Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Мы будем считать, что волновая функция ф(х„..., аль 1) так же, как и волновая функция одной частицы, подчиняется уравнению Шредингера д! (102.6) причем Й означает здесь гамильтоииан для системы частиц. Последний, в полной аналогии с классической гамильтоновой функцией для системы )у' частиц с массам: ! и!„..., те, ..., тм Н= ~ 1е„—.,е +ие(хе Ую гю ()~+,~ илу(хм Уе, нюху, Уть г,), ь=! а./=1 где ие(х„, уе, гю 1) силовая функция гг-й частицы во внешнем поле, а и„;(л„, ..., Еу) — энеРгиа взаимоДействиЯ гг-й и )ьй частиц, напишется в виде Й= ~™ ) — —,ра+и,(х„, у„а„()~+ а=! + ~ и», (хы уы г„, хвч уп гу), (102.6') « ье!= ! где да !У! !та Ч= —., + — к+ —,, ° дх" ду'-' дгч Полагая ~.
=,— '„,",„(ф Ч.ф*-фе ~.ф), (102.7) !) Можно было бы выписать гамильтониан при наличии магнитного поля и с учгтоы спина. Оп равен сумме гамильтонианов отдельных частиц плюс члены, определяющие взаимодействве частиц между собой. Очевидно, что этот гамильтониан представляет собой простое обобщение гамильтониана для одной частицы').
Из уравнения (102.6) следует уравнение непрерывности для вероятности ц! в пространстве конфигураций. Чтобы получить его, умножим (102.6) на тре и вычтем сопряженную величину. Имея в виду значение гамнльтониана (102.6'), мы получим 16 д! (!Рече) = — .2 ~;„- (тг* г «Ф вЂ” Ф ЧФ*) А=! 443 ОБП!ИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАДАЧЕ МНОГИХ ТЕЛ $1021 д д д где 7» — оператор с проекциями —, —, —, мы можем написать дх»' дд» ' дг» ' полученную формулу в виде А! д!» — + ч б!Ч»Ь» = О. д1 »=1 Это уравнение показывает, что изменение вероятности конфигурации п2 обусловливается потоком этой вероятности.
)» есть функция координат всех частиц (и времени) и имеет смысл плотности тока, обусловленного движением 12-й частицы при заданных координатах всех остальных (М вЂ” 1) частиц. Чтобы получить плотность тока к-й частицы )» при любом положении остальных, следует интегрировать (102.7) по всем координатам, кроме координат 12-й частицы: 1»(хь уь гь !)=~Я»(х1, ..., хь уь г» ., гл, 1)г(»1».
(102,9) Этот ток также удовлетворяет уравнению непрерывности, но уже в трехмерном пространстве. Именно, интегрируя (102.8) по г(11», мы получаем — и! (хь ° ° ° глч 1) Ю» = д дг д Г д = —; ~ ю (хь ..., гл, !) !Кй» = —, ю(х», У», гь Е). Далее, А! »2 ~ г)!ч» 3» !(12» = ~ г))ч» .)» НР»+ ~х' ~ Йпе» 5» Ы». »'= ! Так как г(Р» (см. (102.4)) как раз содержит координаты всех частиц кроме )г-й, то интегралы вида ~ б!иг»'з» Й1)„можно преобразовать в поверхностные, н если ф исчезает в бесконечности, то они равны нулю. Так как, напротив, в интеграле ~б)ч».)»!(11» дифференцирование н интегрирование идут по различным переменным, то 1 г(1ч» )» г(о» К! 1 1 3» г(а» ')!У»1»' Таким образом, мы получаем закон сохранения для каждой из частиц + г)!Е»1»(г»У»г», 1) =О, (!02.10) сформулированный уже в трехмерном пространстве (х», у», г»).
3АдАчА мнощ1х тел !Гл. хчп 444 й 103. Закон сохранения полного импульса системы микрочастиц В классической механике, как известно, полный импульс системы частиц, находящихся под действием лишь внутренних сил, остается постоянным. При этом центр тяжести системы движется по инерции прямолинейно и равномерно. Если же имеются внешние силы, то изменение полного импульса в единицу времени равно результирующей всех внешних сил, действующих на частицы системы.
