Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Обозначим операторы проекций момента импульса й-й частицы на оси координат через М» М»»~ (105.1) / д д1 М„= — »Л (у» . — — г» - — 1, дг» ду»,/ ' / д д1 М =- — 1»1(㻠— — — х»- — ), У ( длл» дг» /' / д д 1 М, = — 1Д (х» — — — у» — ), ду» дх»)' (105.1') (105.1") »» М.= Х М!, (105.2) (105.2') (105.2") »=1 Покажем, что оператор производной по времени от момента импульса равен моменту сил, действующих на систему (точнее, оператору момента сил). Согласно общему определению производной оператора мы имеем 'М' = '„- (Й̄— Л4„0). (105;3) Гамильтониан Й, согласно (102.6'), равен Й = ~» ( — — 7! + (/~) + ~~» (/!»».
(! 05,4) »=1 »ф»=1 Для вычисления перестановки операторов в (105.3) мы должны "» иметь в виду, что каждое слагаемое М„, в операторе М, действует лишь на те члены в Й, которые содержат координаты //-й частицы. Операторы !»» коммутируют с оператором М,'. Действительно, как мы знаем, оператор кинетической энергии можно представить где хм ум г, — координаты й-й частицы.
Соответственно этому операторы проекций полного момента импульса всей системы частиц М„ М„ М, определим по фор- мулам !гл. хю ЗАЫАЧА МНОГИХ ТЕЛ в виде Лг» * (М»)2 — с»=т, +, 2»! '» дт»х» ' (105.5) Наконец, найдем еще перестановку "» "» »!Мх Мх(.!»! = ди!, ди»гй ди»Г !' 㻠— гг уу, — у 1 = !'й (у» — — 㻠— ) = »й — (у» — г» » дг» ду»),дг», (, " х» х» ди»у 1 = »д (г»у! — г,у») а ' —. (105.7) ах»/ Г»!. Подставляя (105.6) и (105.7) в (105.3), найдем дМ» ~, ( аи, аЬ! ~~! ди,; ! — = —,г. (у.— — г —,) —,~ (г»у — у»') — ' —. дг ~» (, дг» ду») г~» т ! ах»Г »=! ».! ! Последняя сумма равна нулю, в чем убеждаемся сразу, переме- нив местами индексы й и ). Поэтому получаем дих Ъ~ Г ди, ди, = — — ! у» — — г„— ).
(105.8) Ж г'г (, дг» ду» )' »=! Стоящее справа выражение есть не что иное, как оператор проек- ции на ось ОХ суммы моментов внешних сил, действующих на систему. Совершенно таким же образом получаем дмв ч, ! ди, аи»1 — — ! 㻠— — х» — !, д! ~г 1! дх» дг»)' » =- ! и — —; (х» — — у,— ). вМ, ъ~ Г ди» аи»~ (105. 8") дЕ ~й (! дур, дх» )' »=-! Таким образом, мы получаем теорему, известную из классической механики: изменение момента импульса в единицу времени равно (105.8') где Т,„— оператор той части кинетической энергии частицы, кото- рая отвечает движению частицы по радиусу-вектору гы а (М')'— квадрат момента импульса й-й частицы. М, коммутирует и с Т,, 2 "» а! и с (М )', поэтому М, коммутирует с — — !», Вычислим теперь перестановку М» и (г».
Имеем ! ! д д'! (' д д! (7»М„— М,и, = — !й'и, ~ у„— — „---~ ~— (,у, — — — г„- - ) (У,) = дг» ди») ! дг» ду») аи, ди, = !'й! ~у» — — г»=~ (105 б) дг» ду» )' ЗАКОН СОХРАНСННЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА $ !ОЗ! 45! (105.10) М,м„— М„м,. = !!!й„ М„м.. — М.-МУ = !'йМ„ (105.1!) (105.1 Г) (105.11") (105.12) (105.12') (105.12") М,м„— М,и, = !йМУ. МзМ И Мз 0 М'М вЂ” М М'=-0 И'М,— М,М'= О, моменту внешних сил, действующих на систему. Эта теорема в квантовой механике, подобно теореме о полном импульсе, фор- мулируется для операторов. Если момент внешних сил равен нулю, то полный момент импульса системы сохраняется: РМ; !!'М, ВМ., — — — = — о. (105.9) Следовательно, при отсутствии внешних сил среднее значение мо- мента импульса М„, М„, М.
и вероятности и! (М,), и! (М, ), и! (М,) нахождения определенного значения какой-либо из проекций мо- мента не изменяются с течением времени. Если учесть спин частиц, то оператор полного момента импульса должен быть определен по формулам и,= ~ (и".+..), А=! и„= ~ (м'„+ „'), (105.10') А=! и.= ~ (м,'+!), (105. 10") г! = ! где з", зА, ЗА — операторы (двухрядные матрицы) проекций соб- ственного механического момента й-й частицы.
