Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 83
Текст из файла (страница 83)
433 ПРОхожденпе мпкРО!лстпг! через потенцплчьны11 влРьеР !Гл, хв! не исчезает). Это есть последовательность возрастания энергии возбужденного состояния. Из рпс. 82 явствует, что чем выше энергия электрона, тем меньше при заданном поле ширина и высота барьера, т.
е. тем больше его прозрачность. Таким образом, наблюдшошаяся последовательность в исчезновении спектральных линий вполне соответствует нашему толкованшо этого явления как результата туннельно! о з!рфекта. То обстоятельство, что красные компоненты расщепленных лшшй исчезают раньше фиолетовых, также получает полное разъяснение при более детальном рассмотрении волновых функций электрона. Именно, состояния, отвеча!ошпе лпппям, смещен ым в красную сторону, обладают тем свсйствоы, что в нпх интенсивность электронного облака больше в области барьера, не>кепи в состояниях для фиолетовых компонент. Благодаря этому ионизация протекает более благоприятным образом.
Сформулируем несколько детальнее те условия, при которых следует о>кидать исчезновения спектральной линии в электрическом голе. Пусть вероятность оптического перехода электрона в нижнее состояние будет 1>т (т — время жизни в возбужденном состоянии). Время жизни электрона в возбужденном состоянии т=-!О ' сек. Вероятность перехода электрона в нижнее состояние в ! сек будет 1>т. Вероятность туннельного эффекта (ионизацин) будет равна (так же, как и при расчете радиоактивного распада) числу ударов электрона о внутреннюю стенку потенциального барьера в 1 сек, умноженному на коэффициент прозрачности Р.
Число ударов о барьер по порядку величины равно ОУ2го, где с — скоРость электРопа, а г,— РадиУс баРьеРа, пРимеРно равный радиусу орбиты а. Скорость равна, опять-таки по порядку величины, О = 1у —, где ! е ! — энергия электрона, а р — его т 21Е! масса. Следовательно, — = 1~ —. — 10'а сек-' (101.2) 2га Г !и>а ( ез аз! (так как Е= —,—, а= .,).
Следовательно, вероятность авто2а ' рте)' ионизации равна 10" Р сек-!. Чтобы преобладала автоионизация ()словие исчезновения спектральной линии), нужно, чтобы 1ут~ ~Р 10'а, т. е. Р)!О ' 1(оличественная теория автоиоиизации находится в хорошем согласии с опытом'), ') См. Г. Бете, 3. Соли итер, Квантовая механика систем с одним и двумя электронами, Фнзматгиз, !960, стр. 370.
Глава ХП1 ЗАДАЧА М110ГИХ ТЕЛ ф 102. Общие замечания о задаче многих тел Квантовая механика одной частицы во внешнем поле может быть обобщена на случай движения многих частиц. Для это~о так же, как и в классической механике, достаточно рассматривать систему из )т' частиц как одну частицу с ЗМ степенями свободы (если не считать спина частиц; с учетом спина будем иметь 4АГ степеней свободы).
Все общие положения квантовой механики, имеющие силу для системы с несколькими степенями свободы, могут быть сразу же перенесены на систему, состоящую пз А> частиц. Тем не л>енсе существуют некоторые специфические моменты, свойственные системам из многих частиц и заслу>кивающие специального рассмотрения. Среди этих специфических моментов особо важные выясняются для систем, состоящих из одинаковых частиц. В дальнейшем нам придется подробно остановиться на нпх. Свойства систем нз одинаковых частиц образуют одну из наиболее замечательных глав квантовой механики. Однако пока мы оставим в стороне этп особенности систем с одинаковыми частицами и обратимся к некоторым вопросам, общим для систем любых частиц. Всегда ли можно рассматривать совокупность частиц как механическую систему с соответственно большим числом степеней свободыу Ответ должен быть отрицательный. Рассмотрение системы частиц с кооРдинатами х>рцз„ х,д.,г„ ..., хмУмгм как механической системы с ЗУ степенямп свободы возмо>кно лишь при условии, что между частицами пе действуют запаздыьающпе силы (или при приближенном рассмотрении таких спл).
Иначе говоря, все силы взаимодействия должны зависеть лишь от мгновенных значений механических величин, относящихся к нашим частицам (например, от пх координат и скоростей в данный момент времени), а не от их значений в прошлом, как это бывает при действии запаздываюших сил. Это условие не является особенностью квантовой механики, Оно таково же и в классической механике, злдлчд мнОГих тел 440 1гл. хнп Поясним это условие на примере электромагнитных сил. Пусть расстояние между частицей номера 1 и частицей номера ге есты;й. Тогда время, в течение которого распространится электромагнитное возмущение от одной частнцы к другой, равно т=г,й!с, где с— скорость света.
Лля того чтобы можно было считать силы мгновенными, необходимо, чтобы за время т расстояние между частицами мало изменилось. Если относительная скорость частиц вдоль ог/г ' гуй г,„есть о,й, то изменение г,й за время т есть Лга=ойт= С и наше условие принимает вид о/й гуй ((г,й, т. е. о,й((с. Следовательно, относительные скорости частиц должны быть гораздо меньше скорости света с.