Мы покажем, что эти положения классической механики сохраняют свою силу и в квантовой области. Определим для этой цели оператор полного импульса всех мпкрочастиц систепы Р. Под оператором полного импульса всей системы частиц мы будем подразумевать сумму операторов импульса РА всех частиц й=1, 2, ..., Ж: Р = Х Р = — 'й Х Ч' (103.1) Вычислим оператор производной импульса Р по времени. Согласно общнл! формулам квантовой механики (НР РН) (103.2) Подставляя сюда Й из (102.6') и замечая, что Ф коммутнрует гн чз 1 с оператором кинетической энергии частиц Т= — — ~, — х!1, мы 2 А',„!НА А=! получим, что ',~=ф' х ',)(х')- -(г ~,)(~; и,!- т, и„).
<~оз21 Далее, замечаем„ что /А1' /М и,~~ р, — ! У,' ~, и,= — ч4и,. (103.3) Наконец, вычислим перестановку оператора .У, ~!А и взаимной А=! энергии частиц У', Уд;. При этом мы сделаем предположение, что А А! силы между частицами зависят лишь от взаимных расстояний между частицами гА, так, что УА1 — — УАу(г„,). Тогда на УАЗ дейст- ДВИЖЕНссЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СИСТЕМЫ МИКРОЧАСТИЦ 445 4 сьс! вуют только те операторы ЧА из суммы ~ Чю для которых А=! й'=й или )с'=/, т. е. на ису действует пара: Чь+Ч,.
Имеем и с(Ч +Ч,) — (Ч +Ч) им= — Ч,и„,— Чи„,, (1ОЗ.4) но ~и„ви,,; г„у ч.и.с= — ч:;= Сгм С "гЛС с!у' аи„, Ы„гю Чсиьу,6 . Чссь/ д, . ', агм Следовательно, ч.и;+ ч,и„= о. (103.5) Это есть выражение закона о действии и противодшютвии. Из него следует, что перестановка операторов (103.4) равна нулю. Такил! образом, получается и йР— „, = — 'У' Ч,и, (х„у„е„(), (103. 6) А=! — =О, си (1оз.7) т. е, полный импульс системьс частиц, взаимодействующих между собой, в отсутствие внешних сил сохраняется. Напомним, что операторное равенство (103.7) означает, что: !) среднее значение полного импульса не меняется с течением времени, 2) вероятности ис(Р') того или иного значения Р' также остаются неизменными. $104.
Движение центра тяжести системы мнкрочастиц Докажел! важную для приложений теорему о независимости движения центра тяжести системы от относителысых движений частиц, образующих эту систему. Для этого преобразуем гамильтониан системы частиц Н, подверженных действию лишь внутренних т. е. оператор производной полного импульса по времени равен оператору результирующей силы, действующей со стороны внешних полей на нашу систему. Эта теорема является полным аналогом классической теоремы о движении центра тяжести системы.
Различие заключается лишь в том, что в квантовой механике она формулируется не для самих механических величин, а для изображающих эти величины операторов и, следовательно, для средних значений величин. Если внешние силы отсутствуют (ил=С), то из (103.6) следует, что ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ 446 !гл. Хч!! сил: 2 + (104. 1) О = гт — 7А! и )17 =- зт Бх;(г!,), (104.2) /г =! А. Г=! к новым координатам: координатам центра тяжести системы Х, )', А и ЗЖ вЂ” 3 относительным координатам. Удобно взять так называемые координаты Я коби, которые определяются следующим образом: и,х, П= — — х=х — х, т ! т,х, +т,хе ы= т +и — ха т,х, +...
