Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 87
Текст из файла (страница 87)
е. момент импульса системы есть интеграл движения. Г. Закон обратимости процессов в квантовой механике При замене г на — ( мы получим ,г дФ' (107.12') где тр'=тр(хг, ..., хл, — г)=Бгф. Сравнивая (107.12') с уравнением Шредингера для комплексно- сопряженной функции (107. 12") ') Это утиерждение не относится к процессу намерения, который могкет быть и необратимым. Рассмотрим преобразование Т обращения времени: Уравнения движения инвариантны по отношению к этому преобразованию для случая обратимых процессов. В квантовой механике все процессы обратимы'). Поэтому операции Т должно соответствовать некоторое унитарное преобразование волновой функции н операторов, отображающее свойство обратимости.
Рассмотрим уравнегше Шредингера сначала в отсутствие электромагнитных полей гй'д', =йф, й= ,'-( — йгц)'+и. (107.12) ЗАДАЧА МНОГИХ ТСЛ !ГЛ. ХУ11 4с2 МЫ ВИДИМ, ЧТО Ф'=-Бтф=ф*, (107ЭВ) т. е. функция, описывающая обращенное во времени движение, совпадает с комплексно-сопряженной, В случае заряженных частиц, движущихся во внешнем электромагнитном поле, прн обращеи1И1 времени нужно одновременно переменить знак магнитного поля и знак спинов: ~ГА=-- А5т, ото = — пот (107. 14) (107.15) Действительно, при таком преобразовании уравнение Паули (61.5) И вЂ”,; = -- ~( — И7+; А) — е)т+ — 'м, (оН)1ф (107,16) Д.
Закон сохранения четности Рассмотрим теперь преобразование инверсии Р: х-» — х, у — — у, г -» — г. Это преобразование соответствует переходу от правои системы координат к левой. В нашем пространстве нет различия между правыми и левыми винтами. Поэтому теория должна быть инвариантна по отношению к преобразованию инверсии Р. Это требование налагает условие на возможные гамильтонианы, именно, РЙ = ЙР. (107. 17) Соответствующее унитарное преобразование волновой функции будет ф' = ф ( — х, — у, — г, Г) = Р1р (х, у, г, Г). (107.18) Равенство (107.!7) означает, что оператор инверсии есть интеграл движения — = О. пр ( 1'07.
19) щ Далее, очевидно, что Р'ф=+ф. Отсюда следует, что собственные значения оператора инверсии равны .+ 1. Волновые функции (или состояния), принадлежащие Р =+1, называют ч етн ы ми (+), а принадлежащие Р= — 1, — нечет н ы ми ( — ). 1) Ср. по этому поводу 4 44 н сноску на стр. 174. при замене 1-» — 1, А-» — А, а — » — и, Н =го1А-» — Н перейдет в уравнение для комплексно-сопряженной функции ф*, т, е. сохранит силу равенство ') (107.13). 463 СИММЕТРИЯ ПРОСТРЛНСТВЛ И ВРЕМЕНИ 4 МП Если состояние в какой-то момент времени обладает определенной четностью, то в силу ((б7.19) эта четность не может измениться.
Поэтому четность является одним из признаков, которым характеризуется квантовая система. В частности, для частицы в состоянии с орбитальным моментом 1 четность равна ( — 1)' Я 25). Для системы частиц, обладаюптих моментами 1И ..., 1м, четность состояния будет определяться четностью произведения У~,„,..., У~,„,м, что дает ( — 1) '1+' ~"'+'и. 1 1 В заключение заметим, что если квантовая система находится не в пустом пространстве, а В какой-то среде, во внешнем поле или внутри кристалла, то свойства симметрии среды будут также отображаться в сушествовании некоторых интегралов движения. Например, если атом вкраплен в кристалл такой, что он обладает осью симметрии п-го порядка, то при повороте на угол 2п/и среда будет переходить в саму себя.
