Методичка по осциллятору, квантованию, матрице плотности (1129351), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Посколькутолько диагональные элементы матрицы плотности определяют распределение вероятностей, очевидно, что из распределения вероятностей нельзя найти недиагональные элементы матрицы плотности, поскольку для этого требуетсязнание не только модуля, но и фазы. Поэтому уместно задать такой вопрос: мы знаем модуль (квадрат модуля) волновой функции только в одной системе отсчета в фазовомпространстве. Что изменится, если мы будем знать модульволновой функции во многих системах отсчета, описываемых набором параметров (например, параметров поворота)?В таком случае распределение w(x, θ) = |ψ(, θ)|2 зависит от двух переменных, а задача восстановления по функции двух переменных другой функции двух переменныхρ(x, x0 ) уже не представляется заведомо невыполнимой. Именно эта программа и реализуется при задании квантовых состояний функциями распределения вероятностей.
А именно, строятся только диагональные элементы матрицы плотности, но в ансамблях систем отсчета, задаваемых достаточным набором параметров. Затем по известной диагонали матрицы плотности как функции параметров системотсчета вычисляются недиагональные элементы матрицыплотности с использованием нетривиальных, но не оченьсложных интегральных преобразований.Данная программа проходит как для непрерывных переменных типа координаты, так и для дискретных наблюдаемых типа спина, но со своими особенностями при использовании ансамблей систем отсчета, в которых задается диагональ матрицы плотности. Для координаты системы отсчета задаются в фазовом пространстве, причемиспользуются такие параметры, отличающие системы, как94поворот осей и изменение масштаба.
В случае спина используются системы отсчета в обычном (конфигурационном) пространстве, а в качестве параметров, отличающихэти системы, выбираются углы Эйлера.4.4Уравнение эволюции для томографического распределенияУравнение эволюции для томографического распределенияполучается из уравнения Мойала (2.21) после установления соответствий дифференцирования и умножения между функцией Вигнера W (q, p, t) по своим переменным исоответствующими операциями для томографической вероятности w(X, µ, ν, t) по своим собственным переменным.Это соответствие устанавливается аналогично соответствиям (2.12)-(2.19) между операциями для матрицы плотностии функции Вигнера.Установим сперва чему соответствует операция умножения функции Вигнера на обобщенную координату длятомографической вероятности.
Запишем формально (рассматриваем момент времени t = 0):Z1dxdµdνw(x, µ, ν)qe−i(µq+νp−x) .(4.1)qW (q, p) =2πУмножение экспоненты под знаком интеграла можно заменить дифференцированием по параметру µ. Это можно сделать, поскольку сама экспонента зависит только откомбинации µq. После этого проинтегрируем по частям иполучим:¶µZ1∂qW (q, p) =dxdµdν −i w(x, µ, ν) e−i(µq+νp−x) . (4.2)2π∂µЗдесь, однако, мы не можем сказать, что умножению наобобщенную координату функции Вигнера соответствует95взятие производной от томографической вероятности, поскольку интегральное преобразование связывает между собой все три аргумента томографического распределения сдвумя аргументами функции Вигнера. Поэтому пойдем теперь в обратном направлении и определим, чему соответствует взятие производной от томографического распределения по одному из параметров:Z∂ 1∂w(x, µ, ν) =dqdpdkW (q, p)e−ik(x−µq−νp) =∂µ∂µ (2π)2Z³´1−ik(x−µq−νp)=dqdpdkW(q,p)ikqe=(2π)2µ¶Z1∂ −ik(x−µq−νp)=dqdpdkW (q, p) iqi e=(2π)2∂xZ∂ 1dqdpdkqW (q, p)e−ik(x−µq−νp) .(4.3)=−∂x (2π)2Теперь можно записать искомое соответствие:µ ¶−1∂∂w(x, µ, ν).qW (q, p) = −∂x∂µ(4.4)Здесь смысл обратной производной определен выражением(4.3).Как видно из формулы (4.3) умножению функции Вигнера на обобщенную координату соответствует взятие производной от томографической вероятности по “сопряженной” переменной (с определенным “довеском”.) Можно предположить, что взятию производной от функции Вигнерапо обобщенной координате будет соответствовать операция умножения но соответствующую сопряженную переменную томографической вероятности.
