Методичка по осциллятору, квантованию, матрице плотности (1129351), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(4.8)=0sin β/ 2cos β√− sin β/ 2 0 (1 − cos β)/2 sin β/ 2 (1 + cos β)/2Очевидно, для состояния с нулевым моментом матрица сводится к числу d(0) = 1.5.5Угловой момент и система двух осцилляторовТеорию углового момента можно изложить на языке повышающих и понижающих операторов системы двух одномерных гармонических осцилляторов (операторов “рождения” и “уничтожения”). Этот метод изложения принадлежит Йордану и Швингеру.
Введем операторы уничтожения и рождения двух осцилляторов, соответственно a, a+и b, b+ , удовлетворяющие коммутационным соотношениямповышающих и понижающих операторов для гармонического осциллятора:[a, a+ ] = 1,[b, b+ ] = 1,[a, b] = [a, b+ ] = 0.(5.1)Определим теперь операторы из билинейных комбинаций:¢1¡ +a a − b+ b ,(5.2)j+ = a+ b, j− = ab+ , jz =2а также оператор квадрата момент൶a+ a + b + b a+ a + b + b2j =+1 .(5.3)22120Упражнения1 Убедиться путем прямого вычисления, что операторы(5.2) удовлетворяют коммутационным соотношениям дляоператора углового момента: [jz , j± ] = ±j± , [j+ , j− ] =2jz .2 Прямыми вычислениями показать, что jz2 +(j+ j− +j− j+ )/2имеет вид (5.3).Из определений (5.2) и (5.3) следует, что состояния момента j с определенной проекцией |j, mi можно выразитьчерез состояния системы двух невзаимодействующих гармонических осцилляторов |na , nb i, где na , nb = 0, 1, 2, .
. .В этом случае максимальная проекция j определяется изсуммы квантовых чисел двух осцилляторов:2j = na + nb .(5.4)Иными словами, состояния системы двух осцилляторов сзаданной энергией EN = na + nb + 1 отвечают набору базисных векторов углового момента |j, mi, гдеm=na − n b,2j=na + n b.2(5.5)Задачи1 Получить формулы 1.13), определяющие действие повышающего и понижающего операторов момента импульса,зная действие операторов рождения и уничтожения осцилляторов на собственные векторы:√a+ a|na , nb i = na |na , nb i, a+ |na , nb i = na + 1|na +1, nb i, .
. .2 Получить выражение для оператора конечных вращений(2.5), используя определения (5.2).3 Получить выражение для коэффициентов Клебша-Гордана Cjjm, используя представление момента в виде си1 m1 ,j2 m2стемы двумерных осцилляторов.1215.6Представление матрицы плотностидля системы с моментом jДля системы с определенным моментом количества движения j матрица плотности может быть представлена в видематрицы ранга 2j + 1 с матричными элементами в базисесобственных состояний момента:(j)ρmm0 = hjm|ρ̂(j) |jm0 i,m, m0 = −j, −j+1, . .
. , j−1, j. (6.1)Используя представление с помощью проекционных операторов, для оператора плотности можем записать:ρ̂(j) =jX(j)m,m0 =−jρmm0 |jmihjm0 |.(6.2)Диагональные элементы матрицы плотности определяют(положительное) распределение вероятности измерения соответствующего значения проекции на ось квантования z:ρ(j)mm = w0 (m).(6.3)Очевидно, распределение (6.3) нормировано:jX(6.4)w0 (m) = 1.m=−jЗапишем теперь представление оператора плотности в другой, повернутой системе отсчета. Для этого следует проделать соответствующее преобразование базисных векторов:³´(j) (j) (j) +.(6.5)ρ(j)m1 m2 = D ρ̂ Dm1 m2Диагональные матричные элементы матрицы (6.5) определяют вероятности измерения соответствующей проекции122момента на ось квантования z 0 в системе отсчета, повернутой относительно исходной на углы Эйлера α, β, γ.
Такимобразом, “новые” вероятности также зависят от этих углов.Обозначим их как:w̃(m1 , α, β, γ) ==jXm1 ,m2 =−j(j)(j)(j)∗Dm1 m0 (α, β, γ)ρm0 m0 Dm1 m0 (α, β, γ).1122(6.6)Вспомним свойство D-функций:(j)0(j)Dm0 m (α, β, γ) = (−1)m −m D−m0 −m (α, β, γ)(6.7)и получим, что распределение вероятности (6.6) не зависитот угла γ, поэтому:w̃(m1 , α, β, γ) ≡ w(m1 , α, β).(6.8)ПримерРассмотрим систему со спином j = 1/2, находящуюся в состоянии с проекцией m = +1/2.