Операция поворота на угол ~р = 2п(п будет интегралом движения, а волновая функция атома ф будет подвергаться при этом определенному унитарному преобразованию. Глава ХИ11 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ й 108. Учет движения ядра в атоме При рассмотрении движения оптического электрона в атоме мы предполагали ядро атома неподвижным, рассматривая его как источник центральных сил. Такое приближение тем лучше, чем больше масса ядра пг. Пользуясь доказанной выше теоремой о центре тяжести, легко учесть поправки, обусловленные конечностью массы ядра. Уравнение для определения энергии Е и собственных функций Чга будет, с учетом движения ядра, писаться в виде 2тг(дк(+ ду' + дг ) 2гггг,дк1+ ду,'-, '+ дгг)1 + + Сг (г) Ч" = Егк', (108.1) где пгг — масса ядра, х„у„г, — его координаты, т, — масса электрона, х„у, гз — его координаты, г есть расстояние между ядром и электроном гг = (х — хг)з + (у — у.)г + (ㄠ— г )г (108.2) Вводя координаты Якоби, согласно (104.3) получим Чг=уг Уг=у Чг= ггг гуг+ т,у, =У, (108.3 ) Р мг+ гггг так что й„г1г, сг в этом слУчае сУть пРосто относительные кооР- динаты ядра и электрона, Х, 1к, г — координаты центра тяжсстн электрона и ядра.
В этих координатах гамильтониан уравне- з мм учат цшокснпя вдел в Атоме 465 ння (108.1) перепишется согласно (!04.10) в виде а'-' 'дьр ГяЧ' д-'т~ Ь'-' Гдн!' длк дцу1 2М,дЛ-' д!' дгЦ 2П ~ дм дгп дг'-',' + (7 (г) Ч' = ЕЧг, (108.1') где М = т, + ш„— =- -- + 1 ! 1 (108.4) Разделим переменпыс Х, 1', 2 и х, р, г так ж, как это делалось в 6 104 (см. (101.15)): где а=Š— вм, Е=а+2И-. (108.7) Уравнение (!08.6) совершенно одинаково с уравнением для движения частицы с массой и в заданном силовом поле (7(г). в имеет смысл внутренней энергии атома (энергии относитсльного движения), а полная энергия Е складывается из энергии относительг2 ного движения в и энергии движения центра тяжести атома — —.
Когда мы решали задачу о движении электрона в атоме, то мы имели дело с таким же уравнением, как и (108.6), но вместо приведенной массы и стояла масса электрона. Поэтому нам нет надобности заново решать задачу о движении электрона в атоме с учетом движения ядра. Чтобы теперь найти е и ф(х, у, г), достаточно заменить во всех прежних формулах массу электрона на приведенную массу р. Так как масса ядра гл, во много раз больше массы электрона т,, то пз (!08.4) следует, что и =ит„ так что вызываемые движением ядра поправки к а и Ч~ будут малы.
Если считать массу ядра бесконечно болыпой, то р == тг (масса электрона). При этом условии в й 51 нами было найдено значение постоянной Ридберга )х (мы обозначим ее теперь через )г и массу электрона через ш,), равное ечл,, й члlг'с Мы видим, что для того, чтобгя получить пстшпюс значение постоянной Рндбсрга, определяющей оптические частоты элек- Ч'(Х, )', Л, х, у, г)=с " ' " ' " ф(х, у, г). (108.5) Это решение означает свободное движение центра тяжести атома с импульсом р„р,, р,.
Для функции ф(х, у, г), описывающей относительное движение, получим ~„Я~ + д, ° + -д,) + (7 (") Ф = ф (108.6) 466 пяпмапсния теоеип движения многих тел !гл. хюп де тне -— — 4йне~, -, — .) == )сн„ где )гн,.— посзояниая Ридберга для Не'. Множитель 4 появляется по той причине, что величина термов атома (см. 9 51) пропорциональна квадрату заряда ядра 2'.
Заряд же ядра Не вдвое больше заряда ядра Н. Из предыдущих формул следует, что ! — и (108.9) где рн, и рн суть приведенные массы иона гелия и водорода. Согласно (108.4) имеем и ~п +и (108.10) где тн — масса ядра водорода, а ьпн, — масса ядра гелия. Под- ставляя это в предыдущую формулу, мы получим т~ы — тн и. и ем+~и мн (108.9') Отсюда видно, что, определив спектроскопически у и зная атомные веса Н и Не, мы можем вычислить отношение --"., т. е. тн' катомпый вес» электрона. Указанным путем Хаустоп нашел — '. = 0,000548, — '— ' =-!838,2 + 1,8. (108,! 1) Этот же эффект является средством для определения масс изотопов. В самом деле, линии, соответствующие одинаковым квантовым переходам,' у разных изотопов несколько различны из-за различия в приведенных массах.
