме Z1 . Оказывается факторизацию можно провести, если снять ограничение на фиксированное число частиц. Но в таком случае рассматриваемые ансамбличастиц будут отличаться от канонических.1577.7Большой канонический ансамбльРассмотрим теперь ансамбль подсистем большой замкнутой изолированной системы, который может обмениватьсяне только энергией, но и частицами с остальной частьюсистемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