+т;х. т,+те+...-1-и !'! (104.3) тх+...+и х =Х. т +...+а, Совершенно такие же формулы имеют место для осей О)х и 02: т,у,+...+тут П!= и+ + . Уз !П,--... !Пу Iп, х, +... + и(х! и,+...+т. (104.3') у — ! в!т~!г. ! ~ ! ! — — 1 (104. 4) где !!'== —,. + —.+ — „,, = — —, + —, + —,, (104 б) де де д' ое де де д„.~~ д!1,', д,"~ дХ' дГ! дд! ' о'-'! дп! ' дй! ' (104.б) !) Сп. дополнение Х!. Эти формулы представляют собой обобщение обычных формул для координат центра тяжести п относительных координат двух частиц. Координаты Якоби являются ортогональньм|и. С помощью обычных правил перехода от дифференцирования по одним переменным к дшрференцированию по другим переменным можно доказать, что ') ДВИЖЕН11Е ЦЕНТРЛ ТЯ)КЕСТН СЦСТЕМЫ )ННСРО:!ЛЕТ!и) 447 !Он М есть 1!асса Всей системы, а !!)' — приведенная масса центра тя жести ) первых частиц и ()'+1)-й: н М= ~;ты (104.
7) + (104.8) тл и д д д , д!'л д!н дХ' ) =-'! (! 04.9) Из этих формул следует, что гах)нльтоннан (104.1) может быть написан в виде Н вЂ” 1 ,1 Ч-1 Я' ,1 ! 2М л,) 2ну '+ 7=! +!р" (61, ..., $н 1, Ч), ..., Чя.1, !1, ° ° Ф сн-1) (104.!0) причем оператор «!1 «1 'дь д1 д!1 2М 2М !дХ' ду! д21/ (104.11) есть опгратор кинетической энергии центра тяжести всей си- стемы, а оператор р 1ь ') р„= !7! . Рг = — '" дх' и — ! (104.12) 7=! есть оператор кинетической энергии относительного движения частиц.
Существенно, что в внергшо, взаимодействия !!)' координаты центра тяжести не входят. Преобразуя ~„.., $я 1, Ч), ..., Чн „~„... „Гн ) к любым новым относительным кооРДинатам, д„де, ..., д,н „мы не изменим оператора Т. Поэтому вообще вместо (102.Б') можно написать 7!2 2м ч +Й1 (ц! Че ° ° ° т))н л), (104.13) где О; есть гамилыпониан для относил!ельного движения, который не содержит координат центра тяжести. Лалее, на основании (104.9) и (103.1) получаем новое выражение для оператора полного импульса ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ 1ГЛ.
Хщ! 448 Волновую функцию Ч" будем рассматривать как функцшо координат центра тяжести Х, У, Л и отпоситечьных координат ди дз, ... ..., дзА з. Уравнение Шредингера с гамильтоннаном (104.13) допускает разделение переменных, если положить Ч'(Х, У, 2, до дз, "., узм з, г) = =Ф(Х У, Л, Г)ф(до Уз, Узл-з, Г) (104 15) Подставляя (104.15) в уравнение Шредингера, получим зп а "+зйФ в фйм 7'Ф+ФЙ т. (104.16) Разделив это на Фф и приравнивая порознь члены, зависящие от Х, 1', 7 и оо д„ ..., дзм „ мы найдем два уравнения: (104. 17) (й',—,=Й, р. (104.18) Первое из уравнений относится к движеншо иеншра тяжести, второе — к относительному движению. Как мы видим, первое есть уравнение движения свободной частицы с массой М: центр тяжести в отсутствие внешних сил движется как свободная материальная точка.
Простейшее, частное, решение уравнения (104.17) есть волна де Бройля Ф(Х, У, 2, Г)= не" " з ' . (Ш4.19) (2пл) и Она же, как следует из (104.14), есть собственная функция оператора полного импульса Р, Р„, Р„принадлежащая собственным значениям Р,, Рз, Р,.
Е есть собственное значение кинетической энергии движения центра тяжести системы ~м(Р" +Р +~ ') Длина волны Л этих волн, как это следует из (104.19), так же как и для элементарной частицы, равна Л = -р — — — у~~, Р =)лРзз + Ру+ Рз, (104 20) где У вЂ” групповая скорость движения центра тяжести. Вывод этот важен, так как особенно подчеркивает, что волны де Бройля не являются какими-то колебаниями, связанными с природой (например, структурой) частиц, а выражают в квантовой области общий закон движения свободных частиц илн закон движения центра тяжести системы, не подверженной действию внешних сил. ЗЛКОН СОХРЛНГНИЯ МОМСНТЛ 1М1ПУЛЬСЛ 4 1051 449 9 105. Закон сохранения момента импульса системы микрочастиц Пусть мы имеем систему из /1» частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