Это состояние описываетсяматрицей плотност赶1 0ρ+ =.(6.9)0 0В этом случае томографическое распределение вероятности есть:1βw(+ , α, β) = cos2 ,221βw(− , α, β) = sin2 .22(6.10)Обратим теперь выражение (6.6), т.е. выразим матрицу плотности через томографическое распределение вероятности. Поскольку рассматриваемое выражение представляет собой скаляр, умножим его на D-функцию Вигнера с123фиксированной нулевой проекцией в первом индексе и проинтегрируем по всем углам Эйлера:Z(−1)(j )w(m1 , α, β)D0m3 3 (α, β, γ)m1jXdω(j)ρm0 m0 (−1)m1=21 28πm1 ,m2 =−jZdω (j)(j)∗(j3 )D0 (α, β, γ)Dm m0 (α, β, γ)D0m3 (α, β, γ) = (6.11)1 28π 2 m1 m1µ¶µ¶jXjjj3jjj3m02 (j)(−1) ρm0 m0=.1 2m1 −m1 0m01 −m02 m3m1 ,m2 =−jЗдесь мы воспользовались известным свойством D-функцийВигнера:Zdω (j1 )(j )(j )Dm1 m0 (ω)Dm22 m0 (ω)Dm33 m0 (ω) =23218𵶵¶j1 j2 j3j1 j2 j3=.(6.12)m1 m2 m3m01 m02 m03ЗдесьZdω =Z2π0dαZπsin βdβ0Z2πdγ.(6.13)0Дальнейшие преобразования требуют применения соотношений ортогональности для 3j-символов:(2j + 1)j1X¶¶µj2 µXj1 j2j0j1 j2j=m1 m2 −m0m1 m2 −mm1 =−j1 m2 =−j2jX1 +j2=δjj 0 δmm0 ;(6.14)¶¶µµjXj1 j2jj1 j2j=(2j + 1)m01 m02 −mm1 m2 −mj=|j1 −j2 | m=−j=δm1 m01 δm2 m02 .124(6.15)Умножим выражение (6.11) на соответствующий 3j-символВигнера и просуммируем по проекции m1 :¶Zj µXdωjjj3(2j3 + 1)(−1)m1 2 w(m1 , α, β)·0m1 −m1 08πm1 =−jµjjXXj(j3 )m02 (j)(−1) ρm0 m0·D0m3 (α,β,γ) =1 2m01m01 =−j m01=−j¶j j3.
(6.16)−m02 m3Умножим полученное выражение (6.16) на вигнеровскийсимво붵jjj3(23 + 1)m001 −m002 m3просуммируем по переменным j3 и m3 и получим:Z2jj3jXXX(j )2(−1)m1 w(m1 , α,β)D0m3 3 (α,β,γ)×(2j3 + 1)j3 =0 m3 =−j3×µm1 =−jjjj3m1 −m1 0¶µjjj300m1 −m1 m30(j)=(−1)m2 ρm1 m0 .1¶dω=8π 2(6.17)Таким образом, задача обращения формулы (6.6) решена.Итак, если дано томографическое распределение вероятности для произвольного момента (спина), можно реконструировать матрицу плотности состояния с помощьюполученных соотношений. Этот результат позволяет измерять состояния момента, измеряя лишь проекцию на данную ось. Получаемая экспериментальная функция распределения вероятностей, зависящая от двух углов, позволяетполностью реконструировать информацию о квантовом состоянии момента.
Это означает, что распределение вероятностей может быть использовано для описания квантовогообъекта вместо комплексных функций и матрицы плотности.1255.7Инвариантная формулировка томографии состояний моментаСостояния момента могут быть определены в инвариантной форме связи распределения вероятностей и оператораплотности. Определим функцию на сфере единичного радиуса:(j )3Φj,m0 m0 (α, β) =1=(−1)2m02j3X(j )D0m3 3 (α, β, γ)m3 =−j3µjjj300m1 −m2 m3¶(7.1)и, соответственно, оператор:b(j3 )(α,β) = (2j3 +1)2AjjXjX(j )300Φj,m(7.2)0 m0 (α,β)|jm1 ihjm2 |.12m01 =−j m02 =−jЕсли теперь, используя выражения (7.1) и (7.2) определитьоператор на сфереjbmB(α, β) = (−1)m11¶2j µXjj j3 b(j3 )Aj (α,β),m1 −m1 0(7.3)j3 =0оператор плотности можно записать в виде:ρ̂(j)=ZjXm1 =−jdωjbmw(m1 , α, β)B(α, β) 2 .18π(7.4)Суммирование по всем возможным проекциям означает усреднение оператора (7.3) по распределению вероятностей:Zdω b jρ̂(j) =hB (α, β)i,(7.5)8π 2 m1126гдеjbmhB(α, β)i =1jXm1 =−jjbmw(m1 , α, β)B(α, β).1(7.6)bЕсли некоторая наблюдаемая определяется оператором K,ее можно описать функцией(j)jbBbm(α, β).φK (m1 , α, β) = TrK1(7.7)При таком определении среднее значение этой наблюдаемой определяется “обычной” формулой теории вероятностей:b =hKiZjXdω(j)w(m1 , α, β)φK (m1 , α, β).8π 2(7.8)m1 =−jТаким образом, наблюдаемую величину – спин системы можно описать с помощью некоторой c-числовой функцией, зависящей от параметров системы отсчета.
