Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 90
Текст из файла (страница 90)
(112.10) Последняя величина может рассматриваться как матричный элемент потенциальной энергии сталкивающегося электрона (2) в поле ядра и атомного электрона (!). Если гп=-п, то столкновение будет упругим. У„„совпадает с той энергией возмущения, которая встречалась в 3 79 в теории упругого рассеяния электронов. Подставляя )гт„(г2) в (112.8) и имея в виду, что пюмп:нпшя тсорпп двпжипья многих тел !гл. хщп ная' в (85.3) через р(Е), будет у нас такая же, как и для одной частицы (см.
(81,23)), так как г(Е = г((Ео,+ о — ) = — о((ой ). Следовательно, р(Е) =-рр. Поэтому, согласно (85.3) п (112.12), имеем йя Рор.(щ, Р) о(ло =- 1 !зрв)о !Рпо(К) ~ рРоИ. (112.14) Чтобы вместо вероятности перехода в 1 сея получить эффективное сечение а(р„р, 0, рр) для перехода ро-+р, оЯ, нужно иначе нормировать функции падающего электрона.
Именно, их нужно нормировать так, чтобы поток через 1 сл' в 1 сск равнялся единице. Для этого вместо (112.11) нужно взять .Роо о фр, (го) = —, 1 "о (112.1Г) где оо — скорость падающего электрона: ! ро' ро по =— лл Функции (112.11) и (112.11') отличаются множителем (112. 15) оор (lп, р) о(ло = ~2. го) ! Ргоо (1л) ~ оИ. (112.16) При этом условии резонанса, совпадающее с законом сохранения энергии, в случае возмущения, не зависящего от времени, имеет вид (112.17) фр,— фр,(2пй)'1'1/ !'. Ро Так как в вероятность (112.14) начальная функция входит в квадрате, то, переходя от нормировки (112.11) к нормировке (112.1Г) (для падающих частиц), мы получим в (112.14) множитель (2нй)' -~-. Вместе с тем вероятность Р,р,(т, р) примет разРо мерность площади.
Так как принятая нами нормировка для падающей волны есть как раз та, которая принимается для расчета эффективного сечения (поток: одна частица в 1 сек через 1 слал),' то полученная вероятность совпадает с эффективным сечением. На основании сделанных замечаний получаем эффективное сечение в виде 4 11а неупруп!е столкновения электрона с атомом 483 Для упругого рассеяния т =- и, р= рм и формула (112.16) в точности совпадает с выведенной в 2 78 методом стационарных состояний. Для неупругого рассеяния вид атомного фактора Еа,„ несколько иной (см.
(112,12)). Кроме того, в о входит множнтель Р/Ра, смысл котоРого легко УЯснить. ОЮ есть отношение потоков падающего и рассеянного в угол с!11. В это отношение потоков входит отношение скоростей, которое как раз равно рг)га и выпадает для упругого рассеяния. Обозначая р через р „, К через К „= ап ", часто пишут (112.16) в форме стм»(8 МегГ)= — '""(2па,) ~Е»»л(К»ал) ~~'с(Ю (112.16') Отсюда, интегрируя по всем возможным углам рассеяния с)с1, мы получим эффективное сечение для любого столкновения, прн котором энергия электрона меняется на величину Е„, — Еа, а атом переходит нз глл состояния Ел в Е,: о„„,=- ~ о»,„(8, ср) 11!а. (!12.18) 4л Если Еа — нижнее нормальное состояние атома, то налетающий электрон может толысо возбугкдать атом (Е„,) ) Еа). В этом случае п„„называют эффективным сечением для Рас.
84, Зависимость аффаав о зб Ужде и н Я атома, На Рис. 84 тианого сечения ааа» лла аозбуаслсаал атопон улара»щ приведена типичная зависимость этого алактролаа от аааргаа алак- сечения от энергии электронов. На ос- троггаа д. цовании закона сохранения (112.17) мы можем, измеряя изменение энергии падающих электронов 8 Р» 2г! 2Р ' определить разности Е„,— Е„и тем самым установить энергетический спектр атома. Это и было впервые проделано в опытах Франка и Герца.
