Методичка по осциллятору, квантованию, матрице плотности (1129351), страница 16
Текст из файла (страница 16)
. . , ϕN |ψ1 , ψ2 , . . . , ψN iζ==1 X Q Pζ ζ hϕQ(1) |hϕQ(2) |· · ·hϕQ(N) ||ψP (1)i|ψP (2)i. . .|ψP (N)i =N!Q,P1 X Q P=ζ ζ hϕQ(1) |ψP (1)ihϕQ(2) |ψP (2)i· · ·hϕQ(N ) |ψP (N )i =N!Q,P1 X Q P=ζ ζ hϕ1 |ψP Q−1 (1)ihϕ2 |ψP Q−1 (2)i· · ·hϕN |ψP Q−1 (N)i =N!Q,P1 X P Q−1ζhϕ1 |ψP Q−1 (1) ihϕ2 |ψP Q−1 (2)i· · ·hϕN |ψP Q−1 (N)i.=N ! −1PQОбозначая перестановку P Q−1 = R Pи учитывая, что остающееся независимое суммирование Q = N !, получаем:ζ hϕ1 . .
.ϕN |ψ1 . . .ψN iζ =Xζ R hϕ1 |ψR(1) i· · ·hϕN |ψR(N) i.R141(2.7)Можно заметить, что для ферми-частиц сумма (2.7) представляет собой детерминант матрицы− hϕ1 , . . . , ϕN |ψ1 , . . . , ψN i−hϕ1 |ψ1 i . . .......=det hϕN |ψ1 i . . .=hϕ1 |ψN i....hϕN |ψN i(2.8)Легко видеть, что никакие две ферми-частицы не могутнаходиться в одинаковом состоянии.Для бозе-частиц вместо детерминанта в выражении (2.7)стоит полностью симметричная сумма скалярных произведений, которая называется перманентом.В дальнейшем остается условиться, как нумеровать одночастичные состояния. Очевидно, для описания одночастичных состояний удобно выбрать ортонормированный базис |βi i, где βi полный набор квантовых чисел, необходимых для описания данных одночастичных состояний.
Можно пронумеровать в порядке возрастания какой-либо величины, скажем, энергии. Тогда N -частичное состояниеможно записать как |β1 , β2 . . . βNi, где β1 ≤ β2 . . . βN длябозе-частиц. Поскольку ферми-частицы не могут находиться в одинаковых состояниях |αi i, следует оставить строгиенеравенства в определении N -частичного состояния|α1 , α2 , . . . αN i и α1 < α2 < · · · < αN . Полученное так N частичное состояние для ферми-частиц нормировано, а длябозе-частиц не будет нормированным, если в |βi i состояниинаходится ni > 1 частиц.
Нормировка достигается делением на корень квадратный из соответствующего числа перестановок. Таким образом можно записать:|β1 , β2 . . . βN i√; β1 ≤ β2 ≤ · · · ≤ βN для бозе-частиц, (2.9)n1 !n2 ! . . .|α1 , α2 , . . . αN i; α1 < α2 < · · · < αN для ферми-частиц.142Итак, совокупность состояний (2.9) составляет базис впространстве N -частичных состояний соответственно бозеи ферми-систем. Если мы рассматриваем системы с переменным числом частиц, пространство состояний таких систем должно быть прямой суммой пространств всех возможных N -частичных состояний:X|Ψi = |ψ (1) i⊕|ψ (2) i⊕· · ·⊕|ψ (N ) i⊕· · · =⊕|ψ (N ) i. (2.10)N =1Очевидно, по определению состояния в подпространствах сразным числом частиц ортогональны.
Обычно вместо знака прямой суммы пишут знак обычного суммирования, полагая такое представление очевидным. Мы также для простоты в дальнейшем будем писать вместо знака ⊕ знакобычного суммирования, полагая, что это не приведет вдальнейшем к недоразумениям. Пространство состояний(2.10) называется пространством Фока.7.3Операторы рождения и уничтожения.Вернемся к определению действия операторов на векторысостояний.
Как помним, действие любого оператора на произвольный вектор состояния в общем случае приводит кизменению вектора. Для того, чтобы построить оператор,выбирают некоторое представление, в котором операторвсегда можно записать в виде матрицы. Вид матрицы определяется выбором базиса:X|ψi =cn |ni,nfˆ|ψi =Xn,kfkn cn |ki.143(3.1)Здесь fkn = hk|fˆ|ni, и можно определить c̃k =тогдаXfˆ|ψi ≡ |ϕi =c̃k |ki.Pn fkn cn ,kНа первый взгляд мы ничего нового не написали, а всеголишь занимались переобозначениями.