Теорема о сохра- нении полного момента импульса остается в силе и в этом слу- чае. Если нет сил, действуюших на спины, то доказательство этой теоремы ничем не отличается от приведенного выше, так как при таком предположении гамильтониан системы коммутирует со всеми операторами а". "А "А "И Так как операторы М,, М„, М„з,, зу, в„принадлежашие разным частицам (разные й), коммутируют между собой, то из известных правил перестановки для компонент орбитального момента (25.5) и спинового момента (59.1) одной частицы легко получить правила перестановки для полного момента импульса системы частиц: злдлчА мпог!!х тьл !гл, хч!! 452 где М' есть оператор квадрата полного момента импульса М'=М„'+ М„'+М'-,'. (105.13) М.
= Ьп, ) гп ~ == У, (105.!5) причем У есть либо целое число О, 1, 2, 3,..., либо полуцелое 'д„ '7!, '!э, ... в зависимости от числа частиц и их спина. Неравенство ~л!! --,/ означает, что и =,7, l — 1, У вЂ” 2, ... — У. Иначе говоря, мы имеем всего 21+1 квантовых ориентаций полного момента относительно люоого направления (02). Заметим, что так как у электрона спин полуцелый ('!,), то для четного числа э.тектронов у всегда целое, а для нечетного — полу- целое. Проекции (105.2), (105.2'), (105.2") полного орбитального мо- мента и М,=~М ь=! и полного спинового момента х! М,= ~ч~а' ь=! (105.16) (105.17) подчиняются тем же правилам перестановки, что и проекции полного момента. Поэтому они квантуются по аналогичным формулам Мь=йЧ.
(1.+1), А=О, 1, 2, 3, ..., (105.18) М„=йты !и!,'!=Е, (105.19) М; = г!!5 (8+ 1), 5 = О, 1, 2, 3, ..., или 5 = — г/„",е, ",„..., (105.20) М„= г!и„! и!,' ,~ Я. (105.21) При заданном значении полного орбитального момента Ь н заданном значении полного спипового момента 5 возможны различные значения 7 в зависимости от взаимной ориентации векторов М! и М,.
Рис. 48 (стр. 274) может служить иллюстрацией сложения этих моментов. Очевидно, что у может принимать все значения от Е + о, соответствующего параллельной ориентации М, и М„ до !7. — Я ', соответствующего антипараллельной ориентации этих векторов, Ниже на основании этих правил перестановки доказывается, что полный момент импульса для системы частиц квантуется по формулам М'=Уl (У с!) (105.14) ЗАКОН СОХРЛНЕННЯ ИОИЬНТА НИПУЛЬСЛ 4 ~оз1 т. е.
У = У. + 5, 1 1. + 5 — 1), ( Е. + 5 — 2 1, ..., ~ Е. — 5 1. (105.22) Всего (25+ 1) значений. Все состояния с одними и теми же Е. н 5 образуют один мультнплег — группу уровней, находящихся, ввиду слабости взанмодегзствия между спином и орбитальным движением (ср. 2 66), в соседстве друг с другом. Кратность (чнсло уровней) в мультнплете равна, как мы видим, 25+!. Полный момент системы 7, ее орбитальный момент 1. и спиновый момент 5 служат для обозначения терма атома в целом. Так же как и для одного электрона (ср.
2 65), термы с 1, = = О, 1, 2, 3, ... обозначают 5, Р, 1г, Р, ... (На этот раз большими буквами) соответственно. Справа внизу приписывают значок, указывающий значение полного момента а', а слева вверху значок кратности мультнплета, к которому принадлежит терм, а тем самым указывают и полный спин.
Например, 4Р;, означает терм, для которого 1==3, з'==з)г, 5=з!з) а55 означает терм, для которого 1. = О, У =- ~7„5 = а(з. Формула (105.15) доказывается сразу, если заметить, что отдельные члены в сумме (105.10") коммутнруют между собой и, следовательно, могут быть одновременно приведены к диагональному виду, так что собственное значение М равно сумме собственных значений М~г+з~.
Но собственные значения последних суть Ать, где та — целое или полуцелое число, смотря по значению спина частиц. Таким образом, м м М = ~ йте=ат, т= ~Р~ та. (005.25) и=! ь=- ! Для определения собственных значений Мз введем операторы А=Мк+(Ми Вр Д4к — (М~ ° Пользуясь (105.12), получаем АМ, — МгА = — ЙА, ВМг — М,В = ЙВ. (!05.24) г'тчп~',йт — Ат'Алпт"= а'4т' г" (105,25) или А,, (т" — т'+ 1) =О, В, (и" — т' — О = О. (105.26) Отсюда следует, что единственные неисчезающие элементы А Ат, т, и Вт т,. ОпеРатоР квадРата полного момента Мз можно через операторы А и В двояким образом, именно, '4В+Мг ЛМг и В суть выразить (105.27) (105.27') ,((з=-ВА+М +Гмг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