Если, как это обычно делают, принять границу (т =-со) между дискретным и непрерывным спектрами атома за нуль при отсчете энергии атомного электрона, то, определяя ту потерю энергии р' первичных электронов — — — ", пгри которой начинается иони- 2и 2в' зация атома (появляются вторичные электроны), мы можем также измерить энергию состояния атома, в котором он находился до столкновения. В самом деле, в этом случае из (112.17) имеем (112.17') Таким образом, мы аюжем определить стационарное состояние атома.
Отличие этого измерения от измерений отклонением 484 пРименения теОРигг движения мнОГих тел ггл хин атомов внешним полем заключается в том, что состояние атома после измерения меняется (например, происходит ионизация атома), в то время как в опытах по отклоненао оно остается неизменным, Обратим внимание на то обстоятельство, что при измерении энергии атома методом столкновений требуется, как и в методе отклонения, некоторое минимальное время. Действительно, измерение основывается на законе сохранения энергии (112.17). Этот закон выражается наличием б-функции в вероятности перехода (ср. 9 84 формулы (15), (16) и (!7), при этом в них следует положить бы=0).
На самом деле мы имеем дело не с б-функцией, а с приближенным се выражением (84.!4) (е — еп) г , Б1П а" б (Š— Ео) =— (!!2.19) которос лишь при ( — со переходит в б (Š— Е,). Функция б'(Š— Е,) отлична от нуля заметным образом только для интервала разности Л(Š— Е,), для иоторого Л (Š— Ео) ( йп и становится малой для Л (Š— Ео) (112. 20) т. е, имеется неопредс,генность е раэноспш начальной энергии Ео и конечной Е, связанная с длительностью промежутка врелгени ! между началом измерения (начало взаимодействия падающего электрона с атомом) и концом измерения (определение энергии падающего электрона после столкновения).
Предположим теперь, что энергию падающего извне электрона п до и после столкновения мы знаем точно. Тогда из (112.20) следует соотношение для длительности измерения 1 и неопределенности Л (Еп — Е. ) в разности начальной и конечной энергии измеряемой системы (атома): Л(ń— Ео) 1~го. (112.21) Чтобы определить уровни пашей системы (опыт Франка и Герца), фиксируем еще и конечную энергию. Для этого будем отмечать те случаи, когда в результате столкновения атом нонпзуется (Еы) О), и измерять энергию вылетающего из атома электрона.
Тогда вся неопределенность перенесется на начальное состояние, и из (!12.21) мы получим (! 12.21') Ь (Е„) .1Оь й. Чтобы можно было знать, какую из энергий Ео или Е имел атом до столкновения, нужно, очевидно, чтобы Л (Е„) ( г Ео — Е ), $ ИЗ! ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ОСОБАЯ РОЛЬ ВРЕМЕНИ 485 т. е.
)ń— Е !.1) й, (112.22) т. е. для того чтобы отличить, в каком из состояний находился атом до опыта, нужна достаточная длительность измерения (при этом энергия после опыта предполагается известной). Если же ограничиться определением энергии только до опыта (в исходном состоянии) или только после опыта, то соотношение (112.21') не имеет места. $113. Закон сохранения энергии и особая роль времени в квантовой механике В классической теории закон сохранения энергии утверждает, что энергия замкнутой системы остается неизменной, так что если обозначить энергию такой системы в момент 1 = 0 через Е„ а в момент 1 через Е!, то (1!3И) ЕО=Е!.
В квантовой механике закон сохранения энергии формулируется аналогичным образом. Именно, согласно й 33 энергия является интегралом движения, и вероятность и!(Е, 1) найти в момент 1 значение энергии, равное Е, пе зависит от времени: (1 13.2) =0 л! Закон сохранения энергии в только что высказанной форме предполагает возможность определения энсргии в данный момент времени без того, чтобы подвергнуть ее неконтролируемому изменению. В классической механике возможность такого измерения не вызывает сомнений.
