И.Е. Иродов - Задачи по квантовой физике (1129339), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Известно, что решетка кубическая гранецентрированная. 6.22. В электронограмме дебаевского типа от поликристаллической пленки с кубической решеткой отношение диаметров первых двух дифракционных колец равно !:1,4. Имея в виду, что диаметры этих колец значительно меныне расстояния между пленкой и экраном, определи~ь тип решетки (гранеили объемно центрированиая). Квантовая теория теплоемкостн кристаллов 6.23. Определить колебательную энергию и теплоемкость кристалла при температуре Т„считая каждый атом решетки кван~оным гармоническим осциллятором и полагая, что кристалл состои~ из Л' одинаковых атомов, колеблющихся независимо друг от друга с одинаковой частотой пх Упростить полученное выражение для теплоемкости при )гТ)) Бв и 1Т« Ьсо.
6.24. Рассмотрим одномерную модель кристалла- — цепочку из М одинаковых атомов, у которой крайние атомы неподвижны. Пус гь а -- период цепочки, и — масса атома, ив коэффициент квазиупругой силы. Учитывая взаимодействие лишь между соседними атомами, найти: а) уравнение колебаний данной цепочки и спектр собственных значений волнового числа Й; б) зависимость частоты колебаний цепочки от волнового числа, а также полное число возможных колебаний и соответствующую ей длину волны; в) зависимость фазовой скорости от волнового числа и отношение фазовых скоростей, соответствующих самым длинным и самым коротким волнам.
6.25. Считая скорость распространения колебаний пе зависящей от частоты и равной о, найти для одномерного кристалла — - цепочки из Х одинаковых атомов длиной Тл а) число продольных колебаний в интервале частот (со, со+ йо); б) дебаевскую температуру О; в) молярную колебательную энергию и молярную теплоемкость при температуре Т; упростить полученное выражение для теплоемкости, если Т»0 и Т«0.
6.26. Для двумерного крис~алла число нормальных колебаний одной поляризации в интервале частот (со, со+йо) определяется формулой Ы =(5!2пг2)со с)со, где о — плосцадь кристалла, о---скорость распространения колебаний. Считая о не зависящим от со, найти для плоской квадратной решетки из одинаковых атомов, содержащей но а~омов на единицу площади: а) дебаевскую температуру О; б) малярную колебательную энергию и молярную теплоемкость при температуре Т; упростить полученное выражение для теплоемкости при Т»0 и Т«0.
6.27. То же, что в предыдущей задаче, но для трехмерного кристалла — кубической решетки, содержащей и одинаковых а~омов на единицу объема. Извес~но, что для трехмерного кристалла число нормальных колебаний одной поляризации в интервале частот (со, со+йо) определяется формулой ~э ~~~2я2 з) 2й где ~' — объем кристалла. 6.28. Считая, что скорости распространения продольных и поперечных колебаний не зависят от частоты и равны соответственно о, и о„ найти число колебаний с)Л в интервале час~от (со, со+йо) и дебаевскую температуру: а) двумерного кристазша — кубической решетки из йс одинаковых атомов, если площадь решетки 5; б) трехмерного кристалла — кубической решетки из Лс одинаковых атомов, если объем решетки Г 6.29.
Вычисли~ь дебаевскую температуру железа, в котором скорости распространения продольных и поперечных колебаний равны соответственно 5,85 и 3,23 кмсс. б9 6ЗО. Оценить скорость звука в кристалле, дебаевская температура которого О = 300 К и межатомное расстояние а=0,25 нм. 6.31. Вычислить с помощью формулы Дебая; а) отношение ЬЕ~/Ев, где ЬЕ— энергия, которую необходимо сообщить кристаллу при нагревании его от 0 К до О, а Ее — энергия нулевых 0 Оя О4 О6 О,г т/в " ебаний; б) энергию, которую необходимо сообщить молю кристалла алюминия, чтобы наг реть его от О/2 до О = 374 К. 6.32. Используя формулу Дебая, вычисли~ь молярную теплоемкость кристаллической решетки при температурах О/2 и О.
На сколько процентов отличается теплоемкость при температуре О от классического значения? 6.33. Вычислить дебаевскую температуру и энергию (Дж/моль) нулевых колебаний серебра, если известно, что при температурах 16 и 20 К его теплоемкость равна соответственно 0,87 н 1,70 Дж/(К моль). 6.34. На рис. 6.3 показан график, характеризующий зависимость теплоемкости кристалла от температуры (по Дебаю).
Здесь С„,, классическая теплоемкость, Π— дебаевская температура. С помощью этого графика найти: а) дебаевскую температуру для серебра, если при Т=65 К его молярная теплоемкость равна 15 Дж/(К моль); б) молярную теплоемкость алюминия при Т=!00 К, если при Т=280 К она равна 22,5 Дж/(К моль); в) максимальную частоту колебаний сэ„,„, для меди, у которой при Т=125 К теплоемкость отличается от классической на 25%. 6.35.
Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона (звукового кванта) в алюминии, дебаевская температура которого О= 374 К. 6.36, В кристалле из М одинаковых атомов число фононов в интервале частот (с>, аз+без) при температуре Т равно ,з п(щ)дв/ 9/у — ) 1 1 0 ехр (выпас т — Ц где Π— дебаевская температура кристалла. а) Получи гь это выражение с помощью формулы для оУ„из задачи 6.27. б) Определить наиболее вероятные значения энергии и частоты фононов при температуре 012. 70 в) Найти температуру, начиная с которой наиболее вероятная частота фононов равна их максимальной частоте. 'Температура О предполагается известной. г) Найти характер зависимости полного числа фононов в кристалле от температуры Т при Т кО и Т»О. 6.37.
Рассеяние света прозрачным твердым телом можно рассматривать как результат процесса рассеяния фотонов на фононах, считая при этом, что фотоны в веществе обладают импульсом йез/г', где с' — скорость света в среде. Используя законы сохранения энергии и импульса, показать, что свет, рассеянный под углом 9, будет содержать кроме несмещенной компоненты две смещенные, относительный сдвиг которых Лез/ез = 2 (%') гйп (9/2), где щ — частота падающего света, е — скорость звука в среде. 6.38. Некоторые вещества (например, парамагнитные соли) при очень низких температурах обнаруживают теплоемкость С,, во много раз превосходящую решеточную теплоемкость С„.
Установлено, что теплоемкость С,. обусловлена внутреннйми степенями свободы, в частности взаимодействием спинов с внутрикристаллнческими полями. Полагая, что каждый атом независимо от других може~ ориентироваться своим спином параллельно или антипараллельно относительно некоторого направления и что разность энергий атома в этих состояниях равна ЛЕ, найти: а) зависимость С,.
от температуры Т; б) отношение йТ/ЛЕ, при котором С, имеет максимум; в) отношение С,„,„,/С„для случая, когда С;„,„, отвечает температуре Т=О/100, где Π— дебаевская температура. Свободные электроны в металлах и полупроводниках 6,39. Най~и с помощью соотношения неопределенностей число свободных электронов с кинетическими энергиями в интервале (К, К+ЙК) в металле при температуре Т=О К. Металл взять в форме прямоугольного параллелепипеда объемом При определении числа квантовых состояний счи~ать, что физически различны только те состояния, у которых проекции импульса электрона различаются не меныпе, чем на Ьр,= 2кй//„, где /„— ребро параллелепипеда (аналогично для Лр, и бр,).
6.40. Получить с помощью формулы (6.5) выражение для максимальной кинетической энергии К„,„, свободных электронов в металле при температуре 0 К, если их концентрация равна и. Вычислить К„,„, для серебра, полагая, что на каждый атом приходится один свободный электрон. 6.41. Найман с помощью формулы (6.5) при температуре 0 К: а) среднюю кинетическую энергию свободных электронов в металле, если известна их максимальная кинетическая энергия Кмака 7! б) сзчммарную кинетическую энергию свободных электронов в 1 см золота, полагая, что на каждый атом приходи~ся один свободный электрон 6.42.
Найти долю свободных электронов в мегалле при температуре 0 К, кинетическая энергия которых больше половины максимальной. 6.43. Вычисли~ь температуру идеального газа, у которого средняя кинетическая энергия частиц равна средней кинетической энергии свободных электронов в меди при температуре 0 К. Считать, что на каждый атом приходится один свободный электрон. 6.44. Найти интервал в электронвольтах между соседними уровнями свободных электронов в металле при температуре 0 К вблизи уровня Ферми, если объем металла К=1,00 см' и концентрация свободных элекгронов п=2,0.10" см 6.45.
Часто при расчетах пренебрегают различием значений Е„и Е„е. Оценить, на сколько процентов отличается Ек от Е,-0 для вольфрама при температуре, близкой к его температуре плавления (3370 С). Считать, что на каждый атом приходи~ся два свободных электрона. бА6. Найти для металла при температуре 0 К, максимальная скорость свободных электронов которого равна в, средние значения: а) скоросги свободных электронов; б) их обратной скорости, 1)а. 6.47.
Вычислить наиболее вероятную и среднюю слорости свободных электронов в меди при температуре 0 К, если известно, что их концентрация равна 8,5 !0~~ см 6.48. Показать на примере простой кубической решетки, содержащей по одному свободному электрону на атом, что минимальная дебройлевская длина волны свободных электронов при 0 К приблизительно равна удвоенному расстоянию между соседними а~омами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
