Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Поэтому собственными функциями уравнений (109.9) будут ф,,(д,)=~, "— "' е 'Н,ч Я,) Я,= ~/ — "' д,), (109,10) а собственными значениями 1~ Е„,=йь,(п,+ — ), п,=0, 1, 2, ... Подобным же образом для уравнения (109.9') имеем Е„,=йаь~пэ+ 2), п,=0, 1, 2, 3, ... (109.11') ! ~ 4?О пРименеппя теоРип движения многих тел !Гл, хнп! Отсюда ЕР =Л»22(п»+ й, 02=0, 1, 2, 1~ 2» Собственные же функции и собственные значения всей осцилляторов определяются выражениями фп и ...п»...аз!2 (!?2, !?2 ° ° ° !?2т ° ° ° г!2»?) = = ф»! (!?!) фл, (!?2) фл, (!?Я) »Р23,2 (!?»М) ~.„...,......=-~,(,+-,')+ ... +~.,(.,+-,'-)+ ...
! ! ° ° ° + 91ы»л '! п»»! + -е ) (109. 23) (! 09. 24) системы (109.25) (109.26) гамильтонова функция распадается на сумму гамильтоновых функций гармонических осцилляторов. Нормальные координаты !?2 и декартовы хы р», г» связаны ортогональным преобразованием !?, = ~„'(а„х»+ ()„у»+ у,»е»), з == 1; 2, ..., 31!?, (109. 18) где а2», р,», у!» суть коэффициенты преобразования. В нормальных координатах !?, — гамильтониан нашей системы Н = ~ ( — — т»)+ ~,~~ (А!»л;х»+. +Е!»У1е») (109.19) »=1 с»=1 преобразуется к виду 2»! (109.20) 5= 1 где р — некоторая эффективная масса, а е»,— частоты нормальных колебаний.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид | зм 1»2 д' ИИ»!"", 5=1 = ЕЧ»(!?», !?2, ..., !?2»), (109.21) Очевидно, что это уравнение распадается на 311! уравнений для 31!! независимых осцилляторов, если представить Ч' в виде произведения функций от !?„!?2..... !?2». Уравнение для осциллятора, представляющего з-е нормальное колебание, будет а» д»!) (д ) И!22 — — д ..' + е' д;"ф(!?,) =Е»ф(д!). (109.22) 47! дп!ыксиис атомов ВО Висшю.м поля й !!о! где л,, пе, ..., а„..., лц; — целые положительные числа, вклю- чая нуль. Нулевая же энергия системы равна й Еа =.
~ (из!+ о!а +... + озз+... + !вам). (109.27) Перебирая всевозможиыс значения чисел п, в (109.26), мы получим все квантовые уровни системы колеблющихся частгщ. Из (109.26) следует, что дпя определения этих уровней достаточно знать частоты иормальиых колебаний го,. Примером систем, имеющих квантовые урошш вида (!09.26), люгут служить молекулы и твердые тела.
И в тех, и в других атомы совершают малые коцеба!ы!я около положений равиовесия '). Заметим, что ири больших амплитудах колебаний следует учесть высшие члены в разложении потенциальной энергии, именно, члены ги вида -„- —, хд,:,+ ... и т. и. Колебания тогда будут ие- 3! дх! гуа да! линейными, и паши результаты будут иметь лишь приближенное значение.
В частности, формула (109.26) будет справедлива лишь дчя малых квантовых чисел пт. 9 1!О. Движение атомов во внешнем поле Рассмотрим движение системы частиц (атома, молекулы) во внешнем поле сил. В целях большей конкретности мы ограничимся системой из двух частиц с массами т, и пге и координатами хз, дз, 2! и х! д.„ Обобщение иа случай большего числа совершенно тривиально. Обозначим энергию взаимодействия частиц через )Уг(х! — хе д, — д,, 2, — 2,), энергию первой частицы во внешнем поле через (У! (х,. д,, 2,), а энергию второй — через с)з (хя, д,„яе).
Уравнение Шредингера для волновой функции системы Чг(хт, д„з„хе, де, 2„7) будет иметь вид Введем в это уравнение вместо координат частиц х„ д„ 2, и ха дз, 2, координаты центра тяжести Х, 1', 2, и относительные коордииаты х, д, 2 (см. (108,3)). Переходя в (1!О.!) к этим новым ') Квантование энергии колебаний атомов в твердом теле находит свое выражение в квантовом характере теплаемкосги твердого тела, которая при достаточно низких температурах л!еньше той, 'которая полагалась бы по классической теории (Зй, где я — постоянная Больцмана), именно, теплосмкость твердого тела убывает с уменьшением температуры пропорционально ув Рас.