Иными словами, возникает соответствие, аналогичное соответствию между различными представлениями операторов в квантовой механике (например, вид оператора координаты в координат96ном и импульсном представлениях). Поэтому сразу рассмотрим обратное соотношение, а именно:Z1dqdpdkW (q, p)µe−ik(x−µq−νp) =µw(x, µ, ν) =(2π)2µ¶Z11 ∂=dqdpdkW (q, p)e−ik(x−µq−νp) .(4.5)(2π)2ik ∂qПродифференцируем выражение (4.5) по координате:∂w(x, µ, ν) =∂x Z∂1dqdpdkW (q, p) e−ik(x−µq−νp) .−(2π)2∂qµ(4.6)Интегрируя по частям правую часть выражения (4.6), получаем искомое соотношение:∂∂W (q, p) = µ w(x, µ, ν).∂q∂x(4.7)Полученные соответствия можно условно записать в виде:µ ¶−1∂∂∂∂,−→ µ .(4.8)q −→ −∂x∂µ∂q∂xЗдесь взятие “обратной производной” (∂/∂x)−1 следует понимать как взятие неопределенного интеграла по соответствующей переменной.Упражнение.Получить соответствия умножению на обобщенный импульси взятию по нему производной:µ ¶−1∂∂pW (q, p) = −w(x, µ, ν);(4.9)∂x∂ν∂∂W (q, p) =ν w(x, µ, ν).(4.10)∂p∂x97Уравнение для томографического распределения получается в результате подстановки полученных соотношений(4.8) и (4.9) в уравнение Мойала (2.21):!" à µ ¶∂w∂ν ∂∂ −1 ∂−−µ w − i U −−i∂t∂ν∂x∂µ2 ∂xà µ ¶!#∂ −1 ∂ν ∂−U −w = 0.(4.11)+i∂x∂µ 2 ∂xТак же, как и в формуле (2.23) видно, что в выражении вквадратных скобках уравнения (4.11) остается только мнимая часть функции потенциальной энергии, поэтому можно записать:õ ¶−1 !∂w∂ν ∂∂∂− µ w − 2ImU i−w = 0.
(4.12)∂t∂ν2 ∂x∂x∂µУпражнение.Показать, что для одномерного гармонического осциллятора с гамильтонианом (в безразмерных единицах)22b = p̂ + q̂H22(4.13)уравнение эволюции для томографического распределениявероятности имеет вид:ẇ − µ∂∂w + ν w = 0.∂ν∂µ98(4.14)Глава 5Представлениевероятностей длядискретного спектра напримере моментаколичества движенияПрежде чем начать изложение соответствующего представления напомним основные положения квантовой теории момента количества движения.5.1Оператор момента импульса, собственные состоянияВ последующем изложении мы часто будем рассматриватьпримеры, связанные с преобразованием поворота системотсчета.
Как хорошо известно из курса квантовой механики (и механики вообще), с преобразованиями поворота свя99зано понятие момента количества движения. Свойствамомента импульса нами будет часто использоваться, поэтому напомним некоторые основные свойства операторамомента импульса, его значения и собственные состояния,а также рассмотрим некоторые важные понятия, связанные со сложением моментов различных систем.В качестве определения момента импульса квантовойсистемы примем выражение для оператора поворота нанекоторый угол Ω относительно оси, направление которойзадается единичным вектором N:bN (Ω) = eiΩ(Nĵ) ,Rпри [ĵα , ĵβ ] = ieαβγ ĵγ ,(1.1)где ĵ – есть оператор полного момента квантовой системыи, соответственно, [ĵ2 , ĵα ] = 0.Состояния с определенным значением момента в стандартном представлении {ĵ2 , ĵz } определяются из системыуравнений:ĵ2 |Λ, mi = Λ|Λ, mi,ĵz |Λ, mi = m|Λ, mi.(1.2)Очевидно, квадрат проекции не может превосходить квадрат всего момента, поэтому оператор ĵ2 можно считать“главным"в системе уравнений (1.2), и на возможные значения квантового числа m накладываются ограничения |m|2 ≤Λ.