Средниезначения при этом вычисляются, используя эту функциютак же, как в стандартной теории вероятностей.127Глава 6Перепутанныесостояния(entanglement)6.1Сепарабельные и перепутанные состоянияРассмотрим матрицу плотности системы двух частиц соспинами j1 и j2 соответственно. Состояния такой системыделятся на два принципиально различных типа: сепарабельные и перепутанные.
Сепарабельными называются состояния, матрица плотности которых представима в видесуммы:Xρ=pk ρjk1 ⊗ ρjk2 .(1.1)kЗдесь положительные числа pk ≥ 0 и удовлетворяют условию:Xpk = 1.(1.2)k128Набор чисел k произволен. В частности, эти числа могутпринимать непрерывные значения, в таком случае суммследует понимать в интегральном смысле и заменять суммирование интегрированием по областиизменения непреRрывной переменной – индекса k :dk. Матрицы плотности ρk как для подсистемы со спином j1 , так и для подсистемы со спином j2 . могут быть в общем случае неортогональными, т.е.:ρjk1 ρjk10 6= 0, ρjk2 ρjk20 6= 0.(1.3)При усреднении сепарабельной матрицы плотности (1.1)по степеням свободы подсистемы со спином j2 получаетсяматрица плотности, которая описывает только подсистемусо спином j1 , при этом она равна:Xpk ρjk1 .(1.4)ρ1 = Trj2 ρ =kСовершенно аналогично определяется матрица плотностивторой подсистемы:Xpk ρjk2 .ρ2 = Trj1 ρ =(1.5)kЗдесь мы воспользовались условием нормировки матрицыплотности:Trρjk1 = 1, Trρjk2 = 1.Рассмотрим случай, когда сепарабельная матрица плотности имеет вид:ρ = ρj11 ⊗ ρj12 .(1.6)Очевидно, для состояния системы с матрицей плотности(1.6) состояния двух подсистем полностью независимы, иными словами, корреляции подсистемы со спинами j1 и j2 отсутствуют.
Это, в частности означает, что среднее от произведения любых двух операторов, действующих на состояния различных подсистем равны произведению средних129для каждой подсистемы:hfˆ(j1 )ĝ(j2 )i = Trρfˆ(j1 )ĝ(j2 ) = hfˆ(j1 )ihĝ(j2 )i.(1.7)Здесь(j )hfˆ(j1 )i = Trfˆ(j1 )ρ1 1 ,(j )hĝ(j2 )i = Trĝ(j2 )ρ1 2 .В случае чистых состояний подсистем, матрица плотности(1.6) может быть выражена через собственные векторы состояний |j1 i и |j2 i :(1.8)ρ = |j1 ihj1 | ⊗ |j2 ihj2 |.Для сепарабельной матрицы плотности общего вида (1.1)состояния двух подсистем уже не независимы и для средних величин возникают корреляции, которые, однако, имеют специальный вид:Xhfˆ(j1 )i =pk hfˆ(j1 )i(k) ,kpk hĝ(j2 )i(k)(1.9)pk hfˆ(j1 )i(k) hĝ(j2 )i(k) .(1.10)hĝ(j2 )i =иhfˆ(j1 )ĝ(j2 )i =ЗдесьXkX(j )hfˆ(j1 )i(k) = Trfˆ(j1 )ρk 1 ,k(j )hĝ(j2 )i(k) = Trĝ(j2 )ρk 2 .
(1.11)Состояния называются перепутанными (entangled states),если их матрицы плотности не могут быть представлены ввиде суммы (1.1) ни для каких положительных чисел pk ,удовлетворяющих условию нормировки (1.2).1306.2Критерий сепарабельностиСуществует необходимое условие сепарабельности состояний (критерий Переса). Он основан на следующем свойстве произвольной матрицы плотности, а именно: если дана некоторая матрица плотности ρ, то транспонированнаяк ней матрица R, т.е.R = ρt(2.1)удовлетворяет всем свойствам матрицы плотности.
Действительно:TrR =Trρt = 1,¡ ¢+R+ = ρt = ρt = r,tR =ρ ≥ 1.(2.2)(2.3)(2.4)Последнее условие неотрицательности матрицы следует изтого, что собственные значения матрицы ρ и транспонированной к ней ρt одинаковы. Поскольку собственные значения матрицы плотности неотрицательны, следовательноони неотрицательны и для матрицы R.Воспользуемся свойствами (2.2) и рассмотрим преобразованную сепарабельную матрицу плотности (1.1) вида ρP ,а именно:X(j )(j )ρP =pk ρk 1 ⊗ (ρk 2 )t .(2.5)k(j )Поскольку матрицы (ρk 2 )t являются допустимыми матрицами плотности (они удовлетворяют всем критериям!),новая матрица ρP также удовлетворяет всем требованиямпо построению: эрмитова, неотрицательна и нормирована.Преобразование, которое мы сделали с матрицей плотностиρ называют преобразованием частичного транспонирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