чст теплоемкости твердого тела на основе квантовой теории изложен почти во всех курсах по статистической физике. пш(мш(сипя тсошп! дшокенпя м(югик тел 472 (гл»тп( (!08.3) » =-Х вЂ” !'"х, д, -= 1' — у.,д, г,,:= 2 — у,,г, координатам и замечая, что по х, == Х -1- у,х, д! = !'+ у!д г»=Я+у»г, (110.2) И л! ! (л !!ч (гч+((!« (110.3) мы получим ((( — = — — 7, 1 — — Т,.Ч + (/! (Х +,1! т, !'+ у((/, Я .1- 11(у) Ч" д( 2И ' 2и + (/, (Х вЂ” у«х, )' — у«д, х. — у,г) Ч'+ !Р' (х, д, г) Ч', (110.1') где д- д» д» „ д' д» д» 7'х = —.
+ —, + —,, у „' = —.—, + —, + —.. дх«д!"» д7« ' " дх» ду» дг« ' Переменные Х, 1', Е н .х, д, г в этом уравнении ввиду наличия поля ((/1 и (/«) не разделяются. Поэтому в общем случае исследование э~ого уравнения весьма затруднительно. 'Предположим, однако, что размеры системы малы. Это означает, что мы ограничиваемся рассмотрением таких систем и таких состояний, когда волновая функция Ч' достаточно быстро убывает с увеличением относительного расстояния г = ! х'+д'+г«двух частиц. Пусть это убывание таково, что вероятность найти частицы на расстоянии г) а друг от друга практически равна нулю.
Тогда а можно рассматривать как размер нашей системы (например, «радиус» атома, «длина» молекулы и т. и.). В этом случае в уравнении (110.1') играет роль лишь такие области х, д, х, для которых г а. При таком предположении мы можем разложить !/, и (.(«по степеням х, д, а (еслн (/, и (/«вЂ” достаточно гладкие функции). Это разложение мы напишем в виде (/,(Х+у,х, )У+уд, х, +у!а)+(/,(Х вЂ” у,х, )' — уд, 2 — у,г) = =(/,(Х, У, Я)+(/,(Х, У, Е)+ — 'х+ ... + ' +... = =- )/(Х, У', ~)+п((Х, У', х„х, д, г)+ ..., (110.4) где )'(Х, У, 2) есть потенциальная энергия центра тяжести системы, а через ш обозначены члены, содержащие х, д, г. Этот член связывает движение центра тяжести с относительным движением.
Уравнение Шредингера (110.1') теперь можно записать в виде (й — = ~ — З И т'!т + !' (Х, У, 2) ~ Ч'+ ~ — ~'у»+ Ж' (х, д, з) ~ Ч( + + н((Х, !', Е, х, д, г) Ч". (! 10.5) Пусть в отсутствие внешнего поля собственные функции для внутреннего двнжеш(я будут Ч(„" (х, д, г), а собственные значения движение Атомов ВО впсшпсм пОле э но1 473 энергии Е"„.
Очевидно, что Ч~," есть решение уравнения — — 7,'-'ф + К (х, р, «) ~р;, — Е,",тр'„, (110.0) Если мы учтем влияние внешнего поля, то к этому уравнению добавится член ш(Х, Г, 7, х, д, г), н мы получим уравнение — — ~,"4Р+ К' (х, у, гЩ+ ш (Х, У, 7, х, у, г) ф =- Еф. (110. 7) В это уравнение координаты центра тяжести Х, У, Я входят как параметры, н от ннх будут зависеть как волновые функции, так и собственные значения этого уравнения. Во многих случаях ш(Х, У, 7, х, у, г) можно рассматривать как возмущение. Это обстоятельство позволяет решить уравнение, если известны решения уравнения (110.6). Обозначим собственные функции уравнения (110.7) и его собственные значения через ф„ = ф„(х, у, г, Х, У, Я), Е„ = Е„(Х, У, 2).
(110,8) д~ = 2м~ хоп+с)' (Х, У, 7)+Е~, (Х, 1, Л)] Ф~ч— — — „- ~а(2а чдхФ„+Ь„„Ф„), (110.9') л где а „= (ЗЯ„'рхч„г(х (р ~~а, Ь~ = — 1 Ч';"ь7лф„дх г(1/ г(г. (110.!0) (110.10') Эти два последних члена отличны от нуля лишь в том случае, если функции ф„зависят от координат центра тяжести Х, )', 7 н приводят к возможности переходоп системы из одного состояния в другое. Действительно, если при 1=О все Ф„=-О, кроме Ф„~О, то при ! 0 Ф„- О, и с течением времени из состояния Ф„будет возникать суперпозиция (1!0.9). Если ф, не зависят от Х, 1', Л, то а,„„и Ь „равны О. Если эта независимость имеет место, хотя бы приближенно, то мы Разложим теперь Ч" (х, у, г, Х, )', 7, !) по собственным функциям ф„.
