Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Именно, там было показано, что если неопределенность энергии 7зЕ отождествлять с шириной квазистационарного уровня ЛЕ=М(2, а под Лг' понимать длительность жизни состояния т=!7).= — Лг, то ЛЕ и Ж связаны соотнопзением (113.4) (ср. формулу (99.31)). Л. И. Мандельштамом и И. Е. Таммом было показано'), что рассмотренные здесь примеры являются частным случаем весьма общего толкования соотношения (113.4), заключающегося в следующем: пусть Е есть любая механическая величина, не являющаяся интегралом движения. Тогда, если состояние неслза!)ионарно, то среднее значение Е будет меняться с течением врез!сии.
Пусть сз! есть тот промежуток времени, в течение которого среднее значение Е меняется на величину неопределенности ЛЕ (И. есть корень квадратный из среднего квадратичного отклонения (Л1.)': !!А(з+сз!) — У. (7) !=Л1,). Тогда О! связано с неопределенностью в энергии !зЕ (причем ЛЕ=)' (ЛЕ)') соотношением (113.4). Глава Х1Х СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНА КОВЫХ МИ КРО ЧАСТ И Ц ф 114. Принцип тождественности микрочастиц Мы перейдем теперь к рассмотрению свойств систем, состоящих из одинаковых частиц. Одинаковыми частицами мы будем называть частицы, имеющие одинаковые массу гп, заряд е, спин з и т. д., так что в равных условиях (внешнее поле, присутствие других частиц) такие частицы ведут себя одинаковым образом.
С точки зрения атомизма естественно, но не необходимо считать, что все экземпляры частиц одного рода (электроны, протоны, нейтроны и т. д.) между собой тождественны. В самом деле, измерение величин, характеризующих частицы (т, е, .з), производится, конечно, лишь с некоторой точностью (Лт, Ле, Лз), и всегда законно предполагать, что, по крайней мере в пределах точности измерения, разные экземпляры могут отличаться друг от друга. Одинаковы или неодинаковы все экземпляры одного рода, это можно было бы решить лишь в том случае, если бы поведение совокупности одинаковых частиц качественно отличалось от поведения совокупности различных, хотя бы и сколь угодно мало частиц, Именно к такому качественному отличию свойств совокупности одинаковых частиц от свойств совокупности различных частиц приводит квантовая механика.
Поэтому, опираясь на квантовую механику и опыт, можно решить на первый взгляд неразрешимый вопрос о том, тождественны ли друг другу все представители частиц одного рода или нет. Чтобы уяснить себе, каким путем решается этот вопрос, мы должны обратиться сначала к изучению наиболее простых особенностей совокупностей, состоящих из одинаковых частиц.
Пусть мы имеем Ф одинаковых частиц. Координаты, принадлежащие й-й частице, обозначим буквой д», так что под и» следует понимать три координаты, определяющие положения центра тяжести частицы (х», у», г») и, может быть, еще четвертую, определяющую спин частицы (з,), если она таковым обладает. принцип тожднственности микиочлстнц 489 4 п41 Обозначим массу частиц через т, энергию во внешнем поле чеРез У(да, (), а энеРгию взаимодействиЯ й-й и )-й частиц чеРез Ят(да, д(), тогда гамильтониан системы таких частиц будет равен Й(ч„чз, ..., ча, ..., чь ..., с(н, () = =,'! ~ —,— "'Ч+и(д„, 1)~+ '~ )Р(ц,, д,).
(1!4 !) а=1 «)/=1 Предположение об одинаковости частиц выразилось здесь в том, что массы частиц, энергия во внешнем поле У и энергия взаимодействия Яу для всех частиц взяты одинаковыми. Эта особенность гамильтониана сохраняется в любом внешнем поле: на одинаковые частицы любое внешнее поле действует одинаковым образом. Для проведения общих выводов не очень удобно опираться на специальный внд гамильтоннана ') (114.1). Поэтому мы должны выразить тот факт, что гамильтониан описывает систему одинаковых частиц, не прибегая к явному его виду. Исходя из (114.1), легко уяснить себе, в чем заключается обязательная и наиболее общая особенность гамильтониана системы одинаковых частиц.
