Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Такам ооразол, Лх) А, а следоаа- 423 холоднля эмиссия электронов из мцтлллл з зз) ~ельно, длина волны света должна быть меныце 1, т, е. )г < !г 2 1' 2н (Уш — Е) (97.2) Встречающиеся в нерелятивистской механике энергии должны быть меньше собственной энергии частицы Нсе, поэтому 1>ш> Уш Е (97.3) т. е. энергия применяемых в световом пучке квантов света должна быть больше, нежели разность между высотой потенциального барьера и энергией частицы, Таким образом, этот пример иллюстрирует поло>кение о необход;вюсти применить для измерения координаты приборы, обладающие достаточно большой энергией, чтобы могкна было локализовать частицу.
й 98. Холодная эмиссия электронов из металла Если к металлу приложить большое электрическое поле (порядка 1О' в!см) так, чтооы он являлся катодом, то такое поле вырывает электроны: получается электрический ток. Это явление получило название «х о л од н о й ам и с с и и». Она может быть легко истолковано на основе квантовой теории прохождения у (~ частиц через потенцнальпьш ба- )1Е рьер и притом, в общих чертах, в согласии с опытом.
шж Оо В этом параграфе мы рассмотрим теорию этого эффекта, представляюшую одно из наиболее простых приложенийтеориипро- 4 жз хождениЯ чеРез потенциальный .т117 '1 барьер, Обратимся сначала к картине движения электронов в Рис. 73. Почв на границе металла. металле в отсутствие внешнего электрического поля. Чтобы удалить электрон из металла, необходимо затратить некоторую работу. Следовательно, потенциальная энергия элек- трона в металле меньше, нежели вне металла. Наиболее простым образом этот факт может быть выражен, если мы примем потен- циальную энергию электрона (/(х) внутри металла равной О, а вне металла равной С ) О, так что потенциальная энергия имеет вид, изображенный на рнс.
78. Схематнзируя таким образом истинный ход потенциальной энергии, мы в сушности оперируем со средним полем в металле. На самом деле, потенциал внутри ал Д. ь А' Сплошная лнння — в отсугсгвне внешнего палн, пуп«гарная лнння — прн нвлнчнн внешнего поля Ю. В последнем случае образуется потенннальнма барьер ОВСЧ так как л=2ястш, где ш — частота световых колебаний, а с — скорость света, то ото>ода следует, что «еея 32парсе (Уш — Е). 4ч4 пРОхожден!!е мнкРОчАстиц чеРез потенциАльныи БАРьеР [Гл. хч! металла меняется от точки к точке с периодом, равным постоянной кристаллической решетки. Наше приближение соответствует гипотезе свободных электронов, так как, поскольку (7 (х) = О, внутри металла нет никаких спл, действующих на электрон.
Здесь мы не можем обсуждать вопрос о степени правильности такого приближения '). Ограничимся лишь указанием на то, что рассмотрение электронов в металле как свободно движущихся частиц («электронный газ») позволяет уяснить многие явления в металлах и поэтому, в определенных рамках, является законным. Распределение по энергиям электронов этого газа таково, что подавляющее большинство электронов имеет энергию Е ( С (при абсолютном нуле температуры электроны заполняют все уровни энергии от Е=О до Е = — е,(С, где е, есть так называемая нулевая энергия; см. 9 120).
Поток электронов металла, падающий изнутри металла на его поверхность, обозначим через /а. Так как электроны имеют энергию Е ( С, то этот поток полностью отражается от скачка потенциала С, имеющего место на границе металл — вакуум. Представим теперь себе, что наложено электрическое поле м, направленное к поверхности металла. Тогда к потенциальной энергии электрона У (х) (рис. 78) добавится потенциальная энергия электрона в постоянном полее, равная — еех (заряд электрона равен — е).
Полная потенциальная энергия электрона будет теперь равна У' (х) = У (х) — ем х = С вЂ” емх (х ) 0), и (х)=О (х(0). (98.1) Кривая потенциальной энергии примет теперь иной вид. Она изображена на рнс. 78 пунктиром. Заметим, что внутри металла нельзя создать большого поля, поэтому изменение У (х) произойдет лишь вне металла. Мы видим, что образуется потенциальный барьер. По классической механике электрон мог бы пройти через барьер лишь в том случае, если его энергия Е)С. Таких электронов у нас очень мало (они обусловливают малую термоионную эмиссию). Поэтому никакого электронного тока по классической механике при наложении поля получиться не должно. Однако, если поле О достаточно велико, то барьер будет узок, мы будем иметь дело с резким изменением потенциальной энергии и классическая механика будет неприменима: электроны будут проходить через потенциальный барьер ').
') См., иапрпмср, А, А. й бр и косов, Введение в теорию нормальных металлов, «Наука», !972. ') Если поле понизит высоту барьера, так что она станет меньше е„то же самое будет иметь место и по классической механикс. Мо что будет колоссальный т»к; злектроны хльшут лавиной через барьер. На самом деле имеет место постеленное нарастание тока с ростом поля. 4 981 ХОЛОДНАЯ ЭМИССИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ИЗ МЕТАЛЛА 425 Вычислим коэффициент прозрачности этого барьера для электронов, имеющих энергию движения по оси ОХ, равную Е„. Согласно (98.24) дело сводится к вычислению интеграла »=$1»»ТГ < У вЂ” е4»к х, где х, и х,— координаты точек поворота. Первая точка поворота есть (см.