Тогда получается Ч'(х, у, г, Х, 1', 7, 1) = ~~',Ф„(Х, У, 2, ()4Р„(х, у, г, Х, У, 7). (110.9) Подставляя это разложение в уравнение (!10.5), умножая па ф,"„(х, у, г, Х, У, Я) н интегрируя по х, у, г, получим (в силу ортогональности функций Ф„) уравнения для функций <1>„: 474 прпмененитг теории движения многих тел ~гл хогп можем пренебречь величинами а „и Ь „в (1!Олц) и тогда получим И вЂ”" = — — 7лФя+(Р (Х, 1', У)+Е„(Х, У, Л))Ф„. (110.11) Это есть уравнение для движения центра тяжести системы в потенциальном поле с потенциальной энергией, равной (7„=(т(Х, У, Е)+Е„(Х, У', 2), (110.12) при условии, что внутреннее состояние системы есть а-е квантовое состояние. Уравнение (110.11) таково же, как уравнение для движения материальной точки.
$ 111. Определение энергии стационарных состояний атомов методом отклонения во внешнем поле В этом параграфе мы рассмотрим теорию опытов, в которых определяют энергию стационарных состояний атома, подвергая пучок атомов отклонению внешним полем; важнейший пз них— опыт Штерна — Герлаха. Обычно его рассматривают как опыт по определению магнитного момента атома. Будучи рассматриваем более непосредственно, он является опытом по определению энергии атома во внешнем магнитном поле.
Из теории движения атомного электрона при наличии магнитного поля Я 62) следует, что, поскольку пренебрегают высшими степенями магнитного поля, постольку действие магнитного поля можно выразить через добавочную потенциальную энергию (62.7), равную энергии магнитного диполя (орбитального и спннового) в магнитном поле. Поэтому мы можем применить к интересующему нас случаю теорию предыдущего параграфа. Из расчетов 2 62 следует, что в указанном приближении волновые функции электрона т)>„г не зависят от магнитного поля, а собственные значения энергии равны (62.13) (111.1) 2рс Прн этом мы считали поле гв" однородным. Если оно достаточно плавно (для макроскопнческих попей нужная плавность всегда обеспечена), то его можно рассматривать как функцию координат центра атома Х, 1', 2 без того, чтобы нарушалась справедлиьость ') (111.1). ') Лля этого достаточно, чтобы пояс оЯ" мало менялось н пределах раэмероа атома о, т.
с. должно соблюдаться услоанс — о(, (: о~, ~ — ' — о!. 4 11Ц ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИИ АТОМОВ 478 Так как масса атома М велика, а внешнее поле йь" всегда плавно меняется от точки к точке, то мы имеем налицо как раз те условия, при которых применимо приближение классической механики. Положив Фм.(Х, У, г, ()= =та. 1п, У, т, ~1 р( — — „п„1п, т, т; 11), 1111п1 где 5п1 — фУнкциЯ действиЯ, а Рп, — плотность атомов в пРО- странстве, мы получим для Е,и и Рп, в первом приближении классические уравнения (см. 9 35 (35.8) и (35.13)) дт'"' = 2м (КЗп1 ) +Еппп(Х, 1', Е), (1!1.5) дРп1П1 1 — — М. С(! Ч (Рп1ы'Ч'тп1п1) = О. Первое уравнение есть уравнение Гамильтона — Якоби; опо утверждает, что частица будет двигаться по классическим траекториям.
Второе уравнение есть тп авнение неп е ывности; оно т- (111. 5) )Р Р Р у вер>кдает, что рой частиц будет двигаться так, чтобы поток частиц, проходящий через любое сечение трубки, образованной траекториями, был поетоянен. Обратимся теперь к чертежу (рис. 83). Пусть на протяжении л от 0 до Р действует магнитное поле, направленное по оси 02. В )т сделана диафрагма, через которую поступают атомы. Ширина щели в диафрагме равна стае.
Пучок атомов, входящий и е) будет расщепляться. Те из атомов, которые окажутся в спето Рис. 83. К теории опытов Штер на — Герлаха. Таким образом, мы можем написать Еп1 (Х, У, Е)=Е„'1+ — — (т Р1)ойр (Х, 1', 2). (11!.2) Волновые функции фп, от Х, т', л зависеть не будут, так как они не зависят от поля Ж. Стало быть, мы имеем дело со случаем, когда вместо общих уравнений (110.9') для волновых функций Ф, описывающих движение центра тяжести, можно написать уравнения (110.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