Для решения системы (1.2) поступим так же, как прирешении задачи для изотропного гармонического осциллятора. Введем вместо эрмитовых операторов ĵx и ĵy неэрмитовы операторыĵ± = ĵx ± iĵy ,которые, как легко убедиться, удовлетворяют коммутационным соотношениям[ĵz , ĵ± ] = ±ĵ± ,[ĵ+ , ĵ− ] = 2ĵz ,100[ĵ2 , ĵ± ] = 0.(1.3)Квадрат момента при этом выражается через так введенные операторы следующим образомĵ2= ĵz2+´1³ĵ+ ĵ− + ĵ− ĵ+ = ĵz2+ĵz +ĵ− ĵ+ = ĵz2−ĵz +ĵ+ ĵ− .
(1.4)2Подействуем оператором ĵ+ на произвольное состояниев системе (1.2):Xam0 |Λ, m0 i,(1.5)ĵ+ |Λ, mi = |Φi =m0поскольку оператор ĵ+ коммутирует с оператором ĵ2 ине коммутирует с ĵz . Подействуем теперь оператором ĵz на“неизвестное"состояние |Φi и воспользуемся коммутационным соотношением:ĵz |Φi = ĵz ĵ+ |Λ, mi = (ĵ+ ĵz + ĵ+ )|Λ, mi = (m + 1)|Φi.Таким образом получили, что неизвестное состояние |Φiесть собственное состояние оператора ĵz с собственным значением (m + 1), поэтому в сумме (1.5) остается только однослагаемое с m0 = m + 1 :ĵ+ |Λ, mi = am+1 |Λ, m + 1i.(1.6)Таким образом, оператор ĵ+ повышает проекцию моментана ось квантования на единицу – повышающий оператор.Совершенно аналогично получим, чтоĵ− |Λ, mi = ãm−1 |Λ, m − 1i,(1.7)и ĵ− – понижающий оператор.Обозначим максимальное значение проекции моментабуквой j :max{m} = j,(1.8)101тогда обязательно должны получитьĵ+ |Λ, ji = 0.(1.9)Поскольку для все возможных m при заданной величине момента импульса значение Λ одно и то же, дляm = j получаемĵ2 |Λ, ji =³´= ĵz2 + ĵz + ĵ− ĵ+ |Λ, ji = (j 2 + j)|Λ, ji = j(j +1)|Λ, ji, (1.10)т.е.
Λ = j(j + 1) – определяется максимальной проекциейна ось квантования. Исходя из полученного результата легко видеть, что минимальное значение проекции моментана ось квантования min{m} = −j. Таким образом в дираковском векторе состояния обычно указывают не квадратмомента, а максимальное значение его проекции:|Λ, mi ≡ |j(j + 1), mi ≡ |j, mi.(1.11)Найдем теперь матричные элементы am .
Вспомним, что´+³= hj, m|ĵ− , тогда hj, m|ĵ− ĵ+ |j, mi = |am+1 |2 .ĵ+ |j, miС другой стороныĵ− ĵ+ |j, mi (j(j + 1) − m(m + 1)) |j, mi ≡ (j−m)(j+m+1)|j, mi,соответственноam+1 = eiφp(j − m)(j + m + 1).(1.12)Обычно выбирают значение фазы φ = 0. Таким образом,можно записатьpĵ+ |j, mi =(j − m)(j + m + 1)|j, m + 1i,pĵ− |j, mi =(j + m)(j − m + 1)|j, m − 1i.
(1.13)102Проекция момента может принимать значения −j ≤ m ≤ j,а поскольку при этом “соседние"значения проекции отличаются на единицу, всего при данном значении моментаможет быть N = 2j различных состояний. Или иными словами максимальная проекция равнаj=N,2т.е. j = 0,13, 1, , 2, . . .22(1.14)Соответственно, проекция момента может принимать только либо целые, либо полуцелые значения.Теперь можно выразить любое состояние |j, mi черезодно состояние с максимальной проекцией |j, ji.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