рис. 78), очевидно, х,=О, так как для всякой энергии Ех ( С горизонтальная прямая Е„, изображающая значение энергии движения по ОХ, пересекает кривую потенциальной энергии в точке х=-О. Вторая точка поворота хе получится, как видно из чертежа, при Е„= С вЂ” еох; отсюда С вЂ” Ек хе ' » ео следовательно, С вЂ” Е х еЮ 3= ~ У2р(С вЂ” еЖх — Е„)е(х. о (98.2) ее' Введем переменную интегрирования $ = х. Тогда мы получим »/» Е = )Г2)А " 1 1/ 1 — $ ~$ = — )l'2р —. (98.3) 0 Таким образом, коэффициент прозрачности О для электронов, обладающих энергией движения по осн ОХ, равной Е„, равен 4 т'ее (с — е )'Ь П(Е„)=Пе ее (98 А) (98.5) Коэффициент этот несколько различен для разных Ех, но так как С ) Ех, то средний (по энергиям электронов) коэффициент прозрачности будет иметь вид ~е Р = бее 42б прохождение микрочлстиц чарва потанцнлльнган влрьнр 9 99.
Трехмерньн! потенциальный барьер. Квазистационарные состояния Рассмотрение в Я 97 и 98 задачи о прохождении через потенциальный барьер отличалось той особенностью, что в них речь шла о потоке частиц, приходящих из бесконечности и встречающих на своем пути потенциальный барьер. В дальнейшем (теория радиоактивного распада, автоионизацня атомов) нам встретятся такие случаи, когда речь 77 будет идти о потоке частиц, выходящих нз неко! торой ограниченной области пространства (ядро атома, атом), окруженной потенциальным барьеоом.
Ь Пусть сфера с центром а) 47 в О и радиусом г, (рис. Рнс. 79. потснииальный барьер, ограничи- 79, а) есть та поверхность, нающнй ааикнут»ю область (г < г,). на которой потенциальная энергия (7 (г) принимает максимальное значение, так что для г(г„У(У и для г) г„, (/((7 . Соответствующий пример графика (7(г) дан на рис.
79, б. Допустим, что нас интересует прохождение через барьер частиц, первоначально находившихся внутри него. Соответственно предположению, что частицы, падающие извне, отсутствуют (нет «бомбардировки»), мы должны взять вне барьера лишь уходяшие волны е'ь' ар=С вЂ”, А)0. У (99.1) Это условие мы будем называть условием излучения. Ясно, что уравнение Шредингера гй,—, = — -„',-„т>-'ф+и(г) ф д4> а« (99.2) в этом случае но>нет иметь лишь нестацнонарные решения.
Действительно, применим закон сохранения числа частиц к сфере >) Они были аыполнсны П. И. Лукирскиьь где Оо и оо — константы, зависящие от рода металлов. Ток холодной эмиссии будет равен о« ,7(о) =7«0=Ае о . (98.6) Эта зависимость тока от поля вполне подтверждается экспериментами '). трпхмернып потснцплльныи нарым 497 радиуса г -„— з) ф фт( = — ~~,?,с( = — ~ ~У„г тза. Из (99.1) имеем (99.3) (99 А) и, стало быть, — ~ тр'ф т(п = — — ' ~ ', С !з с(ьа ( О, (99.5) ег св тр(г, () =тр(г) е '.
(99.6) При этом величина Е будет комплексной, и ее"нельзя рассматривать как этом ниже). Мы положим ') Е=ЕΠ— —. атг)ь О энергию частиц (см. об (99.7) Тогда среднее число частиц в объеме (г„заключенном внутри барьера, согласно (99.6) и (99.?), будет Л((() = ~ трвф с(о = е " ~ трв (г) ф (г) т(о, уа ') Из (99.6) и (99.7) видно, что если взять л.=о, то мы получили бы стационарные состояния, что противоречит, согласно (99.6), условию излучения. т. е. среднее число частиц в объеме сферы )г убывает, так что ф не может гармонически зависеть от времени. Задачу об истечении частиц из барьера можно решать, исходя из уравнения (99.2) с начальным условием таким, что функция ф(г, О) отлична от нуля лишь внутри барьера (чтобы выразить тот (( факт, что при (=0 частица нахо- — — — (и дилась внутри барьера).
Можно, од- ~р пако, исходить нз другого условия, до некоторой степени противоположного, именно считать, что истечение частиц происходит уже давно и значительная часть их уже находится () вне барьера. Такой подход к решению мы рассмотрим подробнее. Он Рис. 80. потенциалыьий барьер, удобен тем, что допускает разделе ограннчноаюший замкнутую об. пасть (г(г,) и имеющий проние переменных г и ( в уравнении у пря л у фор (99.2). Положим сразу Пвтекдкальявя крявая О, г, У 1 и ответствует лотеяккальяой яме, лукающейся яа барьера атодвк.
каем г, в бесконечность. В,', и)— са урезал ввергла в такой яме. 42з пгохождвнив микеочхстцц чеевз потенцилльныи ьлгыюе !гл, хш т. е. (99.8) Величину Л будем называть константой распада. Подстановка (99.6) в (99.2) дает ~Р l !ал 1 — 2 П'"р+(7(г)ф=~Ео — 2 )Ф. (99.9) 2и Чтобы выяснить принципиальную сторону дела, мы рассмотрим схематичный пример, взяв форму барьера У (г), изображенную на рнс. 80. Рассмотрим далее, для простоты, состояния с орбитальным моментом, равным нулю: ! = О. Тогда, полагая (99.10) мы получим из (99.9) а2 пи I !ал~ — — —. +(/(г) и=~ Š— — !и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