Однако попробуемобъяснить словами проведенные манипуляции. Как видноиз формулы (3.1) действие оператора на состояние в выбранном представлении сводится к тому, что состояние |ni“заменяется"на другое состояние |ki. Эту замену формально также можно описать, введя новые операторы, позволяющие заменять одно состояние на другое. Проще всеготакую операцию определить, разбив ее на два этапа: напервом этапе избавляемся от “старого”состояния, а на втором этапе вводим “новое”. Определим оператор, которыйпозволяет избавляться от существующего состояния:ân |ni = |0i,(3.2)где новый вектор |0i будет обозначать, что это состояниепустое. Теперь из этого пустого состояния необходимо получить другое состояние. Для этого определим второй оператор, который создает искомое состояние:â+k |0i = |ki.(3.3)Тогда состояние |ni переходит в состояние |ki простым действием:|ki = â+k ân |ni.Имея операторы â+k в количестве, равном числу состояний (вообще говоря бесконечном), можно построить всесостояния из одного “пустого", а произвольный вектор состояния и оператор в формуле (3.1), соответственно пред-144ставить в виде:|ψi =fˆ|ψi =XnXn,kcn â+n |0i,cn fkn â+k ân |ni.(3.4)Как видим из полученной формулы (3.4) роль базисныхвекторов взяли на себя операторы â+k и единственный вектор |0i.
В обычном случае смысл введения новых операторов кажется весьма сомнительным, однако при описаниисистем тождественных частиц аппарат, использующий такие операторы, становится наиболее адекватным.Определим оператор â+ (ϕ) таким образом, что при действии на любое N -частичное состояние он переводит его вN + 1-частичное следующим образом:â+ (ϕ)|ψ1 , . . . , ψN i = |ϕ, ψ1 , . .
. , ψN i.(3.5)Такой оператор â+ (ϕ) называется оператором рождения.Введенный таким образом оператор неэрмитов, поскольку¡ +¢+â (ϕ)|ψ1 , . . . , ψN i = hψ1 , . . . , ψN |â(ϕ) = hϕ, ψ1 , . . . , ψN |.Сопряженный оператор â(ϕ) называется оператором уничтожения. Действительно, по определениюhψ1 . . . ψN |â(ϕ)â+ (ϕ)|ψ1 . .
. ψN i = hψ1 . . . ψN |ψ1 . . . ψN i = |c|2 ,следовательно вектор â(ϕ)â+ (ϕ)|ψ1 , . . . , ψN i N -частичныйи, таким образом, оператор уничтожения переводит N +1-частичное состояние в N -частичное. Определим теперьдействие оператора уничтожения на N -частичное состояние.Вычислим матричный элементC(ϕ) = hχ1 , . .
. , χN −1 |â(ϕ)|ψ1 , . . . , ψN i =145¡¢∗= hψ1 . . . ψN |â+ (ϕ)|χ1 . . . χN−1i = hψ1 . . . ψN |ϕ, χ1 . . . χN−1i∗.Cогласно определению скалярного произведения N -частичныхсостояний (2.7) получаемC ∗(ϕ) =NXk=1ζ k−1 hψk |ϕihψ1 . . . ψk−1 ψk+1 . . . ψN |χ1 . . . χN −1 i.В силу произвольности N−1-частичного состояния hχ1 . . . χN−1|окончательно имеем:â(ϕ)|ψ1 .
. . ψN i =NXk=1ζ k−1 hϕ|ψk i|ψ1 . . . ψk−1 , ψk+1 . . . ψN i. (3.6)Определим теперь перестановочные соотношения длявведенных операторов рождения и уничтожения. Легко видеть, чтоâ+ (ϕ1 )â+ (ϕ2 ) = ζâ+ (ϕ2 )â+ (ϕ1 ).(3.7)Соответственно для операторов уничтожения такжеâ(ϕ1 )â(ϕ2 ) = ζâ(ϕ2 )â(ϕ1 ).Иными словами операторы рождения и, соответственно,операторы уничтожения между собой коммутируют длябозе-частиц и антикоммутируют для ферми-частиц.Получим теперь перестановочные соотношения междуоператорами рождения и уничтожения.