Короче говоря, это всегда можно сделать, если мы ограничиваемся нереляти вистс кой областью скоростей. Если о с, то сверх того, что мы должны будем учитывать и релятивистские, н квантовые эффекты, мы должны будем вместе с механическими уравнениями для частиц рассматривать еще и уравнения электромагнитного поля, которые управляют распространением взаимодействия от одной частицы к другой. Относя!циеся сюда вопросы выходят за рамки этой книги и вообще они еше не разрешены полностью современной теорией ').
Поскольку же о (с, мы можем рассматривать квантовую механику системы частиц как механику одной частицы с многими степенями свободы. Если у нас имеется Аг частиц с координатами хйуйгй (й=-1, 2, 3, ..., Аг) и с массами гпй, то волновая функция»Р в этом случае будет, как всегда, функцией координат всех степеней свободы нашей системы и времени 1, т.
е. функция 3)ч'+1 аргументов'): тр=зр(хт, у„гт, ..., хю уй зю ., хл, ул, гдг,(). (!02.1) Она определяется, таким образом, в пространстве ЗА( измерений, в так называемом яр остра н стае ко н фи г у рации системы. Название этого фиктивного пространства проистекает от того, что задание координат точки в этом пространстве есть задание трехмерных координат (х,, у,, ай) для всех частиц ((в= 1, 2, 3, ..., Аг) нашей системы и, следовательно, определяет расположение (кон- ') В.
Г а й т л е р. Квантовая теория излучения, ИЛ. 1956; П. А. М Д ир а к, Принципы кван говой механики, Физматгиз, 1960; Г. В е н т ц е л ь, Введение в квантовую теорию волновых полей, Гостехиздат, 1947. Особенно: А. И, А х и с з е р, В. Б. Б е реете ц к и й, Квантовая злектродинамика, «Наука». 1969. е) Чтобы не усложнять вопроса, мы не рассматриваем сейчас спина частиц. А 102! оанп1е ЗАмсчхння О ЗАдА'!е многих тел 44! фнгурацию) всех частиц системы в трехмерном пространстве. Поэтому точку пространства конфигураций с 35Г координатами (х„У„2„..., хА, Ун, 2А) называют и з о б р а ж а ю щ е й (систему) точкой.
Обозначим бесконе во малый элемент объема в пространстве конфигураций через 1(1>: 1(11 = »(Х1»(У1»(21... Е(х» ЛУ» г(2»... 1(Хн г(у»!»12А.. (102.2) Тогда величина и!(Х1, Ум 2„ ..., Х», У», 2», ..., хА, УА, 2»1, 1)1(»1 = Ч1*ф »(11 (102.3) есть вероятность того, что изображающая точка лежит в элементе объема г(11 пространства конфигураций в момент времени 1, т. е. вероятность конфигурации системы, при которой в момент 1 координаты первой частицы лежат между х,, х, +1(х„у„у,+!!у„2„ 21+»(2„..., й-й частицы — между хы х»+»(х», у», у»+1(у», 2м 2»+»(2» и т. д.
Наряду с элементом объема (102.2) рассмотрим элементы объема в подпространствах типа»(11», 1(й»,з ... и т. д., определенные по формулам 1(12 = 1(х» г(У»»(2» Ю», (102.4) 2(11 = дх» »(у» »(2» 1(х; 1(у; д2~ »(г)»1 и т. п. (102 4') Интегрируя (102.3) по координатам всех частиц кроме е-й, т. е. по Ю», мы найдем вероятность того, что координаты е-й частицы лежат междУ хы х»+дх», Ум У»+2(У», 2м 2»+»(2» пРи любом положении других, ннымн словами, мы найдем вероятность того, что й-я частица находится в данном месте пространства. Обозпачан этУ веРоЯтность чеРез п1(хм Уы 2„, 1), мы полУчаем и! (хм Ум Ем 1)»(х» »1У» 2(2» = г(х» г(У»»(2» ~ Ф*ф 1(1)».
(102.5) Подобным же образом величина (х»~ У»~ 2»г хп У1~ 21з 1) 6(х»»(У»»(2» с(х! 1(У! 1122 = = 11Х»»(У»»(2» г(х; 1(у; »(21 ~ фа»р Ю»; (102.5') есть вероятность того, что Й-я частица находится около точки х»у»2», 1-я частица одновременно около точки х,У,2,. Таким образом, зная волновую функцию Ф, заданную в пространстве конфигураций, можно определить вероятность данной конфигурации системы (102,3), вероятность положения любой нз частиц (102.5) и, наконец, вероятность того или иного положения пары частиц (102.5') и т. п. Равным образом по общим формулам квантовой механики, разлагая ф по собственным функциям какого-либо из интересую- !гл. хоп! злдлчА л!ногин тел! 442 шнх нас операторов, можно вычислить и вероятности того или иного значения любой механической величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