В квантовой механике, напротив, такого рода возможность ввиду того, что вмешательство прибора, вообпге говоря, меняет сосзояние системы, не является самоочевидной. Рассмотренные в 8 111, 112 измерительные устройства для определения энергии показывают, что энергия без нарушения ее величины может быть измерена лишь с точностью (113.3) ЛЕ гь т где т †длительнос измерения. Однако это не представляет трудности для закона сохранения энергии, так как энергия является интегралом движения, и мы располагаем как угодно большим временем, чтобы произвести длительное измерение.
Так, например, если мы проведем измерение в течение времени т, а затем предоставим сис!ему самой себе на время Т, а затех! вновь определим энергию, то закон сохранения энергии (112.2) 4еа пюьчвнения твогии движения многих тел !гл. х«гн утверждает, что результат этого второго измерения с точностью я ЛЕ= — совпадает с результатом первого измерения. Если же не требовать неизменяемости энергии при ее измерении, то никаких ограничений на точность кратковременного (мгновенного) измерения энергии не наложено, так как соотношение (113.3) содержит лишь неопределенность ЛЕ разности энергий до опыта и после опыта (ср. (112.2!)).
Поэтому можно получить сколь угодно точное знание о величине энергии в данный момент времени, если ограничиться знанием ее величины либо до опыта, либо после опыта. Так, например, можно определить значение энергии в момент ! = 0 после опыта и в момент ! = Т до опыта. Тогда закон сохранения энергии утверждает, что оба значения энергии будут равны друг другу. В заключение вопроса об энергии укажем на то, что соотношения между неопределенностью ЛЕ значения энергии Е в данный момент времени ! и точностью фиксации этого момента ЛЕ ЛЕ ° Л1 -- — 2 (113.4) подобного соотношению для импульса и сопряженной координаты 2 ' а (!13.5) в квантовой механикс ае сущгствйст так гке, как не существует и соотношения ! Н вЂ” Н != И в отличие от соотношения хЄ— — Р,х = И.
Мы могли бы рассчитывать на подобное соотношение лишь в том случае, если бы энергии Е можно было бы сопоставить д оператор И вЂ” подобно тому, как величине р„сопоставляется д оператор — И -. На самом же деле, в квантовой механике опедх ратор энергии Й есть «функция» операторов импульса и координат: Й ==Й(Р, Р„, Р„х, у, г). Поэтому с точки зрения общих принципов квантовой механики энергия есть величина, которая в данный момент времени может иметь вполне определенное значение, а время Е в отличие от координат х, у, г, не является оператором.
Однако все же можно получить соотношение (1!3.4), если вложить надлежащий смысл в понимание величин ЛЕ и Л!. Приведем примеры. Пусть мы имеем группу волн (см. 8 7 и !4), движущуюся с групповой скоростью о и имеющую размеры (нсопределеиность в координате) Лх. Введем время Л(= Лх)п, в течение которого группа проходит через какую-нибудь фиксн- ЗЛКОН СОХРЛ!!ЕН!!и ЭНЕРГ!П! !! ОСОЕЛЯ РОЛЬ ВРЕМЕ!!!! 437 з !о! рованную точку пространства х. Имея в виду, что 2 2р мы получим из (113.5) О7зР ' =ЛЕ М~ 2-. (1 13.6) (113.
7) з) См. Нзв. ЛН СССР сер. физии., 9, !22 (!945). Здесь ЛЕ есть неопределенность в энергии, а О( — время прохождения группы через фиксированную точку пространства х. Можно сказать и иначе: это есть время, в течение которого среднее значение х меняется на величину неопределенности в координате Лх, Другим примером соотношения вида (113.4) может служить рассмотренное в 9 99 явление распада, исчезновения некоторого заданного первоначального состояния зр(х, 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