Имеем:â(ϕ1 )â+ (ϕ2 )|ψ1 . . . ψN i = â(ϕ1 )|ϕ2 , ψ1 . . . ψN i ==hϕ1 |ϕ2 i|ψ1 . . . ψN i++NXk=1ζ k hϕ1 |ψk i|ϕ2 , ψ1 . . . ψk−1 , ψk+1 . . . ψN i.146(3.8)Действие операторов в обратном порядке дает:â+ (ϕ2 )â(ϕ1 )|ψ1 , . . . , ψN i ===NXk=1NXk=1ζ k−1 hϕ1 |ψk iâ+ (ϕ2 )|ψ1 , .
. . , ψk−1 , ψk+1 , . . . , ψN i =ζ k−1 hϕ1 |ψk i|ϕ2 , ψ1 , . . . , ψk−1 , ψk+1 , . . . , ψN i.(3.9)Умножим выражение (3.9) на ζ и вычтем его из (3.8). Врезультате получим:â(ϕ1 )â+ (ϕ2 ) − ζâ+ (ϕ2 )â(ϕ1 ) = hϕ1 |ϕ2 i.(3.10)Если одночастичные состояния представляют собой ортонормированнный базис |αi, коммутатор (3.10) принимаетпростой вид:+0(3.11)âα â+α0 − ζâα0 âα = δαα .7.4Представление чисел заполненияДля системы тождественных частиц по сути дела не имеет смысла перечислять все одночастичные состояния, вкоторых находятся N частиц, тем более если мы рассматриваем состояние, которое представляется суперпозициейнекоторых базисных состояний. Действительно, для системы ферми-частиц, никакое одночастичное состояние не может повториться, поэтому есть смысл только указать,представлено ли данное одночастичное состояние или нет.Для системы бозе-частиц никаких ограничений на этот счетнет, поэтому нам нужно знать только сколько частиц находится в данном одночастичном состоянии.
Иными словами,нам следует перейти от избыточно детального представления (2.6) и, соответственно, базиса (2.9) к представлению, в147котором содержится информация только о том, представлено ли данное одночастичное состояние в рассматриваемом N частичном и сколько частиц в нем находится. Такоепредставление называется представлением чисел заполнения. Для построения данного представления следует рассмотреть случаи бозе- и ферми-частиц раздельно.Бозе-частицы.
Этот случай в некотором смысле проще, поэтому рассмотрим его первым. Как следует из вводных замечаний к этому параграфу, следует ограничитьсятолько рассмотрением базисных состояний (2.9). Для бозечастиц запишем:1|n1 , n2 , . . . i = √| β1 . . . β1 , β2 . . . β2 , .
. . i.n1 !n2 ! . . . | {z } | {z }n1(4.1)n2Если теперь предположить, что каждое nβ может принимать любое целое неотрицательное значение (nβ = 0, 1, 2, . . . ),множество всех векторов (4.1) составляет базис в пространстве состояний (2.10). Для базисных ортонормированныходночастичных состояний операторы рождения и уничтожения удовлетворяют простым коммутационным соотношения, которые в точности совпадают с коммутационнымисоотношениями для повышающих и понижающих операторов системы связанных гармонических осцилляторов:+[aβ , aβ 0 ] = [a+β , aβ 0 ] = 0,0[aβ , a+β 0 ] = δββ .(4.2)Заметим, что в физике очень часто возбужденные состояния можно описать как системы элементарных возбуждений – квазичастиц, которые описываются бозевскими илифермиевскими функциями. Если эти возбуждения описываются гамильтонианом осцилляторного типа, состояния втакой системе, имеющей вообще говоря, переменное число частиц, описываются состояниями (4.1), однако для них148можно ввести операторы рождения и уничтожения, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям (4.2),связав их с обобщенными импульсами и координатами.
Вобщем случае коммутационные соотношения (4.2) следуютиз свойств симметрии относительно перестановки частиц.Подействуем операторами рождения и уничтожения насостояния (4.1):pnβ + 1|n1 , n2 , . . . , nβ + 1, . . . i,a+β |n1 , n2 , . . . i =√(4.3)aβ |n1 , n2 , . . . i = nβ |n1 , n2 , . . . , nβ − 1, . . . i.Легко видеть, что эрмитов операторNβ = a +β aβ(4.4)есть оператор числа частиц в данном одночастичном состоянии. Соответственно оператор полного числа частицестьXb=Na+(4.5)β aβ .βДля ферми-частиц базисное состояние (2.9) можно записать как|n1 , n2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