Если в гамильтониане (114.1) мы пеРеставим местами кооРдинаты )з-й частицы (оа) и 1'-й частицы (оу), то гамильтониан не изменится. В самом деле, такая перестановка обозначает просто перестановку слагаемых в суммах, входящих в гамильтоннан О(Чт Чз ° ° ° > Чь Чу Чн () = =Й(уыо„..., др ..., ою ..., г)н, !) (114,2) для всех пар (1', и) Ж частиц, образующих систему. Если бы среди М частиц была бы хоть одна отличная, то это равенство не имело бы места как раз для перестановки этой отличной частицы с любой другой. Таким образом, равенство (114.2) и выражает самое общее свойство гамильтониана, относящегося к совокупности одинаковых частиц.
Коротко это свойство может быть сформулировано так: гамильтониан системы одинаковых частиц инвариантен (силы метричен) относительно перестановка координат любой пары частиц. Ввиду того, что нам и дальнейшем придется часто встречаться с перестановками, нам удобно ввести новый оператор— ') Написав гамильтониан Й в форме (114.1), мы исключили непотенцнальные поли (например, магнитное поле), также исключили взаимодействие, могущее зависеть от скоростей частиц (магнитные силы). Все это могло бы быть учтено и нисколько не изменило бы хода дальнейших рассуждений. сггстемы из Одгг!глковых иггг~г'очлсгггц гггг. хгх оператор перестановки частиц Р„.
Под этим оператором мы будем подразумевать символ, указывающий на то, что координаты й-й н г-и частиц должны быть переставлены. Например, если мы имеем функцию 1(..., с)ы ..., с)р . ), то Р.г1(" Ч' " Н ")=1(" Чр" ) ") ("45) Этот оператор, очевидно, принадлежит к числу линейных осгераторов, так как для того, чтобы переставить координаты в сумме двух функций, нужно переставить их в каждой из функций. С помощью оператора Р„равенство (114.2) можно написать в виде РССН(аг, ..., д„..., дг, ..., ан, С)— = Н (с)г, ССы с)р с(н, С)Рги (114 4) для всех пар Сг, 1. Таким образом, оператор Рсу комм)стар(гет с еалшльтонианом системы одинаковых частигс. Действительно, л если мы применим к некоторой функции Чг оператор РН, то в силу (114.2) это все равно, что применить к Чг оператор НР, ибо оператор Р оставляет неизменным, согласно 1114.2), гамильтониан Й.
Опираясь на это свойство гамильтониана, докажем важную вспомогательную теорему относительно волновых функций, описывающих состояние систем из одинаковых частиц. Пусть вол- новаЯ фУнкциЯ системы У частиц есть Чс(с)„..., с)„, ..., с)гз ..., с)н, С); она должна удовлетворять уравнению Шредингера , ВЧ'(Вг," Чм" Чр" Вн ') дг =Й (д„..., д,, ..., с),, ..., Сн, С) Х Х Ч'(г)г, ° с)м ° г)у ° с)н, 1). (114.5) Переставим в этом уравнении координаты Сг-й и )-й частиц, Для этого подействуем на обе его части оператором Р,; Сй — (Ргали =- Ры(Йге).
(114.5') В силу того, что гамильтониан Н для одинаковых частиц симметричен относительно перестановки частиц, мы можем на основании (1!4.4) переставить в (114.5') операторы Рсц и Й. Тогда мы получим сл 5с- (Рл,Чг) = Н (РегЧ"). (1 14.5) Из сопоставления (114.5) с исходным уравнением (114.5) следует, что если Ч' (г)„..., с)ы ..., С)с, ..., г)н, С) есть решение % 1н1 пР!нгцип тождественности мпкеочлстпц уравнения Шредингера (114.5), то н Ч' =-Р уЧг=Чг(г)~ пл .: оы д,ч () (114 7) есть также решение этого уравнения, и, следовательно, Ч"' наряду с Ч' представляет одно из возможных состояний системы. Оно отличается от прежнего Ч' тем, что л-я частица находится теперь в состоянии, ранее занимавшемся )-й частицей, и 1-я занимает теперь состояние й-й. Продолжая перестановки, мы можем получить новые возможные состояния системы Ч"', Ч""', ..., отличающиеся друг от друга распределением частиц по состояниям.