Таким путем была установлена масса тяжелого водорода (дейтерия): т,=2тн, трона, движущегося в кулоновском поле, нужно заменить гн, на приведенную массу р. Так как )г для различных атомов различно, то это обстоятельство позволяет определить из спектральных наблюдений массу электрона. Это было сделано Хаустоном с помощью точных измерений линий Н„и Нв водорода и сравнения нх с соответствующими линиями иона Неч Так, например, для Н„частота тн для водорода равна !1 11 6 чн=йн(; — з,) = йн, где Рн — постоянная Ридберга для водорода. Для иона гелия и для того же квантового перехода имеем ъ 1ш! спстсмл л!ИкРО«!лстнц, сООСРшлющнх л1ллыс колеьлния 467 9 109.
Система микрочастиц, совершающих малые колебания Следовательно д1ф д'ф д«ф д«ф дх' дх1 д«г( д!и1 ' На основании этого равенства получаем Л'! д«д'! И«Я . Ян": й= — -(,-.—, + —.1)+ — (а+-':а, 2н (,дд," д«1) 2 2 (109.4) Рассмотрим сначала систему из двух одинаковых частиц, совершающих малые колебания. Обозначим отклонение первой частшгы от положения равновесия через х„а второй — через х, Потенциальная энергия (7(х„х«) для малых отклонений может быть разложена в ряд У(х„х )="2«х + "2ех(+)х«х«+...
(109.1) Здесь р — масса частиц (одинаковая для обеих), ы« — частота колебаний частиц в отсутствие взаимодействия между ними, )..х«х«вЂ” энергия взаимодействия частиц (для малых х, и х«). Оператор полной энергии частиц, имеющих потенциальную энергию (109.1), имеет вид а«д«и«11 . Л«д'- шо« Н = — — —. + — ' Х-', — — — —., + '— " Х..", + ).Х«Х«. (109. 2) 2П дх-', 2 ' 2!1 дх'! 2 Из классической механики известно, что для системы частиц, совершающих малые колебания, можно ввести так называемые «иормальные координаты» д„17«, в которых потенциальная энергия (/ выразится в виде суммы квадратоз д„17«, а кинетическая энергия — в виде суммы квадратов соответствующих импульсов, так что мы будем иметь дело с двумя независимыми нормальными колебаниями.
В рассматриваемом частном случае эти нормальные координаты связаны с х, и х, формулами ! ! Х1 =' ° — (д1+ Д1) Хг = . - (Ч1 Ча) 1«2 (109.3) Эта особенность нормальных координат сохраняется и в квантовой механике. Введем в (!09.1) вместо х, и х, нормальные координаты 17! и д,. Для этого заметим, что дф дф дх, дф дх, ! (дф дф! д171 дк, дд1 дх, д«1 (7 2 (дх1 дх«/ ' д«ф ! (д«ф д«ф Уф д171 2 !дх! + дх,-, '+ дх, дх«) ! подобным же образом д«ф ! (д ф д«ф д«ф д171 2 !дх" ,+ дх, дх, дх«)' 468 пеимсиеипя теогпп двпжгнпя многих тел ~гл хшп где ры; = — ры;, + )., рг>.', =-)иэ," — ),. (109.5) Из (109.4) следует, что гампльтонпап двух связанных осцилляторов в нормальных координатах представляется в виде суммы гамильтопианов для двух независимых осцилляторов, одного с ~астотой еч и другого с частотой ыэ (тот же результат, что и в классической механике).
Найдем квантовые уровни н соответствующие пм собственные функции системы связанных осцилляторов. Оператор содержит координаты д, и дэ и, следовательно, волновая функция ф должна рассматриваться как функция д, и д,, Уравнение Шредингера для стационарных состояний нашей системы имеет вид —, + — 'д;ф — --- г+ —,--' д.;) =.Еф. (109.0) л- 'д"-ф им1 . гп д-ф ~цо",; 2а дд-,' 2 ' 2п дч1 2 Это уравнение легко решается разделением переменных. Для этого положим (109.7) (Ч1~ Чэ) = Фэ (Ч1) ' Фэ (Чэ) Е=Е,+Е,. (109.8) (109.1 Ц Подставляя (1097) и (1098) в11096), деля результат на ф,(о,)ф,(д,) и приравнивая порознь постоянным Е, и Е, члены в левой части, зависящие от и, и дэ соответственно, получим ~" а'Ф РК 2 д -'+ 2 Жфф Еффм (109.9) Аь днь Им1 — — !+ — ' Ф =-ЕМ" 2и дч1 2 (109.9') Первое из этих уравнений есть уравнение для осциллятора с частотой в„ а второе — для осциллятора с частотой гэ,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