Утверждая, что первая частица находится в состоянии а (первое место в волновой функции), вторая частица — в состоянии Ь (второе место) и т. д., мы встречаемся с одной характерной трудностью. Дело в том, что, становясь на атомнстическую точку зрения, считая разные экземпляры частиц одного рода одинаковыми, мы можем различать частицы только по пх состоянию — например, по их положению в пространстве, по величине их импульса, энерпш и т. д.
Разумеется, что с течением времени состояние частиц может измениться, и они могут обменяться своими состояниями. Поскольку в классической механике принципиально возможно проследить за траекторией частиц, постольку, отметив частицы, например, по пх положению в момент времени 1=0, мы можем в любой момент сказать, находится ли в данном месте та частица, которую мы назвали первой, или та, которую назвали второй. Между тем в квантовой области этого сделать нельзя. Если бы мы отметили частицы по их положению в момент 1=0, то волновые пакеты, относящиеся к различным частицам, быстро бы растеклись и перекрылись, так что, обнаружив в момент 1) 0 где-либо какую-нибудь из частиц, мы уже никак не могли бы сказать, какая же это из частиц — первая нлн вторая.
Эти рассуждения иллюстрируются рие. 85. На рис. 85, а изображены положения частиц х, и х, в момент 1=0 и дальнейшие движения их по классическим траекториям. На рис. 85, б изображены волновые пакеты частиц в момент 1=0 около х, и х,, (заштрихованные области) и пх дальнейшее рассеяние. Следует отметить, чго заштрихованы только те области, где ~ Ч' ~з имеет большую величину, так что в незаштрихованных областях пакеты также перекрываются, только значение ~Ч'~' там мало. Найдя частицу в области пространства, где волновые пакеты перекрываются, мы уже не можем решить, с какой из двух частиц мы имеем дело. Приведем еще другой, пример. Пусть частицы находятся в ящике, разделенном перегородкой (рис.
86). Непрозрачные стенки ящика означают, что по мере приближения к стенкам потенциальная энергия частиц возрастает. В частности, перегородка системы из одинлковых микрочлстиц )гл. х)х 492 есть не что иное, как потенциальный барьер. Этот барьер изображен на рис. 86 снизу, под ящиком. Если энергия частиц Рис. 85. Нумерация частиц по их положениям в простран- стве. а) В класснвескоа механике; б) в квантовая. В области, заштрихо. ванное дважды, нумеРация спуталась. меньше высоты барьера, то, согласно классической механике, частицы неспособны проникнуть через него — перегородка для них непрозрачна. Поэтому мы можем различать частиор цы по их положению в левой или правой половине ящика. Согласно же квантовой механике для всякого барьера конечной высоты есть вероятность, что частица проникает через него благодаря туннельному эффекту.
Если первоначально волновые функции частиц суть Ч', и Ч", (рис. 86), то по нстечеРис. 86. две частицы в ящике, разделен нии некоторого времени они нем перегородкой. превратятся в Ч"; и Ч"е (пункВнкзу изображен ход потенцкала вблизи сте. Тирные крнВые), так что нинок н волновые функцкв цасткц стица а может быть найдена справа, а частица () — слева. При з-ьоо волновые функции Ч'; и Чть станут одинаковыми и будут иметь симметрично расположенные максимумы в обеих половинах ящика. Вероятность найти частицу а в одном из отделений ящика будет равна той же вероятности для частицы (), так что всякий след исходной несимметрии будет утерян.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
